Diferencia entre revisiones de «Geometría Analítica con Matlab»

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puesto que <math>A^k=O</math>, y como x no es vector nulo resulta <math>\lambda=0</math>. Quiere decir que tan sólo 0 es valor propio, y ya que <math>tr(A)=\lambda _1+\cdots +\lambda _n</math>, queda <math>tr(A)=0</math>.
=====Espectro de una Suma y Producto de Matrices=====
El conjunto de todos los vectores propios asociados al mismo valor propio es denominado el '''espacio propio''' del valor <math>\lambda</math>. El conjunto de todos los valores propios de una matriz A es denominado el '''espectro de A''' y se denota <math>\sigma (A)</math>.
 
Para dos matrices dadas A y B, se puede responder la inquietud:
{{Eqn|¿Si <math>\lambda \in \sigma (A)</math> y <math>\alpha \in \sigma (B)</math> entonces <math>\lambda + \alpha \in \sigma (A+B)</math>?,
 
¿Si <math>\lambda \in \sigma (A)</math> y <math>\mu \in \sigma (B)</math> entonces <math>\lambda \mu \in \sigma (AB)</math>?.}}
Al considerar dos matrices sencillas
{{Eqn|<math>A=\left[\begin{array}{lr}1 &0 \\0 &0\end{array}\right], \; \; B=\left[\begin{array}{lr}0 &0 \\0 &1\end{array}\right]</math>,}}
se tiene que <math>1\in \sigma (A)</math> y también <math>1\in \sigma (B)</math> pero, <math>2\notin \sigma (A+B)</math>. Para el producto, puesto que <math>AB=O</math> inmediatamente la respuesta a la segunda inquietud también es negativa.
 
Sin embargo, para una matriz muy particular, de la forma
{{Eqn|<math>T=\left[\begin{array}{lr}A &B \\O &C\end{array}\right]</math>,}}
donde A, B, C y la matriz nula O son matrices cuadradas del mismo orden, se cumple que
{{Eqn|<math>det(T-\lambda I)=det(A-\lambda I)det(C-\lambda I)</math>|2.11}}
ya que la presencia de ceros, al plantear todos los productos posibles en el desarrollo de <math>det(T-\lambda I)</math> sólo quedan los que dan lugar a <math>det(A-\lambda I)</math> simultáneamente con los que corresponden a <math>det(C-\lambda I)</math>. Con esto se cuncluye que <math>\sigma (T)=\sigma (A) \cup \sigma (C)</math>.
 
=====Otras consecuencias de la definición {{Eqnref|2.6}}=====