Diferencia entre revisiones de «Geometría Analítica con Matlab»
Contenido eliminado Contenido añadido
Línea 363:
de esa manera se obtiene el mismo polinomio característico.
=====Multiplicidad geométrica y algebraica=====
Sea <math>\lambda</math> un valor propio de A. Entonces, la multiplicidad algebraica de <math>\lambda</math> es el número de veces que se repite como raíz del polinómio característico. Cuando la multiplicidad algebraica es 1, <math>\lambda</math> es llamado valor propio simple.
La multiplicidad geométrica de <math>\lambda</math> es la dimensión del espacio nulo <math>N(A-\lambda I)={x\in C^n|(A-\lambda I)x=O}</math>. En otras palabras, es el número máximo de vectores propios asociados con <math>\lambda</math>, linealmente independientes.
Las dos multiplicaciones pueden ser distintas. Por ejemplo, al considerar la matriz
{{Eqn|<math>A=\left[\begin{array}{lr}0 &1 \\0 &0\end{array}\right]</math>,}}
su polinomio característico es <math>p(\lambda )=\lambda ^2</math>, con lo cual el valor propio <math>\lambda =0</math> se repite dos veces, así su multiplicidad algebraica es 2. En cuanto a su multiplicidad geométrica, al buscar una base para el espacio nulo <math>N(A-0I)=N(A)</math>, al resolver el sistema
{{Eqn|<math>A\left[\begin{array}{c}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0 \\0\end{array}\right]</math>,}}
resulta la ecuación <math>y=0</math>, y de esta manera las soluciones son de la forma
{{Eqn|<math>\left[\begin{array}{c}x \\0\end{array}\right], \; x\in R</math>}}
mostrando que sólo hay un vector linealmente independiente, Es decir la multiplicidad geométrica es 1.
Para una matriz diagonal <math>D=diag(\lambda _1 ,\lambda _2 ,\ldots ,\lambda _n)</math>, ya se conoce que los valores propios coinciden con los de su diagonal. Ahora, para el espacio propio asociado a uno de ellos. por ejemplo <math>\lambda _k</math>, la k-ésima fila de la matriz <math>D-\lambda _kI</math> es nula. En consecuencia el sistema
{{Eqn|<math>(D-\lambda _kI)X=O,\; X\in R^n</math>}}
tiene como solución vectores con componentes 0 salvo la k-ésima. Así la base contiene sólo un vector linealmente independiente, y con ello la multiplicidad geométrica es 1. Entonces, el espacio propio asociado a <math>\lambda _k</math> es
{{Eqn|{<math>X \in R^n |</math> i-ésima componente es 1 y si <math>i=k</math>, 0 en otro caso} }}
====Matrices Simétricas====
En la sección 1.4 se planteó que una matriz ortogonal preserva longitudes y productos internos como se muestra en las relaciones {{Eqnref|1.11a}}, {{Eqnref|1.11b}}. A partir de ellas se obtienen conclusiones sobre valores y vectores propios.
=====Los valores propios de una matriz simétrica son reales=====
| |||