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Parte I: Teoría de grupos


Capítulo 1: Introducción a la teoría de grupos


Semigrupos, monoides y gruposEditar

Definición 1.1: Sea   un conjunto. Una aplicación

 



se dice una operación binaria (o ley de composición interna) en  . La imagen de cualquier par   bajo la operación   se representa por  , en lugar de   o de  . Cuando el símbolo que representa la operación es  , entonces la imagen de   bajo la operación   suele representarse también por  .

Una operación binaria   sobre un conjunto   se dice asociativa si

 


para cualesquiera   y   de  . Cuando para cualesquiera   de   se cumple  , se dice que la operación   es conmutativa. Por lo regular usaremos el símbolo   para representar operaciones que sean conmutativas. En general, cuando hagamos uso de los símbolos   o   para representar operaciones diremos que nuestra notación es, respectivamente, multiplicativa o aditiva.


Definición 1.2: Sea   un conjunto y   una operación binaria en  . Se dice que el par   es un semigrupo si la operación   es asociativa. Si, además, existe un elemento   tal que

 


entonces el par   se llama un monoide.

En lo sucesivo, cuando no haya lugar a confusión, nos referiremos a un monoide   simplemente como el monoide  , haciendo mención sólo del conjunto y dejando que la operación se deduzca del contexto.

El elemento   aludido en la definición anterior se dice identidad o elemento neutro del monoide  , y es único, pues si   fuera otro elemento de   con las mismas propiedades, entonces  . Para representar identidades usaremos el símbolo 1 en notación multiplicativa y el símbolo 0 en notación aditiva.

Representaremos por   al cardinal de un monoide  . Si   es el elemento de un monoide   y   es un entero positivo, definimos

 


Cuando nuestra notación sea aditiva escribiremos   en lugar de  .

Sea   un monoide y   elementos de   con  . Se define inductivamente el producto de   como

 


Definimos

 


Con estas definiciones, se cumple el


Teorema 1.3 (Ley asociativa general): Sea   un monoide y     elementos de  . Entonces

 


Demostración: Por inducción sobre  . Para   es evidente. Supuesto cierto para  , vemos que

     
   
   
lo que demuestra el teorema.
 


Se dice que un monoide   es conmutativo si su operación es conmutativa.


Teorema 1.4 (Ley conmutativa general): Sea   un monoide conmutativo y   elementos de  . Sea   una aplicación del conjunto   sobre sí mismo. Entonces

 



Demostración: Por inducción sobre  . Para   es evidente. Supóngase cierto para  . Sea   el entero tal que  . Entonces,

     
   
   

Con el propósito de aplicar el teorema 1.3, definimos la aplicación   por

   
   

Así tenemos que

     
   

donde   por hipótesis de inducción, y así

 



Definición 1.5: Sea   un monoide. Un elemento   de   se dice invertible por la izquierda (resp. invertible por la derecha) si existe un elemento  , llamado inverso izquierdo de   (resp. inverso derecho de  ), tal que   (resp.  ). Se llama invertible a un elemento   que es invertible por ambos lados.

Si un elemento   de un monoide   es invertible, entonces su inverso izquierdo y su inverso derecho coinciden. En efecto, pues si   y   son, respectivamente, el inverso izquierdo y el inverso derecho de  , entonces  .

Definición 1.6: Se llama grupo a un monoide   cuando todos sus elementos son invertibles, es decir, cuando para todo   de   existe   de   tal que

 


El elemento   aludido en la definición anterior se llama inverso de   y es único, pues si   es otro inverso de  , entonces  . En notación multiplicativa y notación aditiva el inverso de   se denota, respectivamente, por   y  .

Se define

 


En notación aditiva se escribe   en lugar de  .

Un grupo   en el que se verifica la propiedad conmutativa, es decir, en el que   para cualesquiera   y   de  , se dice grupo abeliano.


El teorema siguiente recoge algunos hechos básicos acerca de los grupos

Teorema 1.7: Sea   un grupo y   elementos de  . Se cumplen

(G-1)   implica  
(G-2)   implica  
(G-3)  
(G-4)  
(G-5)  


Demostración: (G-1) Si  , entonces  . (G-2) Si  , entonces al multiplicar ambos lados de la ecuación por   se obtiene  . (G-3)  . (G-4)  , de modo que   es inverso de  , pero éste es único, así es que ha de ser  . (G-5) se sigue de (G-4) usando por inducción matemática.
 


Los dos teoremas siguientes muestran las condiciones que debe cumplir un semigrupo para ser un grupo.


Teorema 1.8: Un semigrupo   es un grupo si y sólo si

  1. existe una identidad por la izquierda   tal que para todo elemento   de  ,  ;
  2. todo elemento   de   tiene un inverso por la izquierda  .


Demostración: La implicación es obvia. Por la otra parte,   cumple también con (G-1) del teorema 1.7 (pues por hipótesis todo elemento suyo es invertible), así que, de

 


se deduce que  , por lo que   es también inverso de   por la derecha. Además,  , por lo que 1 es también una identidad por la derecha en  , luego   es un grupo.
 


Teorema 1.9: Un semigrupo   es un grupo si y sólo si para cualesquiera   y   de   las ecuaciones

 



tienen soluciones únicas en  .

Demostración: Si   es un grupo, entonces las soluciones de   y   en   son   y  . Recíprocamente, si   es un semigrupo en el que las ecuaciones   y   tienen soluciones únicas, entonces, tomando  , tenemos que existen   y   tales que

 


y si   es un elemento cualquiera de  , entonces también existen   y   de   tales que

 


de modo que

  (1.1


y

  (1.2


Puesto que   es cualquier elemento de  , podemos tomar   en (1.1)

y   en (1.2)
, obteniendo   y  , luego   es la identidad de  . Ahora, si   y   son las soluciones de   y  , entonces   y   son, respectivamente, los inversos derecho e izquierdo de  , y como vimos, debe de ser  . Esto prueba que   es un grupo.
 


HomomorfismosEditar

Definición 1.10: Sean   y   dos grupos. Una aplicación   se llama homomorfismo de grupos (o simplemente homomorfismo) si

 


para todo   ,   de  .


Es claro que si   y   son homomorfismos entonces   es un homomorfismo.


Teorema 1.11: Sean   y   dos grupos y   un homomorfismo. Se cumple que

  1. si   y   son las identidades de   y  , respectivamente, entonces  ;
  2. si   entonces  .


Demostración: En efecto, pues  , lo que implica  . Además,  , luego  .
 


Se dice que un homomorfismo es un monomorfismo, un epimorfismo o un isomorfismo si es, respectivamente, inyectivo, sobreyectivo o biyectivo. Un homomorfismo de un grupo   en sí mismo se dice un endomorfismo, mientras que un isomorfismo de un grupo   en sí mismo se dice un automorfismo.

Dos grupos   y   se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos, hecho que representaremos por  . Dos grupos que son isomorfos son, desde el punto de vista algebraico, indistinguibles, pues lo que vale para   respecto de su operación de grupo vale también para   respecto de su operación de grupo, y viceversa. Así, aunque desde el punto de vista conjuntista   y   sean dos conjuntos diferentes, desde el punto de vista algebraico   y   son el mismo objeto.

Sea   un grupo. Denotaremos por   al conjunto de todos los automorfismos del grupo  . Puede probarse que   es a su vez un grupo tomando como operación la composición de aplicaciones.


Definición 1.12: Sean   y   dos grupos y sea   un homomorfismo entre ellos. El núcleo de   se define como el conjunto

 


donde   es la identidad de  .


Teorema 1.13: Sean   y   dos grupos cualesquiera. La aplicación   es monomorfismo si y sólo si es homomorfismo y  .


Demostración: Si   es un monomorfismo, entonces sólo puede existir un elemento   de   tal que  , y por el teorema 1.11, ese elemento es  , de modo que  . Recíprocamente, si   y  , entonces  , lo que implica  , luego   y así  , por lo que   es inyectiva y con ello un monomorfismo.
 


El teorema anterior resulta útil para probar que dos grupos son isomorfos, ya que para esto basta con mostrar que existe un epimorfismo   entre ellos cuyo núcleo es trivial (en cuyo caso   es también un monomorfismo y por tanto un isomorfismo).


Grupos generados y grupos cíclicosEditar

Si   y   son dos subgrupos de un grupo  , es fácil ver que   es de nuevo un subgrupo de  . Más aún, si   es una familia de subgrupos de  , entonces   es también un subgrupo de  .


Definición 1.16: Sea   un grupo y  . Se llama subgrupo generado por   a la intersección de todos los subgrupos de   que contienen a  , y se representa por  . Es decir,

 



donde   es cualquier grupo que contenga al conjunto  . Cuando   sea un conjunto finito, digamos  , escribiremos también   en lugar de  .

Equivalentemente, tenemos que   se puede definir como el menor subgrupo de   que contiene a  .

En realidad, es posible saber explícitamente la forma que tienen los elementos de  :


Teorema 1.17: Sea   un grupo y  . Defínase  . Entonces   es el grupo formado por todos los elementos que son el producto de un número finito de elementos de   o de  . En otras palabras,

 



Demostración: Sea  . Sean   y   elementos de  , de modo que

 



donde   o   y   o   para todo  . El hecho de que   se sigue inmediatamente de (G-5) del teorema 1.7, así que   es un grupo que además, como es claro, contiene a  , de modo que  , pero también es claro que   (pues los elementos de   y sus inversos están en  , luego cualquier producto entre ellos estará también en  ), por lo que termina siendo  .
 


El teorema siguiente es un caso particular del teorema anterior.


Teorema 1.18: Sea   un grupo finito y  . Entonces

 



Demostración: Si   es finito, las potencias  ,  ,   de cualquier   de   no pueden ser todas diferentes, por lo que deben existir enteros   tales que  , o sea que   (donde  ), de lo que se sigue   (con  ). Esto significa que todo elemento   de   tiene su inverso en  , pues éste puede expresarse como un producto de elementos de  .
 


Como consecuencia inmediata del teorema 1.17 tenemos también que


Corolario 1.19: Sea   un grupo y  . Entonces

 


Definición 1.20: Si   es un grupo y   es un elemento de   tal que  , i.e. si   es generado por un sólo elemento suyo  , se diceque   es un grupo cíclico. Más en general, si   con cada   en  , se dice que   es un grupo finitamente generado.


Como un ejemplo de grupo cíclico, tenemos al grupo aditivo   generado por su unidad   (aunque también puede ser generado por  ). Se trata de un grupo cíclico infinito, al igual que lo es el grupo aditivo

 .



cuyo generador es  . En general,   forma un grupo cíclico infinito respecto de la adición, y cuyo generador es  . Es muy fácil notar que   y   son isomorfos, siendo la aplicación  , dada por

 



el isomorfismo entre ellos.

Otro ejemplo de grupo cíclico es el grupo aditivo  , cuyos elementos son las clases de equivalencia   surgidas a partir de la relación de congruencia módulo   ( ) sobre  . Se trata en este caso de un grupo cíclico finito de orden  .


Un ejemplo más de grupo cíclico: el grupo multiplicativo  , generado por   (o también por  ).


Archivo:Grupos ciclicos 1.svg

Figura:   genera al grupo multiplicativo  


El lector puede verificar que, como un hecho más general, el grupo multiplicativo de las   raíces complejas de la unidad,  , es un grupo cíclico.


A parte del corolario 1.19, hay otro hecho característico de los grupos cíclicos que nos va a interesar:


Teorema 1.21: Sea   un grupo y   un elemeno de  . Entonces, si  , el grupo   consiste de los elementos   y   si y sólo si  .


Demostración: Por el corolario 1.19, existe el menor entero   tal que  . Vemos entonces que los elementos   son todos distintos, pues si   con  , entonces   con  , pero hemos supuesto que   es el menor entero que cumple  . Luego vemos que  ,  ,  , etc., de modo que las potencias de   comienzan a repetirse a partir de   y así   con  . Además se observa que   para cualesquiera enteros   y  , de modo que   si y sólo si  .
 


Por el teorema anterior, tenemos que si   y  , entonces  .


Otra consecuencia del corolario 1.19 es que todo grupo cíclico es abeliano. En efecto, pues dos elementos de un grupo   son de la forma   y  , y

 



Uno de nuestros propósitos principales en nuestro estudio de la teoría de grupos es determinar explícitamente las características de los subgrupos de un grupo dado. Para un grupo cualquiera, esta tarea resulta bastante complicada, y no podremos confrontarla realmente hasta después de haber obtenido una buena cantidad de resultados a cerca de grupos. Sin embargo, cuando el grupo en cuestión es cíclico, esta tarea resulta mucho más sencilla.


Teorema 1.22: Todo subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.


Demostración: Sea   un grupo cíclico. Si  , entonces existen dos posibilidades: que   sea trivial, en cuyo caso  , o que exista un entero positivo mínimo   tal que  . En este último caso, claramente  . Ahora bien, si  , entonces   es de la forma   pues   es un subgrupo de  , y por el algoritmo de la división tenemos que  , con   y  , o sea que

 



por lo que sólo puede ser   ya que hemos supuesto que   es el menor entero positivo para el cual  , así que todo elemento   de   es de la forma  , luego  , y así concluimos que  , lo que demuestra el teorema.
 


Como caso particular, tenemos que todo subgrupo del grupo aditivo   es cíclico. Para ser exactos, todo subgrupo   de   es de la forma  , donde, según el teorema anterior,   es el menor entero positivo de  .


Mostraremos ahora que, esencialmente, los únicos grupos cíclicos son el grupo aditivo (infinito)   y los grupos aditivos (finitos) de la forma  .


Teorema 1.23 (Teorema de clasificación de grupos cíclicos): Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo  , y todo grupo cíclico finito de orden   es isomorfo al grupo  .


Demostración: Sea   un grupo cíclico. La aplicación   dada por

 



es un epimorfismo de grupos (lo cual puede verificar el lector) por el teorema <<Teorema pendiente>>. Por lo tanto, existen las siguientes dos posibilidades:

  1.  , en cuyo caso   es un isomorfismo por el teorema 1.13.
  2.   contiene un menor entero positivo  , y por el teorema 1.22,  , pues  . En este caso, podemos definir una aplicación   dada por
 



Esta aplicación está bien definida, pues   si y sólo si   (con   la unidad de  ), es decir, si y sólo si  , lo que equivale a que   (pues  ). Es claro que   es un epimorfismo de grupos. Pero   es además un monomorfismo de grupos, ya que   si y sólo si  , lo que equivale a  , luego  . Esto demuestra que   es un isomorfismo.
 


Así pues, tenemos que un grupo cíclico es, o isomorfo a   (en cuyo caso el grupo en cuestión es infinito), o isomorfo a un grupo de la forma   (en cuyo caso el grupo en cuestión es finito y de orden  ), luego hemos clasificado a todos los grupos cíclicos. En términos algebraicos, esto quiere decir que los únicos grupos cíclicos son   y  , pues todos los demás grupos cíclicos son isomorfos a ellos, y en realidad no existe ninguna distinción algebraica entre dos grupos isomorfos.


Álgebra/Teoría de grupos/Grupos de permutaciones


Clases lateralesEditar

Uno de los resultados más destacables de la sección anterior es el hecho de que todo subgrupo de un grupo cíclico es igualmente cíclico. Este resultado fue muy sencillo de demostrar. Sin embargo, la tarea general de determinar explícitamente los subgrupos de un grupo cualquiera resulta mucho más complicada, y no podremos concluirla hasta mucho después. No obstante, es relativamente fácil encontrar la relación que existe entre el orden de un grupo y el orden de sus subgrupos, y a eso nos dedicaremos en esta sección.


Nos serán útiles los conceptos siguientes:


Definición 1.24: Sea   un grupo y   un subgrupo de  . Diremos que dos elementos   y   de   son congruentes por la izquierda módulo   si  . Este hecho lo representaremos por  . Similarmente,   y   serán congruentes por la derecha si  , y lo denotaremos por  .


Las relaciones de congruencia módulo un subgrupo   por la izquierda y por la derecha son relaciones de equivalencia. Probaremos esto para el caso de la relación  . Si   es un grupo y  , entonces  , pues  , luego   es reflexiva. Si  , entonces también  , pero  , de modo que   y   es simétrica. Si   y  , entonces también  , y como  , tenemos que  , y con ello   es transitiva. Esto prueba que la relación de congruencia módulo   es una relación de equivalencia.


Tenemos entonces que, si   es un grupo y  , las relaciones de congruencia   y   definen cada cual una partición del grupo   en clases de equivalencia. La clase de equivalencia de un elemento   de   por la relación de congruencia módulo   por la izquierda es el conjunto

 



Efectivamente, pues si   es uno de los elementos de la clase de equivalencia de   por esta relación de congruencia,  , es decir,   para cierto   de  , lo que equivale a que  . Similarmente se prueba que la clase de equivalencia de un elemento   de   por la relació de congruencia módulo   por la derecha es el conjunto

 .



Llamaremos clase lateral izquierda de   y clase lateral derecha de   según el subgrupo   a los conjuntos   y  , respectivamente. Al conjunto cociente de todas las clases laterales   (con  ) lo representaremos por  , mientras que al conjunto cociente de todas las clases laterales   lo representaremos por  

Tanto   como   tienen cardinal igual a  , pues, por ejemplo, la aplicación

 



es claramente biyectiva, luego  . Más aún, también es cierto que

 



La prueba de esto es que la aplicación   dada por

 



está bien definida (hecho que puede verificar el lector) y es biyectiva.


Definición 1.25: Sea   un grupo y   un subgrupo de  . Llamaremos índice de   en   al cardinal  . Lo representaremos por

 



Por todo lo anterior, tenemos que se cumple el siguiente hecho


Teorema 1.26 (Lagrange): Si   es un grupo finito y   es un subgrupo de  , entonces

 ,


así que el orden de todo subgrupo   de   es divisor del orden de  .


Demostración: Efectivamente, pues hemos visto que todas las clases laterales   tienen el mismo cardinal   (que es también el cardinal de cualquier clase  ), y si hay   de estas clases, entonces el orden de   es  .
 


En realidad el teorema anterior puede generalizarse para grupos no necesariamente finitos:


Teorema 1.27: Sea   un grupo y  . Entonces

 



Demostración: Tenemos que

 


donde   y   y las clases laterales   son disjuntas entre sí, al igual que lo son las clases  . Además, nótese que   y  . Tenemos pues que

  (1.3



Vamos a probar ahora que las clases laterales   son disjuntas, es decir, que   si y sólo si   y  . Supóngase pues que  , de modo que

 



para cierto   de  . Ya que  , tenemos que

 



para cierto   de  , luego  , y entonces  . Esto da paso a que sea

 



lo cual lleva claramente al hecho de que  , luego también   y así la unión (1.3)

es de clases mutuamente disjuntas, lo que implica que 
 



y el teorema queda demostrado.
 


Ahora el teorema 1.26 se convierte en un caso particular del teorema 1.27 cuando   es finito y tomando  .


Sea   un grupo y  . Se define

 



(Este conjunto puede no ser un grupo aún cuando   y   lo sean). Si, por ejemplo,   y  , entonces   es la clase lateral izquierda de   según el subgrupo  . Si   y  , notar que  .


Teorema 1.28 Si   y   son subgrupos finitos de un grupo  , entonces

 



Demostración: Si  , entonces   es también un subgrupo de  , aunque también lo es de ambos   y  , así que

  (1.4


siendo esta unión disjunta y  . Si multiplicamos (1.4)

por   y teniendo en cuenta que  , obtenemos
 



siendo esta unión igualmente disjunta (pues si no lo fuera tampoco lo sería (1.4)

). Por tanto,  , pero por el teorema de Lagrange  , de donde se sigue el resultado que se buscaba.
 


Subgrupos normalesEditar

Si   es un grupo y   es un subgrupo de  , no es cierto en general que  , aunque claramente esto sí sucede cuando   es abeliano. En realidad existen subgrupos de un grupo   que cumplen esto mismo sin necesidad de que   sea abeliano. En esta sección vamos a caracterizar tales subgrupos.


Definición 1.29: Sea   un grupo y   un subgrupo de  . Se dice que   es normal en   si

 



para todo   de  . Este hecho lo representaremos por  .


Equivalentemente tenemos que   si y sólo si

 



Tenemos pues que si  , entonces las relaciones de congruencia izquierda y derecha módulo   coinciden, luego cualquiera de ellas da lugar al mismo conjunto cociente  . Vamos a probar ahora que este conjunto cociente puede ser dotado de una estructura de grupo.


Teorema 1.30: Sea   un grupo y  . Entonces   es un grupo, llamado grupo cociente de   por  , con la operación de grupo dada por


 



Demostración: Para comenzar, debemos probar que la operación en   dada por   tiene sentido, es decir, que si   y  , entonces  . Esto es así, pues

 



con   y   (pues   y  ), así es que  , pero como  , también  , luego  , y entonces  , lo que prueba que  . Hemos probado que la operación definida en   tiene sentido. Esta operación es asociativa. La identidad de   es  , y el inverso de todo   de   es  . Con esto queda probado que   es un grupo.
 


Si   es un homomorfismo de grupos, entonces  . En efecto, pues si   y  , entonces

 



luego  , así que   para todo   de  , luego podemos cambiar   por   y así tener que  , luego para todo   de   se tiene

 



lo que demuestra que  , completando la prueba de que  .


Teorema 1.31: El núcleo de todo homomorfismo de grupos   es un subgrupo normal del dominio de  . Recíprocamente, todo subgrupo normal de un grupo   es el núcleo de cierto homomorfismo cuyo dominio es  .


Demostración: La primera parte del teorema ya ha sido probada. Si   es un subgrupo normal de  , la aplicación

 



es claramente un epimorfismo, y es llamado proyección canónica. Puesto que   si y sólo si  , i.e. si y sólo si  , tenemos que  .
 


Sea   un grupo y  , y defínanse los conjuntos

 



Llamaremos normalizador de   al conjunto

 



Este conjunto es en realidad un grupo, pues es fácil ver que si   (i.e. si   y  ) entonces también  , y que además   y  .

Si   es un subgrupo de  , entonces claramente  . Más aún,   es el mayor subgrupo de   en el cual   es normal. En otras palabras,

 



Ahora bien, podemos definir un conjunto cuyas exigencias sean aún más fuertes que las que definen a un grupo normalizador. Para ser precisos, si   es un grupo podemos definir un subgrupo cuyos elementos sean aquellos que conmuten con todos los elementos de un subconjunto   de  . A este conjunto se le llama centralizador de  , y lo denotaremos por  . Así pues,

 



Notar que

  1.  ;
  2.   equivale a decir que   es abeliano.


Ahora vamos a enunciar un teorema que tiene consecuencias importantes.


Teorema 1.32 (Teorema fundamental de homomorfismos): Sea   un homomorfismo de grupos y   un subgrupo normal de   tal que  . Entonces existe un único homomorfismo   tal que  , donde   es la proyección canónica. Además:

(1)   es un epimorfismo si y sólo si   lo es;
(2)  
(3)   es un monomorfismo si y sólo si  


Demostración: Vamos a demostrar que el homomorfismo   es la aplicación dada por

 



Primeramente observamos que esta aplicación está bien definida, pues si  , entonces  , y como  , también  , luego  . Es fácil ver que   es un homomorfismo, y puesto que está completamente determinada por  , es el único homomorfismo que cumple  . (1) es evidente. (2)  .   es un monomorfismo si y sólo si   es el subgrupo trivial de  , es decir, si y sólo si  .
 

El teorema fundamental de homomorfismos puede enunciarse también de esta manera: si   es un homomorfismo de grupos y   un subgrupo normal de   tal que