Diferencia entre revisiones de «Geometría Analítica con Matlab»
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Línea 91:
En el caso de tener sólo número reales, la matriz se llama <i>ortogonal</i> en lugar de unitaria.
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Se plantea una revisión del propiedades sobre determinantes, a partir de la definición propuesta en el libro de matrices de Frank Ayres, página 20, que hace uso del número de inversiones en una permutación.
Inicialmente, considérese una matriz de orden 3. Sea
y un producto de la forma
de tal manera que se tome un único elemento de cada línea (fila y columna). Los primeros subíndices se han tomado en el orden creciente 1, 2, 3, y con respecto a este orden los segundos subíndices forman el arreglo
con lo cual hay seis (6) posibles elecciones para los j's; estas son
<center>123, 132, 213, 231, 321, 312.</center>
Línea 111:
Con la información anterior, al tomar el determinante de B (notado <math>\det B</math> o |B|) como la suma de los seis (6) productos precedidos de los respectivos signos, resulta
Este desarrollo permite deducir de manera inmediata propiedades básicas aplicables a matrices cuadradas de cualquier tamaño.
{{Res|'''NOTA 1''' ''Para una matriz de orden 2, por ejemplo <math>A=\left[\begin{array}{lcr}a &b \\c &d \end{array}\right]</math>, la permutación asociada al producto <math>bc</math> contiene una inversión; en tal caso <math>detA=ad-bc</math>.''
}}
====Propiedades de Determinantes====
Las tres primeras propiedades se observan directamente de {{Eqnref|2.3}}, y todas ellas las cumplen matrices cuadradas de cualquier tamaño.
{{Importante|'''D-1''' Si B tiene una fila nula, entonces <math>detB=0</math>}}
Se sigue del hecho que cada producto en {{Eqnref|2.3}} contiene un cero de dicha fila nula.
{{Importante|'''D-2''' Si B es triangular, entonces <math>detB</math> es el producto de las entradas de la diagonal principal.}}
En particular si B es triangular inferior, el desarrollo {{Eqnref|2.3}} inicialmente se reduce a los dos primeros sumandos pero, en el segundo de ellos el término <math>b_{23}</math> es nulo; por consiguiente
{{Eqn|<math>detB=b_{11}b_{22}b_{b33}</math>.}}
De esta propiedad resulta inmediatamente,
{{Importante|'''D-3''' El determinante de la matriz identidad es 1}}
Para revisar el determinante cuando se intercambian dos líneas paralelas o, cuando dos de ellas son iguales, se puede reescribir {{Eqnref|2.3}} en las formas alternativas:
{{Eqn|<math>detB=b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{23}b_{32})-b_{12}(b_{21}b_{33}-b_{23}b_{31})+b_{13}(b_{21}b_{32}-b_{22}b_{31})</math>,|2.4a}}
{{Eqn|<math>detB=-b_{21}(b_{12}b_{33}-b_{13}b_{32})+b_{22}(b_{11}b_{33}-b_{13}b_{31})-b_{23}(b_{11}b_{32}-b_{12}b_{31})</math>|2.4b}}
{{Eqn|<math>detB=b_{31}(b_{12}b_{23}-b_{13}b_{22})-b_{32}(b_{11}b_{23}-b_{13}b_{21})+b_{33}(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21})</math>|2.4c}}
De esta manera, se sigue:
{{Importante|'''D-4''' Si dos filas de B son iguales, entonces <math>detB=0</math>.}}
Puesto que se anulan los factores que involucran restas nulas.
{{Importante|'''D-5'''La transpuesta de B tiene el mismo determinante de B: <math>detB^{t}=detB</math>.}}
En consecuencia al aplicar {{Eqnref|2.4a}} a la matriz
{{Eqn|<math>B^{t}=\left[\begin{array}{lcr}b^{*}_{11} &b^{*}_{12} &b^{*}_{13} \\b^{*}_{21} &b^{*}_{22} &b^{*}_{23} \\b^{*}_{31} &b^{*}_{32} &b^{*}_{33} \end{array}\right]</math> con <math>b^{*}_{jk}=b_{kj}</math>}}
resultando
{{Eqn|<math>detB^{t}=b^{*}_{11}(b^{*}_{22}b^{*}_{33}-b^{*}_{23}b^{*}_{32})-b^{*}_{12}(b^{*}_{21}b^{*}_{33}-b^{*}_{23}b^{*}_{31})+b^{*}_{13}(b^{*}_{21}b^{*}_{32}-b^{*}_{22}b^{*}_{31})</math>,}}
y en términos de los <math>b_{jk's}</math>, queda
{{Eqn|<math>detB^{t}=b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{32}b_{23})-b_{21}(b_{12}b_{33}-b_{32}b_{13})+b_{31}(b_{12}b_{23}-b_{22}b_{13})</math>,}}
{{Eqn|<math>detB^{t}=b_{11}(b_{22}b_{33}-b_{32}b_{23})-b_{12}(b_{21}b_{33}-b_{31}b_{23})+b_{13}(b_{21}b_{32}-b_{31}b_{22})</math>,}}
el cual coincide con {{Eqnref|2.4a}}. Esto permite extender las propiedades en las filas a las colomnas.
{{Importante|'''D-6''' El determinante depende linealmente de la primera fila.}}
Cuando cada término de una fila es suma de otros dos, de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, aplicado a una de las tres expresiones {{Eqnref|2.4a}} - {{Eqnref|2.4c}}, el determinante es suma de dos determinantes como en la manera siguiente:
{{Eqn|<math>\left|\begin{array}{ccc}a_{11}+d_{11} &a_{12}+d_{12} &a_{13}d_{13} \\b_{21} &b_{22} &b_{23} \\b_{31} &b_{32} &b_{33}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lcr}a_{11} &a_{12} &a_{13} \\b_{21} &b_{22} &b_{23} \\b_{31} &b_{32} &b_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{lcr}d_{11} &d_{12} &d_{13} \\b_{21} &b_{22} &b_{23} \\b_{31} &b_{32} &b_{33}\end{array}\right|</math>.|2.5a}}
También, si una fila tiene un factor común,
{{Eqn|<math>\left|\begin{array}{ccc}kb_{11} &kb_{12} &kb_{13} \\b_{21} &b_{22} &b_{23} \\b_{31} &b_{32} &b_{33}\end{array}\right| =k \left|\begin{array}{lcr}b_{11} &b_{12} &b_{13} \\b_{21} &b_{22} &b_{23} \\b_{31} &b_{32} &b_{33}\end{array}\right|</math>.|2.5b}}
De manera similar, tomando el desarrollo adecuado, se tiene:
{{Importante|'''D-7''' El determinante cambia de signo cuando dos filas se intercambian.}}
{{Importante|'''D-8''' La operación elemental de sustraer un múltiplo de una fila a otra no modifica el valor del determinante.}}
La siguiente propiedad se refiere a la multiplicación.
{{Importante|'''D-9''' Para cualquier par de matrices A, B de orden 3, el determinante del producto AB es el producto de los determinantes: <math>det(AB)=detAdetB.</math>}}
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