Diferencia entre revisiones de «Geometría Analítica con Matlab»

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Línea 227:
{{Eqn|<math>Av=\lambda(\alpha_1 x_1 +\alpha_2 x_2 +\cdots +\alpha_n x_n)=\lambda v</math>.}}
=====Polinomio Característico=====
El polinómio característico de una n-matriz A, es
{{Eqn|<math>p(\lambda)=det(A-\lambda I).</math>|2.7a}}
El grado de <math>p(\lambda)</math> es n y el término líder en <math>p(\lambda)</math> es <math>(-1)^n \lambda^n</math>. Los coeficientes del polonómio están en función de las entradas de A.
 
La ecuación característica de A es
{{Eqn|<math>p(\lambda)=0</math>,|2.7b}}
De la relación {{Eqnref|2.6}}, se tiene que <math>\lambda</math> es valor propio asociado al vector x si
{{Eqn|<math>(A-\lambda I)x=O</math>,}}
y ya que <math>x\neq O</math>, la matriz <math>A-\lambda I</math> es singular, y por la propiedad '''D-10''', se tiene:
{{res|'''NOTA 3''' <math>\lambda</math> es valor propio para una matriz A si y solo si {{Eqn|<math>det(A-\lambda I)=0</math>.|2.8}}}}
Por consiguiente, de {{Eqnref|2-7a}} y {{Eqnref|2.8}} se tiene que los valores propios de A son las soluciones de la ecuación característica; por lo tanto, A tiene n valores propios, y algunos de ellos pueden ser complejos (aún si las entradas de A son números reales), y algunos valores propios pueden ser repetidos.
 
Ahora, tomando el conjugado en {{Eqnref|2.6}},
{{Eqn|<math>\bar{A}\bar{x}=\bar{\lambda \bar{x}}</math>}}
permite concluír:
{{res|'''NOTA 4''' Si A tiene solamente números reales, entonces sus valores propios complejos ocurren en pares conjugados.}}
Con el fin de expresar el determinante y la traza de una matriz en términos de sus valores propios, se acude a una relación dada en ------ entre las raíces y los coeficientes de un polinómio, para aplicarla por supuesto al polinomio característico.
{{Consejo|Relación entre las raíces y los coeficientes de un polinómio.}}
Sea <math>f(x)</math> un polinomio con coeficientes complejos, <math>f(x)\in C[x]</math>, con grado <math>deg f(x)=n\geqslant 1</math> y
{{Eqn|<math>f(x)=a_n x^n +a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_2 x^2 + a_1 x +a_0</math>,|2.9a}}
y sean <math>c_1 ,c_2 ,\ldots ,c_n</math> las raices de <math>f(x)</math>, no necesariamente diferentes, es decir
{{Eqn|<math>f(x)=a_n (x-c_1)(x-c_2)\cdots (x-c_n)</math>.|2.9b}}
Observe que <math>a_0 =f(0)</math>.
Del desarrollo de alguno productos
{{Eqn|<math>x-c_1 = x-c_1</math>,}}
{{Eqn|<math>(x-c_1)(x-c_2)=x^2 -(c_1 +c_2)x+c_1 c_2</math>,}}
{{Eqn|<math>(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)=x^3 -(c_1 +c_2 +c_3)x^2 +(c_1 c_2 +c_1 c_3 +c_2 c_3)x-c_1 c_2 c_3</math>,}}
{{Eqn|<math>(x-c_1)(x-c_2)(x-c_3)(x-c_4)=x^4 -(c_1 +c_2 +c_3 +c_4)x^3 +(c_1 c_2 +c_1 c_3 +c_1 c_4 +c_2 c_3 +c_2 c_4 +c_3 c_4)x^2-(c_1 c_2 c_3 +c_1 c_2 c_4 + c_1 c_3 C_4 +c_2 c_3 c_4)x+c_1 c_2 c_3 c_4</math>,}}
inductivamente se sigue que
{{Eqn|<math>(x-c_1)(x-c_2)\ldots (x-c_n)=x^n -(c_1 +c_2 +\ldots +c_n)x^{n-1}+(c_1 c_2+\ldots )x^{n-2}-(c_1 c_2 c_3 +\ldots )x^{n-3}+\ldots +(-1)^k (c_1 c_2 \cdots c_k +\ldots )x^{n-k}+\ldots +(-1)^n c_1 c_2 \cdots c_n</math>.}}
para abreviar, sean
{{caja|
<math>s_1</math> la suma de las raices <math>c_1,c_2,\ldots ,c_n</math> tomando dos a la vez,
 
<math>s_2</math> la suma de los productos de las raíces <math>c_1,c_2,\ldots ,c_n</math> tomando tres a la vez,
 
<math>s_3</math> la suma de los productos de las raíces <math>c_1,c_2,\ldots ,c_n</math> tomando k a la vez,
 
<center><math>\vdots</math> <math>\vdots</math> <math>\vdots</math></center>
 
<math>s_k</math> el producto de las raices <math>c_1,c_2,\ldots ,c_n</math>.}}
De lo anterior se sigue que
{{Eqn|<math>f(x)=a_n\left[ x^n-s_1x^{n-1}+s_2x^{n-2}-\cdots +(-1)^ks_kx^{n-k}+\cdots +(-1)^ns_n\right]</math>,|2.9c}}
por lo tanto
{{Eqn|<math>f(x)=a_nx^n-a_ns_1x^{n-1}+a_ns_2x^{n-2}-\cdots +(-1)^ka_ns_kx^{n-k}+\cdots +(-1)^na_ns_n</math>,}}
y comparando con {{Eqnref|2.9a}}, se surge la relación
{{Eqn|<math>a_{n-1}=-a_ns_1,\; a_{n-2}=a_ns_2,\; \cdots ,\; a_{n-k}=(-1)^ka_ns_k, \;\cdots ,\; a_0=(-1)^na_ns_n</math>,}}
de lo cual
{{Eqn|<math>s_1=-\frac{a_{n-1}}{a_n},\; s_2=\frac{a_{n-2}}{a_n},\;\cdots ,s_k=(-1)^k\frac{a_{n-k}}{a_n},\;\cdots ,s_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}</math>.}}
Estas últimas relaciones se conocen como fórmulas de Viète.
 
Para el caso del polinomio característico asociado a una n-matriz A: al aplicar {{Eqnref|2.5b}} en cada una de las filas con <math>k=-1</math>, se tiene <math>det(A-\lambda I)</math> en la forma
{{Eqn|<math>det(A-\lambda I)=(-1)^n det \left[ \begin{array}{cccc}\lambda -a_{11} &0-a_{12} &\cdots &0-a_{1n} \\ 0-a_{21} &\lambda -a_{22} &\cdots &0-a_{2n} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ 0-a_{n1} &0-a_{n2} &\cdots &\lambda -a_{nn}\end{array}\right] </math>,}}
y teniendo en cuenta la definición de determinante, el término <math>\lambda ^n</math> precisamente surge del producto que involucra los términos de la diagonal principal. Con esto, para el polinomio característico <math>p(\lambda)</math>, su coeficiente líder <math>a_n</math> es <math>(-1)^n</math> y usando {{Eqnref|2.9c}}
{{Eqn|<math>p(\lambda)=det(A-\lambda I)=(-1)^n\left[ \lambda^n-s_1\lambda^{n-1}+s_2\lambda^{n-2}+\ldots +(-1)^{n-1}s_{n-1}\lambda +(-1)^np(0)\right]</math>,|2.9d}}
en donde los coeficientes <math>s_m,\; (m=1,2,\ldots ,n-1)</math> están dados por las fórmulas de Viète.
 
A partir de la relación sobre <math>s_n</math>, junto con {{Eqnref|2.9d}} evaluada en <math>\lambda=0</math> se concluye:
{{res|'''NOTA 5''' El determinante <math>detA</math> es el producto de sus valores propios. Es decir,
 
{{Eqn|<math>detA=\lambda _1 \lambda _2 \cdots \lambda _n</math>.|2.10a}}}}
Nuevamente la definición de determinante, el término <math>\lambda^{n-1}</math> aparece solamente del producto <math>(\lambda -a_{11})(\lambda -a_{22})\cdots (\lambda -a_{nn})</math> y en este caso tiene como coeficiente el valor <math>-(a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn})</math>. Puesto que <math>s_1=\lambda_1 +\lambda_2 +\cdots +\lambda _n</math>, siguiendo {{Eqnref|2.9d}} se tiene en función de la traza de A:
{{Eqn|<math>tr(A)=\lambda _1 +\lambda _2 +\cdots + \lambda _n</math>|2.10b}}
A partir de esta relación: sobre una matriz nilpotente sucede:
{{Importante|'''C-8''' Traza de una matriz nilpotente:
 
Si A es nilpotente <math>(A^k=O</math> para algún k), <math>tr(A)=0</math>.}}
{{res|Prueba}}
De la propiedad '''C-3''',
{{Eqn|<math>A^kx=\lambda ^kx</math>,}}
puesto que <math>A^k=O</math>, y como x no es vector nulo resulta <math>\lambda=0</math>. Quiere decir que tan sólo 0 es valor propio, y ya que <math>tr(A)=\lambda _1+\cdots +\lambda _n</math>, queda <math>tr(A)=0</math>.