Física/Lo que aprendí leyendo a Feynman - Electromagnetismo/Electromagnetismo

El electromagnetismo es la rama de la física que estudia y unifica los fenómenos eléctricos y magnéticos en una sola teoría. El electromagnetismo describe la interacción de partículas cargadas con campos eléctricos y magnéticos. La interacción electromagnética es una de las cuatro fuerzas fundamentales del universo conocido. Las partículas cargadas interactúan electromagnéticamente mediante el intercambio de fotones.

El electromagnetismo abarca diversos fenómenos del mundo real como por ejemplo la luz. La luz es un campo electromagnético oscilante que se irradia desde partículas cargadas aceleradas. Aparte de la gravedad, la mayoría de las fuerzas en la experiencia cotidiana son consecuencia de electromagnetismo.

Así como cuando por fin encontramos la llave que nos va a permitir entrar a un lugar totalmente desconocido, donde nadie jamás ha entrado y en el cual tenemos la certeza de que, tarde o temprano, vamos a descubrir algo interesante, así, con esas mismas ganas, Richard Feynman hereda la adrenalina necesaria al lector para poder sumergirse en el mundo del electromagnetismo en este primer capítulo del libro. Lejos de ser un prólogo o una síntesis global del mismo, aquí expreso (en lo personal) los ganchos que permitan descubrir lo interesante de su lectura.

Una fuerza muy especial...

Supongamos que queremos hacer un diccionario y queremos empezar a definir conceptos. Iniciamos definiendo fuerza eléctrica. A dicho concepto le atribuimos propiedades, como por ejemplo, asumimos que a la fuerza eléctrica le gusta la moda de ser simétrica. ¿Por dónde le buscamos? Bien, pues si nos ponemos a observar un caso especial, como conectar el cargador del celular, nos damos cuenta de que el enchufe tiene dos orificios...(existen casos donde hay tres, pero para éste caso, da lo mismo), en principio pudieron haber sido cuatro, cinco o simplemente uno, pero al final sólo existen dos. El punto es que por la sabiduría popular hemos aprendido que en nuestras casas, uno de esos orificios es positivo y el otro negativo. ¿Qué significa esto?

Ayuda saber que a nivel elemental, la materia de la cual estamos constituidos (personas, cargadores y celulares) está hecha de átomos y en los átomos existen partículas que poseen una propiedad llamada carga eléctrica. Aquí radica la simetría. Existen dos especies de carga, tales que conglomeradas en un grupo y dejadas al azar, especies iguales se repelen y especies opuestas se atraen. Éste hecho es tan simple que da risa pensarlo por lo común que es. Pero es tan trascendente que vale la pena estudiarlo con detenimiento. Volviendo al átomo, sabemos que en el núcleo existen partículas llamadas nucleones (obvias razones) que son el protón con carga positiva y el neutrón con carga neutra, en cuyo alrededor giran otras partículas llamadas electrones con carga negativa, como si fuera un minisistema solar. El átomo pues, visto desde afuera es por naturaleza, neutro.

Equilibrio. ¿Por qué a primera vista, no estamos tan familiarizados con la fuerza eléctrica, pero sí con la gravedad? Muchas veces, el desconocimiento de algo nos causa temor: en sus orígenes el hombre le temía al fuego y al trueno porque no los entendía. A gran parte de las personas les causa temor las cuestiones eléctricas porque creen que sufrirán algún daño al manejar cables, aparatos o enchufes. Lo cierto es que la naturaleza de la fuerza eléctrica radica es su perfecto equilibrio. Los objetos del mundo son neutros porque hay equilibrio entre positivos y negativos. Algo así como el Ying y el Yang eléctrico, partes iguales y en cantidades iguales. ¿Podríamos vivir en un mundo con aire para respirar cargado? Quizás pero ante una ligerísima descompensación eléctrica en nuestro cuerpo, el acto de respirar sería molesto: ¿se imaginan tener toques en los pulmones?

La fuerza eléctrica ha estado con nosotros desde siempre, al igual que la gravedad y que otras cuestiones físicas, solo que sus manifestaciones son por causas de desequilibrios. Qué curioso, nos damos cuenta de que algo existe porque deja de funcionar ordenadamente. Peor que un desequilibrio hormonal, un desequilibrio de cargas del menos del 1% en el cuerpo de algún mortal crearía una fuerza de repulsión tan grande que bien podría mover la tierra. Hagan cálculos.

Cabe mencionar de que el hecho de que se le haya asignado el nombre de carga positiva a la partícula llamada protón y carga negativa al electrón es una mera convención. Bien pudo haber sido al revés: electrón carga positiva y protón carga negativa. Una manera de evitar confusiones en física como las del tipo conversión de unidades es aceptar normas estándar para algunos conceptos, y ésta fue una de ellas. No existe diferencia real subjetiva entre cargas de la misma especie, sólo que se repelen. Si a las que llamamos positivas las ordenamos en una cajita, dado que tienen la misma carga, todas lucirán idénticas. Lo mismo pasará con las que llamamos negativas. Pero ya hemos inducido que si mezclamos las cajas, se armará una revolución por las atracciones y repulsiones entre ellas. ¿Qué hace que un protón y un electrón se atraiga y dos electrones se repelan? El concepto mismo de fuerza.

Parte del éxito de Newton fue explicar matemáticamente algo tan común como la fuerza entre dos cuerpos (en su caso, fuerza gravitatoria). Para nuestro caso, una fuerza especial que se tratará es la fuerza eléctrica arriba presentada. A los físicos nos gusta medir, y en cierto punto, medir es comparar. Hagamos apuestas. Si fuera una pelea de box, ¿a qué fuerza le apostaría que va a ganar, a la fuerza gravitatoria o a la fuerza eléctrica? A la gravedad la vemos todos los días: nos permite mantener los pies en la tierra aunque nuestro ego no lo esté, hace que el mar no salga disparado y que la galaxia completa se mantenga compacta girando alrededor del superhoyo negro en la constelación de Sagitario. A la fuerza eléctrica la vemos más tímida en los motores eléctricos, en algunas descargas de fusibles siempre tan colorida de chispas y hasta cuando andamos descalzos en una alfombra y queremos abrir la puerta, sentimos toques.

A primera vista, gravedad gana porque qué se compara con mover un planeta a sentir toques. Pero, ¿se han puesto a pensar qué pasa cuando a uno se le caen a uno las llaves? Bueno, pues no pasa de que lleguen al suelo y ya. ¿Y nada más? Es un hecho de que por la simple razón de que un cuerpo tenga masa, éste atrae a otros cuerpos en forma radial. La tierra, atrae a la luna, satélites, edificios, personas y llaves a su centro, de manera natural. Pero para el caso de las llaves, estas no pasan del suelo porque simplemente, no pueden, ya que algo las detiene. Y ese algo es la fuerza eléctrica. Pensemos qué es lo que sucede a nivel atómico. Al contacto con la superficie del suelo, los átomos del las llaves al

caer sienten a los átomos del suelo (ver figura).

Archivo:Llaves de elena.png

Las cargas eléctricas de los átomos del suelo evitan que las llaves los traspasen

Los electrones en la superficie también sienten la influencia de sus colegas en las llaves. La fuerza eléctrica de repulsión entré éstos aparece forzando a toda la masa de las llaves a detener su camino, liberando energía en forma de sonido, calor, etcétera. Así pues, la cruda realidad es que la simple área delimitada por las llaves genera una fuerza eléctrica de repulsión suficiente como para detenerlas de la caída producida por la fuerza de atracción de toda la tierra. Increíble, ¿no?

Más increíble es, que la razón por la cual sentimos por medio del tacto, es debido a la estimulación de las fuerzas eléctricas de repulsión de nuestros sensores en la piel. La noción de contacto se reduce a repulsión. Cuando nos cortamos, la presión que se genera en cierta área de nuestra piel es tal que la fuerza de repulsión cede y se abre paso, dejando entrar el objeto que hiere, la piel entonces se rasga pero jamás toca la superficie del alfiler (por ejemplo).

Otra vez dentro del átomo pensemos ¿por qué éste no colapsa? Sabemos que existen fuerzas eléctricas muy fuertes en comparación con la gravedad, ¿por qué hay estabilidad en el átomo más simple, que es el de hidrógeno, siendo que hay exactamente una carga positiva y una carga negativa? Ésta pregunta es muy importante, ya que el hidrógeno está presente en múltiples organismos y en general, en todo el universo. Debería ser inestable. Pero otra vez, la naturaleza sorprende. La respuesta viene de la Mecánica Cuántica.

Ya vimos que dos superficies no se tocan, sino que es la fuerza de repulsión eléctrica la que a escala microscópica las separa. Ahora en lugar de superficies tenemos un electrón en la mano izquierda y un protón en la mano derecha. Claramente sentimos una fuerza atractiva entre estos dos objetos. Pero no hay que olvidar que estamos en el mundo subatómico y las cosas son muy diferentes a las vistas en nuestro mundo. La física es diferente a diferentes escalas.

Si acercamos el electrón al protón, debido al principio de incertidumbre de Werner Heisenberg, debe existir un momento o cantidad de movimiento, que en términos matemáticos se expresa: $\Delta x\Delta p\geq \hbar$ el término de la derecha es del orden de 10^-34, muy pequeño pero distinto de cero. Grande comparado con las escalas subatómicas. El punto es, que si acercamos más y más el electrón al protón, la distancia entre ellos tiende a cero, pero la cantidad de movimiento tiende a infinito. O sea, nuestra pobre mano izquierda se moverá tan salvajemente conforme la acercamos a la derecha que quizás va a llegar un lapso en el que salga volando por los aires. Y todo por acercarla más y más al protón de carga positiva. Rara sutileza.

Las órbitas atómicas obedecen éste principio y todo gira alrededor del equilibrio energético. Ya visto pues que el átomo de hidrógeno no colapsa, ¿por qué el núcleo mismo de átomos más pesados no se desintegra siendo que está hecho por partículas de igual carga que deberían repelerse? En la naturaleza existen hasta la fecha, cuatro interacciones fundamentales. Se les llama formalmente interacciones en lugar fuerzas porque a nivel básico, a cada fuerza se le asocia una partícula portadora de dicha fuerza, que es intercambiada por otras partículas que sienten dicha fuerza a manera de interacción: siento y te respondo, etcétera. Esta idea viene de la física de partículas.

Archivo:Grafica nuclear vs electro.png

Gráfico de la fuerza nuclear fuerte versus la fuerza electromagnética en los radios atómicos

Las cuatro interacciones son la gravedad, la electromagnética, la nuclear fuerte y la nuclear débil. Para responder a esta pregunta haremos uso de la interacción nuclear fuerte. Como su nombre lo indica, es la más fuerte de todas, sólo que su radio de acción es, por desgracia, el más corto de todas, ya que queda confinado al radio de un átomo promedio. Otra peculiaridad es que su magnitud como fuerza decrece más rápido que 1/r^2, que es la tasa de decaimiento de la magnitud de la fuerza eléctrica. Así, para átomos con radios nucleares pequeños, es increíblemente poderosa, pero conforme el número atómico crece, se hace inestable ya que entra en conflicto con las interacciones de protones con otros protones.

Imaginemos un globo de plástico que puede contener cierta cantidad de canicas, conforme le vamos agregando más y más canicas, el globo crece pero llega al limite de que con cualquier movimiento brusco éste se rompa liberando todo su contenido. Lo mismo pasa con el átomo de uranio con 92 protones. Es tal la disputa entre la fuerza nuclear y la eléctrica repulsión en el núcleo, que cuando se le llega a aventar un simple neutrón, se desencadena un rompimiento que libera trozos de átomo y partículas alejadas por la repulsión que por fin sale a flote.

La energía aquí descrita es la que se genera en una bomba atómica. Es raro de decir, pero la energía que se libera en una desintegración nuclear es 100% eléctrica. Los trozos salen disparados porque se odian, se repelen. Pero lo que siempre se destruye en el núcleo. Por eso lo de fisión nuclear.

Sentir de lejos

El hecho de que yo traiga un vaso con agua desde la mesa del comedor hasta mi cuarto sin haberme levantado puede deberse a dos cosas: a que sea yo el hombre elástico o a que tengo el poder de la acción a distancia. Por otro lado, ¿cuántas veces no hemos soñado con poder influir en las personas, con el mero poder del pensamiento (para lograr algún objetivo, digamos, copiar un examen o saber si nos gusta)?... Pues tristemente, una carga eléctrica parece que sí lo puede hacer. Dejada en el vacío, una electrón extiende su influencia por todo el espacio afectando las vidas de lo que sea que tenga carga, igual u opuesta, a la suya. Un imán, a cierta distancia de una mesa llena de herrumbre de fierro, puede 'mover' a las partículas de metal a su antojo dentro de un cierto rango. ¿Cómo podemos entender estos fenómenos? ¿En qué se sustenta el poder sentir de lejos?

Estrictamente hablando, un campo es una función matemática que varía en el espacio (no es la definición formal, pero nos ayudará). El ejemplo clásico es el de la temperatura en un cuarto: si nos ponemos con un termómetro junto a la ventana, puede que la temperatura sea alta a comparación de debajo de la cama, o viceversa. Para cada punto del espacio podemos imaginar un termómetro que mide la temperatura allí exactamente y que conforme recorremos la habitación, varía su lectura. A un conjunto de cantidades numéricas que varíen con la posición, se le llama campo escalar. Por Newton, sabemos que la fuerza es una magnitud vectorial. Fuerza y campos eléctrico $E$ y magnético $B$ son proporcionales a la carga y está relacionados por la fuerza de Lorentz:

${\vec {F}}=q[{\vec {E}}+v\times {\vec {B}}]$

Entonces, ${\vec {E}}$ y ${\vec {B}}$ serán campos vectoriales. El sustento por el cual una carga influye en el espacio se basa en éste tipo de campos. Vale la pena recordar que en esencia, vector es más que una simple flechita. Es un objeto matemático que posee magnitud o tamaño, y dirección (hacia a dónde apunta), que sigue reglas matemáticas formales y que le facilita la vida a los físicos en su afán de resolver algunos problemas.

Un hecho interesante de los campos E y B es que se pueden superponer. La idea clásica se visualiza en que dos ondas sumadas en fase producen una onda con el doble de amplitud. Así pues, una carga $Q$ de prueba, alejada cierta distancia, sentirá el doble de magnitud de campo ${\vec {E}}$ si éste es generado por dos cargas. En pocas palabras, para los campos arriba mencionados se les puede sumar y restar la cualidad de influencia: para ${\vec {E}}$, más cargas es más influencia.

Existen otras propiedades que hacen un poco más entendible la noción de campos vectoriales. Matemáticamente, se puede definir la propiedad de flujo tal como estamos acostumbrados: a la orilla de un río, podemos ver cómo el agua corre en una dirección, decimos entonces que fluye. El flujo vectorial consiste en que en lugar de que sea una cantidad compacta de materia, como lo puede ser el agua, sean vectores los que apunten en dicha dirección de fluidez y sean las trayectorias tangenciales de éstos, o sea, las líneas de campo (vectores en fila india) los que provean el flujo. Entonces quedaría que:

$Flujo=(componente\,normal\,promedio)\,(area\,de\,superficie)$

La componente normal promedio no es mas que la componente perpendicular al área de superficie (ver figura). La magnitud del flujo vectorial dependerá de cuántas componentes normales pasen a través de cierta área. Decimos que una superficie es cerrada si podemos caminar sobre ella y jamás encontraríamos un borde o abismo (una esfera) y decimos que una superficie no es cerrada cuando dicha superficie está delimitada por una frontera (o abismo).

La otra propiedad característica de los campos vectoriales es su circulación. Cuando le bajamos al baño, el agua del retrete se hace remolino alrededor de un punto (la tubería del caño). Cuando un niño corre con su rehilete por el parque, éste gira porque el aire circula por la superficie de plástico. Cuando un campo vectorial rota, su circulación está dada por:

$Circulacion=(componente\,tangencial\,promedio)\,(distancia\,recorrida)$

Así pues, las corrientes que ascienden por el vértice de un huracán generan una serie de fuerzas que poseen componentes vectoriales tangenciales a su trayectoria, lo que provoca una espiral que bien puede medirse por medio de la circulación. Otro nombre para esto es rotacional vectorial.

Las ideas de campo, flujo, rotacional (y un poquito de líneas de campo) permiten una comprensión de lo que físicos como Faraday y Newton sabían pero no podían describir: ¿cómo influir de lejos?

Las cuatro fantásticas

Termino esta parte del capitulo con una descripción breve y general de lo que son las cuatro ecuaciones de Maxwell para el electromagnetismo.

La primera ley en electromagnetismo se deriva de un super teorema matemático hecho por uno de los grandes: Gauss. La así llamada ley de Gauss describe el flujo total del campo eléctrico:

$El\,flujo\,de\,{\vec {E}}\,a\,traves\,de\,cualquier\,superficie\,cerrada={\frac {(la\,carga\,total\,encerrada)}{\epsilon _{0}}}$

¿Qué significa esto? Puede pasar que tengamos una carga eléctrica y queremos saber cuánta es. Lo que hacemos es encerrarla en su respectiva superficie gaussiana (esfera, cilindro, cubo, etc, pero que sea completamente una superficie cerrada) y contamos cuántas líneas perpendiculares de campo pasan a través de la superficie. ¿Que cómo le hacemos para contar las líneas de campo? pues evaluamos una función dada, correspondiente a la forma que tendría (en flechitas) el campo eléctrico en el espacio (como una foto tridimensional de las líneas de campo)en una integral cerrada, cerrada porque corresponde al área de la superficie gaussiana) y ya...

La segunda ley corresponde a la segunda propiedad característica general de los campos vectoriales: la circulación ó rotacional. Si tomamos una curva arbitraria en el espacio y medimos el rotacional del campo eléctrico alrededor de dicha curva, en general no es cero. Entonces para electricidad:

para cualquier superficie Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {S}}} (no cerrada) delimitada por una curva Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle {\emph {C}}} (la superficie de una hoja de papel S está delimitada por un borde , que es una línea cuadrada C; la superficie S' de un vaso está delimitada por el borde donde tomamos, que es un círculo C', etc) se tiene que:

Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle La\,circulacion\,de\,{\vec {E}}\,alrededor\,de\,{\emph {C}}={\frac {d}{dt}}\,(flujo\,de\,{\vec {B}}\,a\,traves\,de\,{\emph {S}})}

Electrodinámica pura! (Ley de Faraday)! descifremos el lado derecho de la ecuación: imaginemos un aro de metal y una imán en barra. Si acercamos el imán al centro del aro las líneas de campo pasarán a través de la superficie circular que genera el aro. Ahora, si lo empezamos a mover dentro y fuera del aro, las líneas de campo se ven afectadas y cambian en función del tiempo, entonces, según la segunda ecuación de Maxwell, en el aro se generará una componente tangencial del campo E tal que hará circulación en dicha trayectoria. Nótese que cuando la razón de cambio de el imán para con el aro no depende del tiempo (esto es, constante) el rotacional del campo eléctrico es cero y se puede apreciar de la imagen de las líneas de campo que genera una carga eléctrica en reposo: su campo es radial y para nada posee componentes tangenciales.

Completaremos las leyes de Maxwell describiendo las propiedades del campo vectorial magnético:

Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle El\,flujo\,de\,{\vec {B}}\,a\,traves\,de\,cualquier\,superficie\,cerrada\,{\emph {S}}=0}

Interpretación: ¿Se pueden separar los polos magnéticos de un imán? Esto es, ¿puede existir algún material que visto por donde sea, genere sólo atracción magnética negativa o sólo atracción magnética positiva? ¿existen los monopolos magnéticos (cargas magnéticas)? Esta simple pregunta tiene mucho romanticismo y radica en que se rompe con la belleza estética (aunque fría) de la naturaleza matemática y de la teoría física. La ecuación análoga a esta fue la misma ecuación de Gauss, que dice que si sabemos el flujo total a través de la superficie cerrada, entonces sabemos cuanta carga encerrada hay. Pero esto funciona porque cada línea de campo radiada por un protón, por ejemplo, sale de la superficie y jamás entre, por lo que no se cancela y se puede tomar en cuenta. En pocas palabras, las líneas de campo magnético con curvas cerradas, aros, para nada líneas rectas que divergen más y más unas de otras, sino que salen de la superficie de la cual, hipotéticamente se podría encerrar una carga magnética, y vuelven a entrar por el otro lado, cancelando el flujo total. Hasta hoy, no se ha descubierto una carga magnética. Teóricos como Paul M. Dirac inventaron teoría profunda que llega a predecir, bajo ciertas condiciones, la existencia de dichos monopolos. Está por verse.

Si algún día una persona le dice que:

Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. TeX parse error: Undefined control sequence \emph"): {\displaystyle c^{2}\,(circulacion\,de\,{\vec {B}}\,sobre\,una\,trayectoria\,{\emph {C}})={\frac {d}{dt}}\,(flujo\,de\,{\vec {E}}\,a\,traves\,de\,{\emph {S}})\,+\,{\frac {(flujo\,de\,una\,corriente\,electrica\,a\,traves\,de\,un\,area\,{\emph {S}})}{\epsilon _{0}}}}

no lo juzgue por loco, sino que más bien, apiádese de él, porque puede que sea un estudiante de física declamando la ley de Ampère y última ecuación de Maxwell del electromagnetismo. Aquí se cierra el ciclo, ya que así como se vio que un campo magnético variable generaba un campo eléctrico, también pasa lo contrario: que un campo eléctrico variable genere un campo magnético. Podemos decir algo de esta ecuación en un ejemplo de magnetostática. Una corriente eléctrica constante (electrones moviéndose) en un alambre genera un campo magnético circular como se ve en la figura. Si evaluamos la integral de la magnitud de campo magnético sobre esa trayectoria circular encontramos cuánta corriente pasaba por el alambre. Sutiles recuerdos a la ley de Gauss...

Históricamente, se hace alusión a estas cuatro ecuaciones como las ecuaciones de Maxwell. Corren rumores que antes ya se habían publicado y que esto no es más que un plagio del dichoso Maxwell. Otra vez, más romanticismo al asunto. Lo que sí podemos estar seguros es que el intelecto de éste gran físico escocés sentó las bases de un sueño llamado unificación. Para el mundo de la física, no hay nada más bello que poder describir a la naturaleza con la menor cantidad de esfuerzo en trazos de tinta y gis que se gastan al escribir ecuaciones. Maxwell unió con estas ecuaciones, dos mundos que antes parecían completamente alejados. Dos caras de la misma moneda, no hay mejor ejemplo de lo que son, a nivel básico, de la electricidad y el magnetismo.