Ecuaciones diferenciales ordinarias/Ecuaciones diferenciales de primer orden/Ecuaciones diferenciales exactas

Recordemos que si $z=f(x,y)\,$, entonces el diferencial total de $z$ se define como

$dz={\partial z \over \partial x}\,dx+{\partial z \over \partial y}\,dy,$

donde $dx$ y $dy$ son números cualesquiera llamados incremento en $x$ e incremento en $y$ respectivamente.

Ejemplo 1.6: Si $z=2x\sin y-3x^{2}y^{2}\,$, entonces

$dz=(2\sin y-6xy^{2})\,dx+(2x\cos y-6x^{2}y)\,dy.$

Vemos pues que si $z=f(x,y)$, entonces el diferencial total de $z$ está definido por una expresión de la forma

$P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy.$

(1.15)

Si bien el diferencial total de $z=f(x,y)$ siempre viene definido por una expresión de la forma (1.15)

, el recíproco no es necesariamente cierto, es decir, una expresión diferencial de la forma (1.15)

puede no ser el diferencial total de una función $z$ de $x$ e $y$.

Definición 1.7: Se dice que una expresión diferencial de la forma

$P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy$

es exacta si y sólo si esta define el diferencial total de una función de $x$ e $y$.

Por el ejemplo 1.6, sabemos que la expresión diferencial

$dz=(2\sin y-6xy^{2})\,dx+(2x\cos y-6x^{2}y)\,dy.$

es exacta, pues esta define al diferencial total de la función dada por

$z=2x\sin y-3x^{2}y^{2}.\,$

Ahora bien, si igualamos a cero una expresión diferencial de la forma (1.15)

, resulta la ecuación diferencial (escrita en forma diferencial)

$P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0.$

Se dice que esta ecuación diferencial es exacta si el miembro izquierdo de la ecuación es una expresión diferencial exacta. El teorema siguiente nos da las condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales una ecuación diferencial es exacta.

Teorema 1.8: Una ecuación diferencial

$P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0.$

es exacta si y sólo si

${\partial P \over \partial y}={\partial Q \over \partial x},$

(1.16)

donde las funciones definidas por $P(x,y)\,$ y $Q(x,y)\,$, las derivadas parciales en (1.16)

y las derivadas parciales $\textstyle {\partial P \over \partial x}$ y $\textstyle {\partial Q \over \partial y}$ existen y son continuas en una región simplemente conexa $R$.  

Demostración: Probaremos primero la implicación. Si la ecuación diferencial

$P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0.$

es exacta, entonces existe una función $f$ tal que

${\partial \over \partial x}f(x,y)=P(x,y)\qquad {\mbox{y}}\qquad {\partial \over \partial y}f(x,y)=Q(x,y).$

Por hipótesis, tenemos que $\textstyle {\partial P \over \partial y}={\partial \over \partial y}\left({\partial \over \partial x}f(x,y)\right)$ y $\textstyle {\partial Q \over \partial x}={\partial \over \partial x}\left({\partial \over \partial y}f(x,y)\right)$ existen y son continuas en una región $R$, de modo que, por el teorema de Clairaut-Schwarz,

${\partial \over \partial y}\left({\partial \over \partial x}f(x,y)\right)={\partial \over \partial x}\left({\partial \over \partial y}f(x,y)\right),$

para todo $(x,y)\in R$, es decir,

${\partial P \over \partial y}={\partial Q \over \partial x}.$

Probaremos ahora el recíproco. Supongamos que tenemos la ecuación diferencial $\textstyle P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0$, donde $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ y $\textstyle {\partial P \over \partial y}={\partial Q \over \partial x}$ son continuas en una región $R$. Buscamos una función $f$ que cumpla, en particular, la propiedad de que

${\partial \over \partial x}f(x,y)=P(x,y)\qquad \Rightarrow \qquad f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}P(x,y)\,dx+C(y).$

La expresión $R(y)$ constituye aquí el equivalente de la constante de integración, ya que está desaparece al tomar la derivada parcial con respecto a $x$.

La otra parte que debe cumplir la función $f$ es que

${\partial \over \partial y}f(x,y)=Q(x,y),$

de donde resulta que

${\begin{matrix}Q(x,y)&=&\displaystyle {\partial \over \partial y}\left(\int _{x_{0}}^{x}P(x,y)\,dx+C(y)\right)\\[6mm]&=&\displaystyle {\partial \over \partial y}\int _{x_{0}}^{x}P(x,y)\,dx+C'(y)\\[6mm]&=&\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\partial \over \partial y}P(x,y)\,dx+C'(y).\end{matrix}}$

La última igualdad es válida por que, por hipótesis, $P(x,y)$ es continua. Puesto que $\textstyle {\partial P \over \partial y}={\partial Q \over \partial x}$, tenemos que

${\begin{matrix}\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\partial \over \partial y}P(x,y)\,dx+C'(y)&=&\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}{\partial \over \partial x}Q(x,y)\,dx+C'(y)\\[6mm]&=&Q(x,y)-Q(x_{0},y)+C'(y)\end{matrix}}$

Así pues

$Q(x,y)=Q(x,y)-Q(x_{0},y)+C'(y)\qquad \Rightarrow \qquad C'(y)=Q(x_{0},y),$

luego

$C(y)=\int _{y_{0}}^{y}Q(x_{0},y)\,dy.$

Tenemos entonces que la función buscada debe cumplir

$f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}P(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}Q(x_{0},y)\,dy.$

Para que tal función exista sólo debe exigirse que pueda llevarse a cabo la integración, lo cual sucede si $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ están definidas en una región simplemente conexa $R$ y si $[x_{0},y_{0}]\times [x,y]\subseteq R$, siendo todo esto garantizado por la hipótesis del teorema.

$\blacksquare$

Notemos que la prueba del teorema anterior nos da una forma de encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta.