Diferencia entre revisiones de «Ecuaciones diferenciales ordinarias/Ecuaciones diferenciales de primer orden/Ecuaciones diferenciales separables»
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Línea 62:
Encontrar la solución general de la ecuación
{{Eqn|<math>\sqrt{4-x^2}\cdot{dy\over dx}=-x\sqrt{1-y}</math>|1.7}}
Encontrar además una solución que no pueda ser obtenida a partir de la solución general.
''Solución:'' Para comenzar, debemos notar que la ecuación anterior sólo tiene sentido si <math>y\in(-\infty,1]</math> y <math>x\in[-2,2]</math>. Si, además, <math>y\neq 1</math> y <math>x\neq\pm 2</math>, podemos dividir la ecuación {{Eqnref|1.7}} entre <math>\sqrt{1-y}\cdot\sqrt{4-x^2}</math> y escribirla en forma de diferenciales como
{{Eqn|<math>{1\over\sqrt{1-y}}\, dy=-{x\over\sqrt{4-x^2}}\, dx,</math>}}
luego
{{Eqn|<math>\int{1\over\sqrt{1-y}}\, dy=\int-{x\over\sqrt{4-x^2}}\, dx.</math>}}
Al evaluar las integrales obtenemos
{{Eqn|<math>-2\sqrt{1-y}=\sqrt{4-x^2}+C,</math>}}
que es una ecuación que define la solución de la ecuación diferencial {{Eqnref|1.7}} de manera implícita. Sin embargo, la función dada por <math>y=1</math>, necesariamente excluida en la obtención de la solución general, es también una solución de la ecuación diferencial {{Eqnref|1.7}}.
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