Ecuación de Segundo Grado

Definición

Una Ecuación de Segundo Grado o Cuadrática es toda ecuación de la forma

$ax^{2}+bx+c=0$

donde $a,b,c$ son números reales y $a\neq 0$.

Una ecuación cuadrática representa, gráficamente, a una parábola.

La orientación de la parábola va a depender del signo que tenga el coeficiente $a$.

Los casos son:

Orientación Parabóla

La parábola que representa a una ecuación de segundo grado tiene los siguientes elementos asociados:

Vértice

El vértice es el punto mínimo o máximo de la parábola (dependiendo de la orientación que ésta tenga), y la fórmula para encontrarlo es la siguiente:

$V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)$

Raíces

Las raíces (o ceros o soluciones) de una parábola son los puntos donde la parábola corta al eje $X$.

La fórmula para encontrar dichos puntos es la siguiente:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

El número $\triangle =b^{2}-4ac$ se llama discriminante, y nos indica el número de raíces que va a tener una ecuación de segundo grado.

Hay tres casos:

• Si $\triangle >0$, hay dos raíces
• Si $\triangle =0$, hay una raíz
• Si $\triangle <0$, no hay raíces

Gráficamente, para una parábola asociada a una ecuación del tipo $ax^{2}+bx+c=0$, la situación se ve de la siguiente forma:

Casos $a>0$

Casos $a<0$

Ejemplo

Encontrar el vértice, las raíces y dibujar la gráfica de la parábola asociada a la ecuación cuadrática

$(x-3)^{2}+2x(x-1)=6-2x(2-x)$

Sol: Resolviendo paréntesis, reduciendo términos semejantes y luego agrupando, tenemos que

${\begin{matrix}(x-3)^{2}+2x(x-1)&=&6-2x(2-x)\\\rightarrow x^{2}-6x+9+2x^{2}-2x&=&6-4x+2x^{2}\\\rightarrow x^{2}-4x+3&=&0\end{matrix}}$

Los coeficientes son los valores $a=1,b=-4,c=3$.

Reemplazando en la fórmulas del vértice tenemos que

${\begin{matrix}V&=&\left(-{\frac {-4}{2(1)}},{\frac {4(1)(3)-(-4)^{2}}{4(1)}}\right)\\\rightarrow V&=&(2,-1)\end{matrix}}$

Para las raíces,

${\begin{matrix}x&=&{\frac {-(-4)\pm {\sqrt {(-4)^{2}-4(1)(3)}}}{2(1)}}\\\rightarrow x&=&{\frac {4\pm 2}{2(1)}}\\\rightarrow x=1&\vee &\ x=3\end{matrix}}$

Luego, para la parábola asociada a la ecuación $(x-3)^{2}+2x(x-1)=6-2x(2-x)\rightarrow x^{2}-4x+3=0$, el vértice es el punto $(2,-1)$ y las raíces son $x=1,x=3$.

El gráfico es:

$x^{2}-4x+3=0$

Ejercicios Propuestos de Ecuación de Segundo Grado

Revisar y desarrollar la siguiente lista de Ejercicios Propuestos de Ecuación de Segundo Grado.