Diferencia entre revisiones de «Tablas estadísticas/Distribución normal»
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Línea 18:
: <math> f_{(\mu , \sigma)}(x) = \frac{e^{- \frac{(x- \mu)^2}{2 \sigma^2}}}{ \sigma \sqrt{2 \pi}} </math>
Como esta distribución se denomina '''Normal''', suele emplearse la letra N
: <math> N_{(\mu , \sigma)}(x) = \frac{e^{- \frac{(x- \mu)^2}{2 \sigma^2}}}{ \sigma \sqrt{2 \pi}} </math>
Línea 31:
:<math> P(Z_{(\mu , \sigma)} < x) = \int_{- \infty}^{x} N_{(\mu , \sigma)}(x) \, dx </math>
En la distribución normal
Esta integral no tiene solución conocida, y por tanto
== La tabla ==
Línea 45:
: <math> P(Z_{(0, 1)} < 2,04) = 0,979 324 \,</math>
[[Image:DisNormal04.svg|right|300px]]
En la tabla anterior se pueden buscar los valores de la probabilidad normal tipificada:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < x) \,</math>
para valores de '''x''' mayores o iguales a cero, como el ejemplo anterior, hay más casos, que con los datos de la tabla se pueden resolver.
=== Para x < 0 ===
[[Image:DisNormal03.svg|right|300px]]
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < -x) \,</math>
Para hacer este calculo hay que tener en cuenta lo siguiente:
sabiendo que la suma de la probabilidad de que '''Z''' sea menor que un valor, más la probabilidad de que sea mayor que ese valor es uno:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < x) + P(Z_{( 0 , 1 )} > x) = 1 \,</math>
despejando:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} > x) = 1 - P(Z_{( 0 , 1 )} < x) \,</math>
Y sabiendo que la función normal tipificada es simétrica respecto al eje '''x''' = 0:
[[Image:DisNormal06.svg|right|300px]]
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < -x) = P(Z_{( 0 , 1 )} > x) \,</math>
y sustituyendo, tenemos que:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < -x) = 1 - P(Z_{( 0 , 1 )} < x) \,</math>
Donde el valor:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < x) \,</math>
se busca en la tabla.
==== ejemplo ====
Cual es la probabilidad: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < -1,32)</math>
los valores negativos no vienen en la tabla, pero según lo anterior:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < -1,32) = 1 - P(Z_{( 0 , 1 )} < 1,32) \,</math>
según la tabla:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < 1,32) = 0,906 582 \,</math>
por tanto:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < -1,32) = 1 -0,906 582 \,</math>
que resulta:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < -1,32) = 0,093 417 \,</math>
=== Probabilidad de Z > x y x > 0 ===
[[Image:DisNormal10.svg|right|300px]]
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} > x) \; y \; x > 0 </math>
Como en el caso anterior partimos de:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < x) + P(Z_{( 0 , 1 )} > x) = 1 \,</math>
despejando:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} > x) = 1 - P(Z_{( 0 , 1 )} < x) \,</math>
y el valor:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < x) \,</math>
se busca en la tabla.
==== ejemplo ====
Cual es la probabilidad: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} > 2,11)</math>
según el calculo anterior:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} > 2,11) = 1 - P(Z_{( 0 , 1 )} < 2,11) \,</math>
de la tabla tenemos:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < 2,11) = 0,982 570 \,</math>
lo que resulta:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} > 2,11) = 1 - 0,982 570 \,</math>
que resulta:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} > 2,11) = 0,017 430 \,</math>
=== Probabilidad de Z > x y x < 0 ===
[[Image:DisNormal09.svg|right|300px]]
Para calcular:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} > -x) \, </math>
Partimos de la simetría de la función normal tipificada:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < -x) = P(Z_{( 0 , 1 )} > x) \,</math>
y sustituyendo:
: <math> x = -y \,</math>
resulta:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < y) = P(Z_{( 0 , 1 )} > -y) \,</math>
ordenando
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} > -y) = P(Z_{( 0 , 1 )} < y) \,</math>
==== ejemplo ====
Cual es la probabilidad: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} > -2,02)</math>
Según lo anterior:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} > -2,02) = P(Z_{( 0 , 1 )} < 2,02) \,</math>
buscando el valor en la tabla, tenemos que:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} > -2,02) = P(Z_{( 0 , 1 )} < 2,02) = 0,978 308 \,</math>
=== Probabilidad de x1 < Z < x2 ===
Para calcular la probabilidad de que la variable se encuentre entre dos valores x1 y x2, siendo x1 < x2 se tiene en cuenta que:
: <math> P (x1 < Z_{( 0 , 1 )} < x2) = P(Z_{( 0 , 1 )} < x2) - P(Z_{( 0 , 1 )} < x1) \,</math>
[[Image:DisNormal08.svg|right|300px]]
los valores de cada una de estas probabilidades se buscan en la tabla por separado, o se calculan según el caso, por los métodos anteriores.
==== ejemplo ====
Cual es la probabilidad: <math> P(1,50 < Z_{( 0 , 1 )} < 2,00)</math>
se buscan en la tabla las probabilidades:
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < 1,50) = 0,933 192 \,</math>
: <math> P(Z_{( 0 , 1 )} < 2,00) = 0,977 249 \,</math>
Luego, según lo anterior:
: <math> P(1,50 < Z_{( 0 , 1 )} < 2,00) = P(Z_{( 0 , 1 )} < 2.00) - P(Z_{( 0 , 1 )} < 1,50) \,</math>
esto es:
: <math> P(1,50 < Z_{( 0 , 1 )} < 2,00) = 0,977 249 - 0,933 192 \,</math>
Realizando la operación:
: <math> P(1,50 < Z_{( 0 , 1 )} < 2,00) = 0,044 057 \,</math>
== Interpolación lineal ==
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