Diferencia entre revisiones de «Geometría Analítica con Matlab»
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Línea 173:
{{Eqn|<math>A(Ax)=\lambda (Ax)</math>,}}
y aplicando {{Eqnref|2.6}} se obtiene
{{Eqn|<math>A^{2}x=\lambda ^{2}x
lo cual indica que <math>\lambda ^{2}</math> es valor propio de <math>A^{2}</math>, asociado al vector propio x. Si se multiplica sucesivamente por potencias de A, se deduce:
{{Importante|'''C-3''' Si <math>\lambda</math> es valor propio de A entonces <math>\lambda ^{n}</math> es valor propio de <math>A^{n}</math>, para todo <math>n\in Z^{+}</math>}}
También se tiene lo siguiente:
{{Importante|'''C-4''' Un vector no nulo, no puede ser vector propio asociado a dos valores propios distintos.}}
{{res|Prueba}}
Supóngase que y es un vector propio asociado a los dos valores propios <math>\lambda_{1}, \;\lambda_{2}</math>. Entonces se cumple
{{Eqn|<math>Ay=\lambda_{1}y, \;Ay=\lambda_{2}y,</math>,}}
de lo cual
{{Eqn|<math>\lambda_{1}y=\lambda_{2}y</math>}}
o también
{{Eqn|<math>(\lambda_{1}-\lambda_{2})y=0</math>}},
y siendo y un vector no nulo, de la Nota 1 de la sección 1.1 se tiene <math>\lambda_{1}=\lambda_{2}</math>
{{Importante|'''C-5''' Relación entre los valores propios de una matriz y su inversa.}}
Si A es no singular, y si <math>(\lambda ,x)</math> es un par propio de A, entonces <math>\lambda^{-1} ,x</math> es un par propio de <math>A^{-1}</math>.
{{res|Prueba}}
Si <math>\lambda ,x</math> es par propio de A, satisface
{{Eqn|<math>Ax=\lambda x</math>,}}
y siendo A no singular, al multiplicar por <math>A^{-1}</math> se tiene <math>x=\lambda A^{-1}x</math> con lo cual <math>\lambda \neq 0</math>, ya que <math>x\neq 0</math>. Con esto, se plantea la relación
{{Eqn|<math>A^{-1}x=\frac{1}{\lambda}x</math>}}
que muestra precisamente que <math>(\lambda^{-1},x)</math> es par propio de la matriz inversa <math>A^{-1}</math>. De esta manera se obtiene:
{{res|'''NOTA 2''' Si A es regular, ningún valor propio es nulo.}}
{{Importante|'''C-6''' Para todo complejo <math>\alpha</math> que no es valor propio de A, se tiene:}}
x es un vector propio de A si y solo si x es un vector propio de <math>(A-\alpha I)^{-1}</math>.
{{res|Prueba}}
<math>\Rightarrow</math>: Si x es un vector propio, existe un complejo <math>\lambda</math> tal que
{{Eqn|<math>Ax=\lambda x</math>.}}
Siendo <math>\alpha</math> distinto de cualquier valor propio de A entonces <math>\lambda -\alpha \neq 0</math>, y sea el complejo <math>\delta</math> definido por
{{Eqn|<math>\delta =\frac{1}{\lambda - \alpha}</math>.}}
Con este valor se tiene <math>x=\delta (\lambda x-\alpha x)</math> y usando el hecho de que <math>\lambda</math> es valor propio
{{Eqn|<math>x=\delta (Ax -\alpha x)</math>}}
de lo cual
{{Eqn|<math>\delta (A-\alpha I)x</math>.}}
Ahora bien, si existiera un vector y no nulo tal que <math>(A-\alpha I)y=O</math> la inversa <math>(A-\alpha I)^{-1}</math> no existiría, pero en tal caso <math>Ay=\alpha y</math> contrariando precisamente el hecho que <math>\alpha</math> no es valor propio. Por lo tanto <math>(A-\alpha I)^{-1}</math> existe y resulta
{{Eqn|<math>(A-\alpha I)^{-1}x=\delta x</math>,}}
mostrando que x es vector propio de la matriz <math>(A-\alpha I)^{-1}</math> con valor propio asociado <math>\delta</math>.
<math>\Leftarrow</math>: Si x es un vector propio de <math>(A-\alpha I)^{-1}</math>, existe un complejo <math>\phi</math> tal que
{{Eqn|<math>(A-\alpha I)^{-1}x=\phi x</math>.}}
Entonces
{{Eqn|<math>x=\phi (A-\alpha I)x</math>,}}
de donde
{{Eqn|<math>x+\phi \alpha x=\phi Ax</math>,}}
y como <math>\phi \neq 0</math>
{{Eqn|<math>Ax=\frac{1}{\phi}(1+\phi \alpha)x</math>,}}
es decir, x es vector propio de A con valor propio asociado <math>\frac{1}{\phi}(1+\phi \alpha)</math>.
{{Importante|'''C-7''' Toda combinación lineal de vectores propios, correspondientes al mismo valor propio, es un vector propio asociado a dicho valor propio.}}
{{res|Prueba}}
Sean <math>x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}</math> vectores propios de a asociados al valor propio <math>\lambda</math>, y sea
{{Eqn|<math>v=\alpha_{1}x_{1}+\alpha_{2}x_{2}+\cdots + \alpha_{n}x_n</math>}}
una combinación lineal distinta de cero. Entonces al aplica A
{{Eqn|<math>Av=A(\alpha_1 x_1 +\alpha_2 x_2 +\cdots +\alpha_n x_n)=\alpha_1 Ax_1 +\alpha_2 Ax_2+\cdots +\alpha_n Ax_n</math>,}}
{{Eqn|<math>Av=\lambda(\alpha_1 x_1 +\alpha_2 x_2 +\cdots +\alpha_n x_n)=\lambda v</math>.}}
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