Diferencia entre revisiones de «Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Dentro de los Dielectricos»
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Ahora pasemos a las moléculas que tienen un momento dipolar permanente <math>p_0</math>, como la molécula del agua. En ausencia de campo magnético, los dipolos individuales apuntan en direcciones arbitrarias, produciendo un momento total cero. Cuando se aplica un campo eléctrico, pasan dos cosas: primero, hay un momento dipolar inducido debido a la fuerza sobre los electrones, esta parte da la misma polarizabilidad electrónica que encontramos para moleculas no-polares. Segundo, el campo eléctrico tiende a alinear los dipolos individuales para producir un momento neto por unidad de volumen. Si la alineación fuera perfecta, el momento dipolar sería muy grande, pero eso no sucede ya que, a temperaturas y campos electricos ordinarios las colisiones entre las moléculas evitan este alineamiento. La polarización es calculada mediante métodos de mecánica estadística.
Para el uso de este tipo de métodos necesitamos conocer la energía de un dipolo en un campo eléctrico. Consideremos un dipolo con momento <math>p_0</math> en un campo eléctrico. Sea <math> q\phi(1)</math> la energía de la carga positiva y <math> -q\phi(2)</math> la energía de la carga negativa. Entonces la enrgía del dipolo es
<math> U=q\phi(1)-q\phi(2)= q \vec d\cdot\vec\nabla\phi</math>
<math>U=-\vec p_0\cdot\vec E=-p_0 E cos(\theta)</math>
A partir de la mecánica estadística se sabe que, en estado de equilibrio térmico, el número relativo de moléculas con energía potencial U es proporcional a
<math>e^{\frac{-U}{k T}}</math>
Ahora, sea <math>n(\theta)</math> el número de moléculas por unidad de ángulo sólido en <math>\theta</math>, tenemos
<math>n(\theta)=n_0 e^{p_0 E cos\theta/kt}</math>
Para temperaturas y campos de magnitud normal, el exponente es un número pequeño, entonces, podemos exandir el exponencial en una serie para obtener
<math>n(\theta)=n_0 (1+\frac{p_0 E cos\theta}{kT})</math>
Podemos encontrar <math>n_0</math> si integramos esta expresión sobre todos los ángulos, el resultado debe ser N, el número total de moleculas por unidad de volúmen. El valor promedio de <math>\theta</math> sobre todos los angulos es cero, entonces la integral es sólo <math>n_0</math> multiplicado por el ángulo sólido <math>4\pi</math>
<math>n_0 = \frac{N}{4\pi}</math>
Ahora, para calcular la polarización P necesitamos el vector suma de todos los momentos de las moléculas en una unidad de volúmen. Como sabemos que el resultado será en la dirección de E, sumaremos sólo las componentes en esa dirección (las componente en angulos rectos sumarán cero):
<math>P=\sum p_0 cos\theta_i</math>
Podemos evaluar esta suma integrando sobre la distribución de angulos. El angulo sólido en <math> \theta</math> es <math>2\pi sin\theta d\theta</math>, entonces
<math>P=\int_{0}^\pi n(\theta)p_0 cos\theta 2 \pi sin\theta d\theta</math>
Sustituyendo la expresion que habíamos encontrado un poco antes para <math>n(\theta)</math>
<math>P=-\frac{N}{2}\int_{0}^\pi (1+\frac{p_0 E cos\theta}{kT})p_0 cos\theta 2 \pi sin\theta d\theta</math>
<math>P=\frac{Np_0^2E}{3kT}</math>
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