Diferencia entre revisiones de «Geometría Analítica con Matlab»

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Obsérvese que, de acuerdo a los signos de las componentes ya analizados, en el primer caso <math>v_1</math> está en el cuarto cuadrante del plano cartesiando, <math>v_2</math> está en el primer cuadrante y, en el segundo caso, los vectores están en el primero y segundo cuadrante respectivamente.
=====Ángulo de rotación=====
Dados los vectores <math>\vec{A},\; \; \vec{B}</math> su producto punto satisface
{{Eqn|<math>\vec{A}\cdot \vec{B}=\|\vec{A}\|\|\vec{B}\|\cos \theta</math>}}
siendo <math>\theta \in [0,\pi ]</math> el ángulo formado por ellos. Entonces si <math>\vec{A}=\langle 1,0\rangle</math> (en la dirección positiva del eje X), al tomar <math>\vec{B}=v_1</math> y al reemplazar
{{Eqn|<math>b=\|v_1\|\cos \theta</math>,}}
el ángulo de rotación <math>\phi \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)</math> queda definido por
{{Eqn|<math>\begin{cases}\phi=-\arccos \left(\frac{b}{\|v_1\|}\right), &b>0 \\\phi=\pi -\arccos \left(\frac{b}{\|v_1\|}\right), &b<0\end{cases}</math>|3.9}}
Entonces, en el primer caso se presenta una rotación negativa y en el segundo, cuanbo <math>b<0</math>, la rotación es positiva.
====Cambio de Coordenadas====
Antes de proceder a realizar un cambio de coordenadas, se revisan las opciones de signos de los valores propios.
=====Sobre los signos de los valores propios de la matria M=====
Se plantea la pregunta:
<center>¿Es posible que <math>\lambda _1<0,\; \; \lambda _2 <0</math>?</center>
Supóngase que ambos valores propios son negativas; en tal caso <math>trM<0</math>, es decir que <math>a+c<0</math> y siendo <math>a>0</math> entonces <math>c<0</math>. Con lo cual el determinante sería
{{Eqn|<math>detM=ac-\frac{b^2}{4}<0</math>,}}
{{res|'''NOTA 3''' Sólo el valor propio <math>\lambda _1</math> puede ser negativo.}}
Ahora, ¿es posible que el valor propio <math>\lambda _2</math> sea nulo? En tal caso, el determinante <math>detM=0</math> muestra que <math>ac=\tfrac{b^2}{4}</math> y, del hecho
{{Eqn|<math>\lambda _2=\frac{1}{2}\left[(a+c)+\sqrt{(a-c)^2+b^2}\right]</math>}}
se tendría <math>a+c<0</math>, de lo cual <math>a<0</math>, contradiciendo la condición {{Eqnref|3.1b}}. Así, se tiene
{{res|'''NOTA 4''' El mayor valor propio <math>\lambda _2</math> nunca se anula.}}
De la relación de los valores propios con la traza se puede decir:
{{res|'''NOTA 5''' Si <math>trM<0</math> y el valor propio <math>\lambda _1<0</math>, entonces <math>0<\lambda _2<-\lambda _1</math>.}}
Teniendo en cuenta que el valor propio <math>\lambda _1</math> es el más pequeño se tiene:
{{res|'''NOTA 6''' Si <math>\lambda _1>0</math>, entonces <math>trM>0</math> y <math>detM>0</math>.}}
=====Matriz de rotación P=====