Electrónica/Números Complejos

Definición

Los Números Complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que $\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$. Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.

Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:

$\mathrm {i} ^{2}=-1$

Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo ambas partes. Una unidad imaginaria nunca se junta con una unidad real.

Plano de los números complejos

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.

Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.

Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades:

• (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
• (a, b) · (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Valor absoluto, conjugado y distancia

Valor absoluto

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

$|z|={\sqrt {\mathrm {Re} (z)^{2}+\mathrm {Im} (z)^{2}}}$

Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.

Si el complejo está escrito en forma polar z = r e^iφ, entonces |z| = r.

Podemos comprobar con facilidad estas tres importantes propiedades del valor absoluto

$|z|=0\Longleftrightarrow z=0$

$\left|z+w\right|\leq |z|+|w|$

$\left|zw\right|=|z||w|$

para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

Conjugado

El conjugado de un complejo z (denotado como ${\bar {z}}$ ó $z^{*}\,\!$) es un nuevo número complejo, definido así:

${\bar {z}}=a-\mathrm {i} b\Longleftrightarrow z=a+\mathrm {i} b$

Con este número se cumplen las propiedades:

${\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$

${\overline {z}}+z=2*\mathrm {Re} (z)$

${\overline {z}}-z=2*\mathrm {Im} (z)$

${\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}$

$z\in \mathbb {R} \Longleftrightarrow {\bar {z}}=z$

$|z|^{2}=z{\bar {z}}$

$z\neq 0\Longrightarrow {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}$

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Representación polar y geometría

Algunas veces, la representación de números complejos en la forma z = a + i b ("coordenadas rectangulares") es menos conveniente que otra representación, usando coordenadas polares.

Representamos el número complejo z en el plano de números complejos como un punto con coordenadas (a, b).

Trazamos la distancia desde el punto (0,0) hasta (a, b), a la que llamaremos r, y, que como se ha visto antes, es igual al módulo de z, expresado $|z|$.

Esta distancia forma, con respecto al eje real positivo, un ángulo, denominado $\phi$.

Gráfico de un complejo en el plano, con ángulo y distancia

La representación polar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo $\phi$:

$z=re^{\mathrm {i} \phi }\Rightarrow z=re^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}k)}$

Veamos cómo obtenemos esa expresión:

Formamos un triángulo rectángulo, con r como hipotenusa, y con catetos a y b. Vemos que:

$\sin \phi ={\frac {b}{r}}$

$\cos \phi ={\frac {a}{r}}$

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

$z=a+\mathrm {i} b\Longrightarrow z=r\cos {\phi }+\mathrm {i} r\sin {\phi }$

Sacamos factor común r:

$z=r\left(\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }\right)$

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

$\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }=e^{\mathrm {i} \phi }\Longleftrightarrow z=re^{i\phi }$

No obstante, el ángulo $\phi$ no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:

$\forall {k}{\in }\mathbb {Z} \;z=e^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}k)}$

Por esto, generalmente restringimos $\phi$ al intervalo (-π, π] y a éste $\phi$ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ = arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

$z_{1}z_{2}=rse^{\mathrm {i} (\phi +\psi )}\Leftrightarrow z_{1}z_{2}=re^{\mathrm {i} \phi }se^{\mathrm {i} \psi }$

División:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r}{s}}e^{\mathrm {i} (\phi -\psi )}$

Potenciación:

$z^{n}=r^{n}e^{\mathrm {i} \phi n}\Leftrightarrow z^{n}=\left(re^{i\phi }\right)^{n}$

Geometría y operaciones con complejos

Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar dos complejos z₁ =a₁ + ib₁ y z₂ = a₂ + ib₂, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto (a₁, b₁) y (a₂,b₂), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo z₁ + z₂.

Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z₁ y z₂, primero medimos el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que representa al complejo producto z₁ · z₂. La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista como la una transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.

Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que (-1) · (-1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º.

Soluciones de ecuaciones polinómicas

Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

Análisis complejo

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad de usos como herramienta de Matemática aplicada|matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejo provee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientras que las funciones reales. de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones de variable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar. Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada o animaciones en 3D para representar las cinco dimensiones

Aplicaciones

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r e^iφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma

                               $f(t)=ze^{iwt}\,\!$

donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

Representaciones alternativas de los números complejos

Otras representaciones, no tan frecuentes, de los números complejos pueden darnos otra perspectiva de su naturaleza. Una especialmente elegante interpreta cada complejo como una matriz 2x2 con números reales como entradas que estiran y rotan los puntos del plano. Cada una de estas matrices tiene la forma

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\\\end{pmatrix}}$

con números reales a y b. La suma y el producto de dos matrices queda de nuevo de esta forma. Cualquier matriz no nula es invertible, y su inverso es de nuevo de esta forma. Por consiguiente, las matrices de esta forma son un cuerpo. En efecto, este es exactamente el cuerpo de los complejos. Cualquier matriz puede ser escrita:

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\\\end{pmatrix}}=a\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}+b\cdot {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}$

Lo cual sugiere que se puede identificar la unidad con la matriz

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

y la unidad imaginaria

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\\\end{pmatrix}}$

Id est, una rotación de 90 grados. ¡Nos damos cuenta de que el cuadrado de esta matriz es ciertamente igual a -1!

El valor absoluto de un complejo expresado como una matriz es igual a la raíz cuadrada del determinante de la matriz. Si vemos la matriz como una transformación del plano, entonces la transformación rota puntos con un ángulo igual al argumento del complejo y escala multiplicando por un factor igual al valor absoluto del complejo. El complejo conjugado de z es la transformación con la misma rotación dispuesta por z pero en sentido inverso, y escala de la misma manera que z; esto puede ser descrito por la traspuesta de la matriz correspondiente a z.