Definición Informal de los Sistemas Axiomáticos

Un sistema axiomático es la construcción rigurosa (lógicamente hablando) de una teoría deductiva. Podemos decir de manera informal que un sistema axiomático consta, a groso modo, de:

1. Conceptos no definidos: En matemáticas como en cualquier quehacer intelectual, hay conceptos que necesitan definirse con precisión, pero para ello se requieren de otros conceptos más generales que los incluyan, los cuales a su vez se necesitan definir mediante otros conceptos más generales y así sucesivamente. Por ello, como no podemos continuar con ese proceso infinitamente, hay algunos conceptos base de los que partimos y que aunque no los definamos con rigor, podemos entender intuitivamente de una manera clara a lo que se refieren. Por ejemplo, tenemos los conceptos de conjunto y elemento, en la teoría de conjuntos, o los conceptos de punto y recta en geometría euclidiana.
2. Proposiciones no demostradas: Son los axiomas, o enunciados cuya afirmación es evidente u obvia, y por ende no necesitan ser demostrados. Por ejemplo, en geometría euclidiana, en la teoría axiomática de Hilbert tenemos el siguiente axioma: "Para cada punto $P$ y cada punto $Q$ distinto de $P$, existe una única recta $l$ en la cual inciden $P$ y $Q$". Y en teoría axiomática de conjuntos, en el sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel tenemos el axioma de extensión : "Dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales si, y solo si, todo elemento de $A$ es un elemento de $B$ y todo elemento de $B$ es un elemento de $A$".
3. Reglas lógicas de inferencia: Son las reglas lógicas que podemos aplicar sobre la base de conceptos no definidos y proposiciones no demostradas para de esa forma deducir nuevas proposiciones, los teoremas, los cuales a su vez podemos usar para deducir nuevos teoremas, y así sucesivamente, construyendo de esa forma el edificio de nuestro sistema axiomático. Por ejemplo, podemos razonar que: “si dos cosas A y B son iguales a una tercera cosa C, entonces serán iguales entre sí”, y luego aplicar dicho principio lógico de transitividad a nuestras demostraciones. Otro principio sumamente importante, llamado el principio de identidad [1](el cual es el principio fundamental de la lógica y la filosofía), nos dice que toda entidad es idéntica a sí misma: “es cierto que el objeto $a$ es el objeto $a$”.
4. Proposiciones demostradas: Como se mencionó en el párrafo anterior, son los teoremas, es decir, proposiciones ya no evidentes como lo son los axiomas, y que por lo tanto deben ser demostradas a partir de los conceptos no definidos, las proposiciones no demostradas y otros teoremas previamente demostrados. Dichas demostraciones se realizan a partir de las reglas lógicas de inferencia, que por lo regular son leyes lógicas: principios formales del pensamiento racional deductivo. Ejemplo de proposición que puede y debe ser demostrada es la afirmación: Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C, entonces A es subconjunto de C. Otro ejemplo es la afirmación: “Si el conjunto A posee la misma cardinalidad (es del mismo tamaño) que el conjunto B y el conjunto B posee la misma cardinalidad que el conjunto C, entonces los conjuntos A y C también poseen la misma cardinalidad”. La aseveración anterior se demuestra usando la primera regla lógica de transitividad expuesta en en punto tres de esta lista.

Una vez definidos los sistemas axiomáticos, ya estamos listos para comenzar con nuestra introducción al apasionante mundo de la teoría de conjuntos.