Electrónica/Transformada de Laplace

DefiniciónEditar

La Transformada de Laplace de una función matemática f(t) definida para todos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:

 


Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

 

La transformada de Laplace F(s) tipicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).

Gracias a la transformada de Laplace se pueden resolver muchos circuitos (siempre que sean "Laplace-transformables"), los cuales son muy difíciles de resolver en el dominio del tiempo. Un ejemplo de esto son los circuitos con múltiples inductancias y condensadores, ya que por cada uno de estos componentes que se agregue, la ecuación resultante es una ecuación diferencial de mayor orden. Al transformar este tipo de circuitos al dominio de Laplace las ecuaciones se simplifican considerablemente y es posible resolverlas en ese dominio, para después llevarlas al dominio del tiempo resueltas.

PropiedadesEditar

PROPIEDAD DE LINEALIDAD Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales. · A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar. · Sea el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (so, ") ó [so, "). También es espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G se define F+G en la forma usual, en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en si coinciden en un intervalo de la forma (a, "). · Entonces es aplicación del espacio vectorial A en él. Teorema Si c1 y c2 son constantes y F1(t) y F2(t) son funciones cuyas transformadas de Laplace son, respectivamente, f1(s) y f2(s), entonces:

L {c1F1(t) + c2F2(t)}

                     = c1L{F1(t)} + c2L{F2(t)} 
                     = c1f1(s) c2f2(s)

Ejemplo1.

L{4t2 - 3 cos2t + 5e-t}
                        = 4L(t2} - 3L{cos2t} + 5L{e-t}
                        = 4 * 2! - 3 * s + 5 * 1s3 s2 + 4 s + 1
                        = 8 - 3s + 5s3 s2 + 4 s + 1

Ejemplo 2.

L{4e5t + 6t3 - 3sen4t + 2cos2t}

        = 4L{e5t } + 6L{t3 } - 3L{sen4t} + 2L{cos2t}
        = 4 * 1 + 6 * 3! - 3 * 4 + 2 * 2s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4
        = 4 + 36 - 12 + 4s - 5 s3 s2 + 16 s2 + 4
        donde s > 5.

Potencia n-ésimaEditar

 

NT: en la demostración aparece la función Gamma, tener presente esto :)

ExponencialEditar

 

SenoEditar

 

CosenoEditar

 

Seno hiperbólicoEditar

 

Coseno hiperbólicoEditar

 

f(t)=cosh(t)/e

Logaritmo naturalEditar

 

Raiz n-ésimaEditar

 

Función de Bessel de primera claseEditar

 

Función modificada de Bessel de primera claseEditar

 

Función de errorEditar

 

DerivaciónEditar

 
 
 
 
 

NT: en la demostración recordar que   debe crecer más rápidamente que la función, y así calcular su límite  (el cual seria cero, sino no habria como calcular) es por esto que funciones del tipo   (que crece mas rápido que  pueden ser obtenidas por Laplace

IntegraciónEditar

 

Desplazamiento en sEditar

 

Desplazamiento temporal en tEditar

 
 

Nota:   es la función escalón.

Desplazamiento potencia n-ésimaEditar

 

ConvoluciónEditar

 

Transformada de Laplace de una función con periodo pEditar

 

Otras transformadas comunesEditar

Transformada de Laplace Función en el tiempo
       , unit step                    

Ecuaciones eléctricas equivalentes en LaplaceEditar

Sean:

 
 


Leyes de interacción (Kirchhoff)Editar

 
 

Ley de componentesEditar

 
 
 

ImpedanciasEditar

Las impedancias en el dominio de Laplace son similares a las que se obtienen trabajando con fasores.

En R:
 
En C:
   
En L: