Diferencia entre revisiones de «Geometría Analítica con Matlab»

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Línea 439:
y al número <math>b^2-4ac</math> se le denomina ''discriminante'' de la matriz M.
====Valores y Vectores Propios====
Los valores propios se pueden obtener de la correspondiente ecuación característica, la cual es
{{Eqn|<math>4\lambda ^2-4(a-c)\lambda -(b^2-4ac)=0</math>,|3.3}}
y de esta surge la relación
{{Eqn|<math>4(\lambda -a)^2=4(c-a)\lambda +4a^2+b^2-4ac</math>.|3.4}}
Sus raíces dan los dos valores propios (reales puesto que M es simétrica):
{{Eqn|<math>\lambda _{1,2}=\frac{1}{2}\left[(a+c)\pm \sqrt{(a-c)^2+b^2}\right]</math>,}}
o bien, en términos de la traza y el determinante
{{Eqn|<math>\lambda _{1,2}=\frac{1}{2}\left[(a+c)\pm \sqrt{tr^2M-4detM}\right]</math>.}}
De esta expresión junto con la condición {{Eqnref|3.1b}} se concluye:
{{res|'''NOTA 1''' los valores propios <math>\lambda _1, \; \; \lambda _2</math> jamás son iguales porque <math>b^2>0</math>.}}
Sea <math>\lambda _1</math> el menor valor propio; este es
{{Eqn|<math>\lambda _1=\frac{1}{2}\left[(a+c)-\sqrt{(a-c)^2+b^2}\right]</math>.|3.5a}}
del cual resulta
{{Eqn|<math>2(\lambda _2-a)=-\left[(a-c)+sqrt{(a-c)^2+b^2}\right]</math>.|3.5b}}
Ahora, teniendo en cuenta que <math>b\neq 0</math>, para todo real N
{{Eqn|<math>N^2<N^2+b^2</math>,}}
de lo cual:
{{res|'''NOTA 2''' <math>(a-c)+\sqrt{(a+c)^2+b^2}>0</math>, con lo cual <math>2(\lambda _1-a)<0</math>. También <math>\lambda _1<a</math>.}}
Ahora, de la relación con la traza de la matriz M, se tiene
{{Eqn|<math>2(\lambda _2-c)=-2(\lambda _1-a)</math>,}}
de donde <math>\lambda _2>c</math>.
=====Vector propio asociado al menor valor propio <math>\lambda _1</math>=====