Diferencia entre revisiones de «Geometría Analítica con Matlab»
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Línea 151:
La siguiente propiedad se refiere a la multiplicación.
{{Importante|'''D-9''' Para cualquier par de matrices A, B de orden 3, el determinante del producto AB es el producto de los determinantes: <math>det(AB)=detAdetB.</math>}}
Una consecuencia de esta propiedad, junto con el hecho <math>detI=1</math>, relaciona el determinante de la inversa: <math>detB^{-1}=\frac{1}{detB}</math>. Es decir, si B es regular entonces <math>detB\neq 0</math>, la matriz inversa <math>B^{-1}</math> está dada por
{{Eqn|<math>B^{-1}=\frac{1}{\left|B\right|}AdjB</math>,}}
donde <math>AdjB</math> es la matriz adjunta de B, constituida por los cofactores de esta.
Con lo anterior, se dice
{{Importante|'''D-10''' B es inversible si y solo si <math>detB\neq 0</math>. También es equivalente a: B es singular si y solo si <math>detB=0</math>.}}
====Valores y Vectores Propios====
Dada una matriz cuadrada A (de valores reales o complejos), de orden n, se dice que <math>\lambda</math> (real o complejo) es '''valor propio''' si existe un vector no nulo x tal que
{{Eqn|<math>Ax=\lambda x</math>.|2.6}}
Al vector x anterior, se le denomina '''vector propio''', y al par <math>(\lambda ,x)</math> se le dice '''par propio'''.
=====Algunas Consecuencias de la definición {{Eqnref|2.6}}=====
Si se multiplica la ecuación {{Eqnref|2.6}} por A:
{{Eqn|<math>A(Ax)=\lambda (Ax)</math>|2.6a}}
lo cual significa:
{{Importante|'''C-1''' Si <math>\lambda</math> es valor propio de A asociado al vector propio x, entonces <math>\lambda</math> es valor propio de A asociado al vector propio Ax}}
Al multiplicar {{Eqnref|2.6}} por cualquier escalar K
{{Eqn|<math>A(kx)=\lambda (kx)</math>|2-6b}}
que implica:
{{Importante|'''C-2''' Si x es un vector propio de A asociado a <math>\lambda</math>, cualquiera de sus vectores múltiplos kx, <math>k\neq 0</math>, también es vector propio.}}
Retomando la ecuación {{Eqnref|2.6a}}, con el par propio <math>(\lambda ,x)</math>:
{{Eqn|<math>A(Ax)=\lambda (Ax)</math>,}}
y aplicando {{Eqnref|2.6}} se obtiene
{{Eqn|<math>A^{2}x=\lambda ^{2}x|2.6c</math>,}}
lo cual indica que <math>\lambda ^{2}</math> es valor propio de <math>A^{2}</math>, asociado al vector propio x. Si se multiplica sucesivamente por potencias de A, se deduce:
{{Importante|'''C-3''' Si <math>\lambda</math> es valor propio de A entonces <math>\lambda ^{n}</math> es valor propio de <math>A^{n}</math>, para todo <math>n\in Z^{+}</math>}}
También se tiene lo siguiente:
{{Importante|'''C-4''' Un vector no nulo, no puede ser vector propio asociado a dos valores propios distintos.}}
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