Ecuación cuadrática/Completación de cuadrados

Este método se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática estándar $ax^{2}+bx+c=0$

En la formas

$P(x)={\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c$ o $a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$ Donde a,b son constantes

Procedimiento

Trinomio mónico x² + bx + c

Descripción	Procedimiento Simbólico	Ejemplo
Dado un polinomio de la forma	$P(x)=x^{2}+bx+c$	$x^{2}+10x+28$
Sumando y restando el cuadrado del cociente (la división/fracción), del coeficiente de x entre 2	$P(x)=x^{2}+bx{\color {Red}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}+c$	$x^{2}+10x{\color {Red}+\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}}+28$
Agrupando términos, se obtendrá un trinomio cuadrado perfecto	$P(x)={\color {Red}\left(x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{2^{2}}}\right)}-{\frac {b^{2}}{2^{2}}}+c$	${\color {Red}\left(x^{2}+10x+25\right)}-25+28$
Factorizando (reduciendo) este trinomio a un binomio al cuadrado, el cual se obtuvo: (1) extrayendo la raíz cuadrada del primer término del trinomio ($\surd x^{2}=x$), que será el término izquierdo del binomio; (2) extrayendo la raíz cuadrada del tercer término del trinomio ($\surd ({\frac {b^{2}}{2^{2}}})={\frac {\surd b^{2}}{\surd 2^{2}}}={\frac {b}{2}}$), que será el término derecho del binomio; (3) usando el signo del segundo término del trinomio ($+bx$) como el signo que separa los términos del nuevo binomio.	$P(x)={\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c$	${\color {Red}\left(x+5\right)^{2}}-3$

Observación: con respecto a la expresión resultante ${\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c$ puede continuarse simplificado/reduciendo. Un método es elevando al cuadrado ambos miembros, lo cual generará dos resultados, debido a la presencia de una raíz de índice par (en este caso cuadrada).

Así,  $x^{2}+bx+c=\left(x+h\right)^{2}+k=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4}}$, donde $h={\frac {b}{2}}$ y $k=c-{\frac {b^{2}}{4}}$.

Polinomio de la forma ax² + bx + c

Descripción	Procedimiento Simbólico	Ejemplo
Dado un polinomio de la forma	$ax^{2}+bx+c$	$3x^{2}+24x+40$
Sacando a a como factor común, de los términos con x	${\color {Red}a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)}+c$	${\color {Red}3\left(x^{2}+8x\right)}+40$
Sumando y restando el cuadrado del cociente, del coeficiente de x entre 2	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x{\color {Red}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}\right)+c$	$3\left(x^{2}+8x{\color {Red}+16-16}\right)+40$
Acomodando términos, se obtendrá un trinomio cuadrado perfecto	$a\left({\color {Red}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c$	$3\left({\color {Red}x^{2}+8x+16}-16\right)+40$
Multiplicamos por el factor común a, al término que acabamos de restar, $-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$, para sacarlo del paréntesis	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right){\color {Red}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}}+c$	$3\left(x^{2}+8x+16\right){\color {Red}-48}+40$
Quedando dentro del paréntesis el trinomio cuadrado perfecto	$a{\color {Red}\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c$	$3{\color {Red}\left(x^{2}+8x+16\right)}-48+40$
Reduciendo este trinomio a un binomio al cuadrado (con los términos x y el coeficiente de x dividido entre 2).	$a{\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c$	$3{\color {Red}\left(x+4\right)^{2}}-48+40$
Simplificando	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$	$3\left(x+4\right)^{2}-8$

Así,     $ax^{2}+bx+c=a\left(x+h\right)^{2}+k$

donde     $h={\frac {b}{2a}}$     y     $k=c-{\frac {b^{2}}{4a}}$

Ejemplos

$4x^{2}+3x-2=0$

1.

$4x^{2}+3x=2$

2.

$x^{2}+{\frac {3x}{4}}={\frac {1}{2}}$

3.

$({\frac {3}{\frac {4}{2}}})={\frac {3}{8}}$