Ecuación cuadrática/Propiedades de las raíces

Partes de la Raíz

En el caso de una ecuaciòn cuadràtica, al ser de segundo grado,entonces tendremos soluciones que pueden ser raices cuadradas

Una raìz es la busqueda de una expresión que al mulitiplicarse por sí mismo nos da una o la solución a la ecuación.

El indice del radical en caso de no tener automàticamente es indice 2 o al cuadrado

La radicación de orden n de un número a es cualquier número b tal que $\scriptstyle b^{n}=a$, donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b es una raíz enésima, por lo que se suele conocer también con ese nombre. La notación a seguir tiene varias formas:

(1) ${\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}$.

Para todo n natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:

(2) $a=b^{n}\iff b={\sqrt[{n}]{a}}$.

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: ${\sqrt {x}}$ en vez de ${\sqrt[{2}]{x}}$.

Raíz cómo Potencia

Propiedades

Como se indica con la igualdad de la raíz ${\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}$, la radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados anteriormente.

${\sqrt[{n}]{{a}\cdot {b}}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$

Ejemplo

• ${\sqrt {3^{2}\cdot 2^{4}}}$ = ${\sqrt {3^{2}}}\cdot {\sqrt {2^{4}}}$ = ${\sqrt {9}}\cdot {\sqrt {16}}=3\cdot 4=12.$

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

${\sqrt {3^{2}\cdot 2^{4}}}={\sqrt {9\cdot 16}}={\sqrt {144}}=12.$

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {a^{1/n}}{b^{1/n}}}$ = ${\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

Ejemplo

• ${\sqrt {\frac {9}{4}}}={\frac {\sqrt {9}}{\sqrt {4}}}$ = ${\frac {3}{2}}.$

Cuando esta propiedad se aplica a números, no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

Ejemplos

• ${\sqrt[{3}]{\frac {x^{3}}{y^{9}}}}={\frac {x^{3/3}}{y^{9/3}}}$ = ${\frac {x}{y^{3}}}.$
• $({\sqrt[{4}]{a^{2}}})^{8}=(\ a^{2/4})^{8}$ = ${\sqrt[{4}]{a^{16}}}.$

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}$ = ${\sqrt[{n\cdot m}]{a}}.$

Ejemplo

${\sqrt[{9}]{\sqrt[{3}]{5}}}={\sqrt[{9\cdot 3}]{5}}={\sqrt[{27}]{5}}$

Potencia de una raíz

Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia.

$\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$

Ejemplo

si m = 3 y n = 4:

$\left({\sqrt[{4}]{x}}\right)^{3}={\sqrt[{4}]{x^{3}}}=x^{\frac {3}{4}}$

Otras propiedades

Utilizando las propiedades fundamentales, se pueden obtener otras propiedades, como por ejemplo, el cálculo de la raíz de un producto con el mismo radicando y distintos índices, que se obtiene multiplicando los índices de las raíces y conservando el radicando elevado a la suma de los índices.

${\sqrt[{m}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{a}}=a^{{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}=a^{\frac {m+n}{mn}}={\sqrt[{m\cdot n}]{{a}^{m+n}}}$.

Suma y Resta de Raíces

Todo nùmero radical con indice y base igual (radicando) se puede reducir

Ejemplos

$6{\sqrt {3}}+7{\sqrt {3}}=(6+7){\sqrt {3}}=13{\sqrt {3}}$

$5{\sqrt {2}}-3{\sqrt {2}}=(5-3){\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$

Cuando tenemos números de diferente base se hace una conversión de base y despues una factorización en caso de que tengan números primos,de no suscitarse se procede a dejar reducido el problema

$a{\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot a\cdot b}}$

Ejemplos

$5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {2}}$ no se puede factorizar

${\sqrt {28}}+{\sqrt {8}}={\sqrt {7\cdot 2\cdot 2}}+{\sqrt {2\cdot 2\cdot 2}}=2{\sqrt {7}}+2{\sqrt {2}}$ no comparten una base prima,no se pueden reducir

${\sqrt {18}}+{\sqrt {50}}={\sqrt {3\cdot 3\cdot 2}}+{\sqrt {5\cdot 5\cdot 2}}=3{\sqrt {2}}+5{\sqrt {2}}$

Cómo comparten la misma base se pueden reducir

$3{\sqrt {2}}+5{\sqrt {2}}=(3+5){\sqrt {2}}=8{\sqrt {2}}$

Multiplicación de Raíces

En este caso lo que "está afuera se multiplica con los de afuera,y los de adentro con los de adentro

$a{\sqrt {b}}\cdot c{\sqrt {d}}=(a\cdot b){\sqrt {c\cdot d}}$

División de Raíces

${\sqrt {a}}\div {\sqrt {b}}={\sqrt {\frac {a}{b}}}$

Fuentes

http://www.profesorenlinea.com.mx/matematica/Raices_Propiedades.html

http://www.portaleducativo.net/segundo-medio/5/raices-propiedades