Diferencia entre revisiones de «Geometría Analítica con Matlab»
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=====Otras consecuencias de la definición {{Eqnref|2.6}}=====
A la lista inicial de propiedades dada en la sección 1.1.3.2.1{{ref|1.1.3.2.1}}, basadas exclusivamente en la definición {{Eqnref|2.6}} sobre valor y vector propio, se agregan algunas otras teniendo en cuenta ahora el uso del determinante.
{{Importante|'''C-9''' Cuando el espectro contiene el cero:
<math>0\in \sigma (A)</math> '''si y solo si''' A es una matriz singular.}}
{{res|Prueba}}
<math>\Rightarrow</math>: Si 0 es valor propio de A, satisface <math>|A-0I|=0</math>, es decir <math>|A|=0</math>. Así, A es singular.
<math>\Leftarrow</math>: Si A es singular, <math>|A-0I|=|A|=0</math>, luego 0 es valor propio de A.
{{Importante|'''C-10''' Matriz asociada a un polinomio}}
Si <math>p(y)=a_0+a_1y+a_2y^2+\ldots +a_ky^k</math>, es cualquier polinomio, entonces se define <math>p(A)</math> como la matriz
{{Eqn|<math>p(A)=a_0I+a_1A+a_2A^2+\ldots +a_kA^k</math>.}}
Si <math>(\lambda ,x)</math> es un par propio para A, entonces <math>(p(\lambda ),x)</math> es un par propio para <math>p(A)</math>.
{{res|prueba}}
Con la propiedad '''C-3''', se tiene
{{Eqn|<math>p(A)x=a_0Ix+a_1Ax+a_2A^2x+\ldots +a_kA^kx</math>,
<math>p(A)x=a_0x+a_1\lambda x+a_2\lambda ^2x+\ldots +a_k\lambda ^kx</math>,
<math>p(A)x=(a_0+a_1\lambda +a_2\lambda ^2+\ldots +a_k\lambda ^k)x</math>,}}
confirmando que <math>p(A)x=p(\lambda )x</math>.
{{res|'''NOTA 6''' Si coinciden los espectros, no significa que coinciden los polinomios característicos. Por ejemplo para las matrices <math>A=\left[\begin{array}{lr}1 &0 \\0 &0\end{array}\right], \; \; B=\left[\begin{array}{lr}1 &0 \\0 &1\end{array}\right]</math>, los respectivos polinomios característicos son
{{Eqn|<math>p(\lambda )=\lambda ^2-\lambda, \; \; q(\lambda )=\lambda ^2-2\lambda +1</math>.}}}}
{{Importante|'''C-11''' Valores propios de una matriz triangular y de una matriz diagonal.}}
Dada la matriz triangular superior
{{Eqn|<math>T=\left[\begin{array}{cccc}t_{11} &t_{12} &\cdots &t_{1n} \\0 &t_{22} &\cdots &t_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0 &0 &\cdots &t_{nn}\end{array}\right]</math>,}}
la matriz <math>T-\lambda I</math>, es nuevamente una matriz triangular superior con diagonal principal
{{Eqn|<math>t_{11}-\lambda ,t_{22}-\lambda ,\cdots ,t_{nn}-\lambda</math>,}}
de esta manera los valores propios de la matriz triangular superior T, son justamente los elementos de su diagonal principal.
Para el caso de la matriz diagonal, siendo una matriz triangular superior, entonces sus valores propios son los elementos de la diagonal principal.
{{Importante|'''C-12''' Valores propios de una matriz y su transpuesta.
Las matrices A y <math>A^t</math> tienen los mismos valores propios.}}
{{res|Prueba}}
Como una matriz y su transpuesta tienen el mismo determinante
{{Eqn|<math>|A-\lambda I|=|(A-\lambda I)^t|=|A^t -\lambda I^t|=|A^t-\lambda I|</math>,}}
luego si <math>\lambda \in \sigma(A)</math> entonces <math>\lambda \in \sigma(A^t)</math>, y recíprocamente.
{{Importante|'''C-13''' Polinomio característico de un producto.}}
Considere dos n-matrices A y B, siendo la primera de ellas una matriz regular. Entonces AB y BA tienen el mismo polinomio característico.
{{res|Prueba}}
Reescribiendo el determinante <math>det(\lambda I-AB)</math>, junto con la propiedad '''D-9'''
{{Eqn|<math>det(\lambda I-AB)=det(\lambda AA^{-1}-ABAA^{-1})=det(A(\lambda I-BA)A^{-1})=det(A)det(\lambda I-BA)det(A^{-1})</math>,}}
quedando
{{Eqn|<math>det(\lambda I-AB)=det(\lambda I-BA)</math>,}}
de esa manera se obtiene el mismo polinomio característico.
=====Multiplicidad geométrica y algebraica=====
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