Ecuación cuadrática/Ecuación bicuadrática

Ecuación bicuadrada

Éstas son un caso particular de la ecuación de cuarto grado. Les faltan los términos a la tercera y a la primera potencia. Su forma polinómica es:

$ax^{4}+{bx^{2}}^{}+c=0$

Para resolver estas ecuaciones tan solo hay que hacer el cambio de variable ${x^{2}}^{}=u$
Con lo que nos queda: ${au^{2}}^{}+bu+c=0$ El resultado resulta ser una ecuación de segundo grado que podemos resolver usando la fórmula:

$u_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\qquad u_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Al deshacer el cambio de variable aparecen las cuatro soluciones:

$x_{1}=+{\sqrt {u_{1}}}$

$x_{2}=-{\sqrt {u_{1}}}$

$x_{3}=+{\sqrt {u_{2}}}$

$x_{4}=-{\sqrt {u_{2}}}$

Ecuación bicuadrada simétrica

Una ecuación bicuadrada simétrica asume la forma:

$\alpha x^{4}+\beta x^{2}+\alpha =0$

Teorema de Cardano-Vieta

Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raíces $x_{1},x_{2}\,$, podemos construir el binomio a partir de estas con:

$(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})=0\,$

$x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=0\,$

$ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}=0\,$

$ax^{2}+bx+c=0\,$

De lo que se deduce:

Suma de raíces

Demostración: Demostración a partir de Cardano Vieta

• Partiendo de igualar los términos del mismo grado

$-a(x_{1}+x_{2})x=bx\,$

• Se despeja la suma y se divide por x

$(x_{1}+x_{2})=-{\frac {b}{a}}\,$

Producto de raíces

Demostración: Demostración a partir de Cardano Vieta

• Partiendo de igualar los términos del mismo grado

$ax_{1}x_{2}=c\,$

• Se despeja el producto de raíces:

$x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\,$

Observación:

Demostración: Desarrollando los binomios:

$x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}-(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\,$

• Donde finalmente queda:

$4x_{1}x_{2}\,$

Relacion entre la formula general y la proporcion áurea:

solo en la solucion positiva si en la formula general el valor de las variables es el siguiente o se presenta el siguiente caso en que

$a=1,b=-1,c=b$

entonces la formula general dará como resultado el número áureo

${\frac {-(-1)+{\sqrt {(-1)^{2}-4(1)(-1)}}}{2(1)}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi$

Fuentes

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/ecu3_Contenidos.html

https://conlamenteabierta.wordpress.com/2009/11/20/ecuaciones-bicuadraticas/

http://arasuaro96.blogspot.mx/2013/02/ecuaciones-bicuadraticas.html