Este método se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática estándar
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
En la formas
P
(
x
)
=
(
x
+
b
2
)
2
−
b
2
4
+
c
{\displaystyle P(x)={\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c}
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}
x2 + bx + c
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Descripción
Procedimiento
Ejemplo
Dado un polinomio de la forma
P
(
x
)
=
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle P(x)=x^{2}+bx+c}
x
2
+
10
x
+
28
{\displaystyle x^{2}+10x+28}
Sumando y restando el cuadrado del cociente (la división/fracción), del coeficiente de x entre 2
P
(
x
)
=
x
2
+
b
x
+
(
b
2
)
2
−
(
b
2
)
2
+
c
{\displaystyle P(x)=x^{2}+bx{\color {Red}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}+c}
x
2
+
10
x
+
(
10
2
)
2
−
(
10
2
)
2
+
28
{\displaystyle x^{2}+10x{\color {Red}+\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}}+28}
Agrupando términos, se obtendrá un trinomio cuadrado perfecto
P
(
x
)
=
(
x
2
+
b
x
+
b
2
2
2
)
−
b
2
2
2
+
c
{\displaystyle P(x)={\color {Red}\left(x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{2^{2}}}\right)}-{\frac {b^{2}}{2^{2}}}+c}
(
x
2
+
10
x
+
25
)
−
25
+
28
{\displaystyle {\color {Red}\left(x^{2}+10x+25\right)}-25+28}
Factorizando (reduciendo) este trinomio a un binomio al cuadrado, el cual se obtuvo: (1) extrayendo la raíz cuadrada del primer término del trinomio (
√
x
2
=
x
{\displaystyle \surd x^{2}=x}
√
(
b
2
2
2
)
=
√
b
2
√
2
2
=
b
2
{\displaystyle \surd ({\frac {b^{2}}{2^{2}}})={\frac {\surd b^{2}}{\surd 2^{2}}}={\frac {b}{2}}}
+
b
x
{\displaystyle +bx}
P
(
x
)
=
(
x
+
b
2
)
2
−
b
2
4
+
c
{\displaystyle P(x)={\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c}
(
x
+
5
)
2
−
3
{\displaystyle {\color {Red}\left(x+5\right)^{2}}-3}
Observación : con respecto a la expresión resultante
(
x
+
b
2
)
2
−
b
2
4
+
c
{\displaystyle {\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c}
Así,
x
2
+
b
x
+
c
=
(
x
+
h
)
2
+
k
=
(
x
+
b
2
)
2
+
c
−
b
2
4
{\displaystyle x^{2}+bx+c=\left(x+h\right)^{2}+k=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4}}}
h
=
b
2
{\displaystyle h={\frac {b}{2}}}
k
=
c
−
b
2
4
{\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}
Descripción
Procedimiento
Ejemplo
Dado un polinomio de la forma
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
3
x
2
+
24
x
+
40
{\displaystyle 3x^{2}+24x+40}
Sacando a a como factor común, de los términos con x
a
(
x
2
+
b
a
x
)
+
c
{\displaystyle {\color {Red}a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)}+c}
3
(
x
2
+
8
x
)
+
40
{\displaystyle {\color {Red}3\left(x^{2}+8x\right)}+40}
Sumando y restando el cuadrado del cociente, del coeficiente de x entre 2
a
(
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
−
(
b
2
a
)
2
)
+
c
{\displaystyle a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x{\color {Red}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}\right)+c}
3
(
x
2
+
8
x
+
16
−
16
)
+
40
{\displaystyle 3\left(x^{2}+8x{\color {Red}+16-16}\right)+40}
Acomodando términos, se obtendrá un trinomio cuadrado perfecto
a
(
x
2
+
b
a
x
+
(
b
2
a
)
2
−
(
b
2
a
)
2
)
+
c
{\displaystyle a\left({\color {Red}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c}
3
(
x
2
+
8
x
+
16
−
16
)
+
40
{\displaystyle 3\left({\color {Red}x^{2}+8x+16}-16\right)+40}
Multiplicamos por el factor común a , al término que
−
(
b
2
a
)
2
{\displaystyle -\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}
a
(
x
2
+
b
a
x
+
b
2
4
a
2
)
−
a
b
2
4
a
2
+
c
{\displaystyle a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right){\color {Red}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}}+c}
3
(
x
2
+
8
x
+
16
)
−
48
+
40
{\displaystyle 3\left(x^{2}+8x+16\right){\color {Red}-48}+40}
Quedando dentro del paréntesis el trinomio cuadrado perfecto
a
(
x
2
+
b
a
x
+
b
2
4
a
2
)
−
a
b
2
4
a
2
+
c
{\displaystyle a{\color {Red}\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c}
3
(
x
2
+
8
x
+
16
)
−
48
+
40
{\displaystyle 3{\color {Red}\left(x^{2}+8x+16\right)}-48+40}
Reduciendo este trinomio a un binomio al cuadrado (con los términos x y el coeficiente de x dividido entre 2).
a
(
x
+
b
2
a
)
2
−
a
b
2
4
a
2
+
c
{\displaystyle a{\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c}
3
(
x
+
4
)
2
−
48
+
40
{\displaystyle 3{\color {Red}\left(x+4\right)^{2}}-48+40}
Simplificando
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}
3
(
x
+
4
)
2
−
8
{\displaystyle 3\left(x+4\right)^{2}-8}
Así,
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
+
h
)
2
+
k
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+h\right)^{2}+k}
donde
h
=
b
2
a
{\displaystyle h={\frac {b}{2a}}}
k
=
c
−
b
2
4
a
{\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4a}}}
4
x
2
+
3
x
−
2
=
0
{\displaystyle 4x^{2}+3x-2=0}
1.
4
x
2
+
3
x
=
2
{\displaystyle 4x^{2}+3x=2}
x
2
+
3
x
4
=
1
2
{\displaystyle x^{2}+{\frac {3x}{4}}={\frac {1}{2}}}
3.
(
3
4
2
)
=
3
8
{\displaystyle ({\frac {3}{\frac {4}{2}}})={\frac {3}{8}}}
