Curso de relatividad general, gravitación y cosmología/Relatividad especial

Relatividad especial: El espacio-tiempo de Minkowski

Las transformaciones de Lorentz

El artículo principal de esta categoría es Transformación de Lorentz.

• Espacio
• Tiempo
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Las líneas de universo

Véase también: Espacio-tiempo, Línea de universo, Evento, Intervalo relativista, y Hermann Minkowski

Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund′ an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren. (Raum und Zeit, Hermann Minkowski) || Las ideas sobre el espacio y el tiempo que deseo mostrarles hoy se han desarrollado en el suelo firme de la física experimental, en la cual yace su fuerza. Su tendencia es radical. A partir de ahora el espacio y el tiempo por separado descienden al rango de sombras y tan sólo una unión de ambos puede conservar su sustantividad. (Espacio y Tiempo, Hermann Minkowski)

Representación de la línea de universo de una partícula. como no es posible reproducir un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, en la figura se representa sólo la proyección sobre 2 dimensiones espaciales y una temporal.

Tras la publicación en 1905 del celebérrimo artículo de Einstein En torno a la Electrodinámica de los cuerpos en movimiento la nueva Teoría de la relatividad especial fue aceptada en unos pocos años por la mayoría de los físicos y los matemáticos. Uno de ellos, Hermann Minkowski, antiguo profesor de Einstein en la Politécnica de Zürich para más señas, creó el concepto de espacio-tiempo (Raumzeit), entendido como una variedad tetradimensional en la que se entrelazaban de una manera insoluble las tres dimensiones espaciales y el tiempo.

En el espacio-tiempo de Minkowski, el movimiento de una partícula se representa mediante su línea de universo (Weltlinie), una curva cuyos puntos vienen determinados por cuatro variables distintas: Las tres dimensiones espaciales ($x\$,$y\$,$z\$) y el tiempo ($t\$). A partir de este momento, emplearemos coordenadas gausianas y utilizaremos la variable $x_{0}\$ para representar al tiempo, y $x_{1}\$, $x_{2}\$, $x_{3}\$ para representar a las dimensiones espaciales.

El intervalo relativista

El nuevo esquema de Minkowski obligó a reinterpretar los conceptos de la métrica existentes hasta entonces. El concepto tridimensional de punto, es sustituido por el de evento, mientras que la magnitud de distancia, se ve reemplazada por la de intervalo.

Correspondencia entre E3 y M4

Espacio tridimensional euclideo	Espacio-tiempo de Minkowski
Punto	Evento
Distancia	Intervalo
Velocidad	Tetravelocidad
Momentum	Tetramomentum

El tensor métrico del espacio-tiempo de Minkowski se designa con la letra $\eta _{ij}\$ y toma la siguiente forma:

$g_{ij}=\eta _{ij}={\begin{pmatrix}c^{2}&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}$

El intervalo, la distancia tetradimensional, se representa mediante la expresión $ds^{2}\$ se calcula del siguiente modo:

$ds^{2}\ =g_{ij}dx^{i}dx^{j}$

$ds^{2}\ =c^{2}(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}$

$ds^{2}\ =c^{2}t^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$

$ds^{2}\ =c^{2}t^{2}-dl^{2}$

Los intervalos pueden ser clasificados en tres categorías: Intervalos espaciales (cuando $ds^{2}$ es negativo), temporales (si $ds^{2}$ es positivo) y nulos (cuando $ds^{2}$ = 0). Como el lector habrá podido comprobar, los intervalos nulos son aquellos que corresponden a partículas que se mueven a la velocidad de la luz, como los fotones: La distancia $dl^{2}$ recorrida por el fotón es igual a su velocidad (c) multiplicada por el tiempo $dt$ y por lo tanto el intervalo $ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dl^{2}$ se hace nulo.

Reproducción de un cono de luz, en el que se representan dos dimensiones espaciales y una temporal (eje de ordenadas). El observador se sitúa en el origen, mientras que el futuro y el pasado absolutos vienen representados por las partes inferior y superior del eje temporal. El plano correspondiente a t = 0 se denomina plano de simultaneidad o hipersuperficie de presente. Los sucesos situados dentro de los conos están vinculados al observador por intervalos temporales. Los que se sitúan fuera, por intervalos espaciales.

Los intervalos nulos pueden ser representados en forma de conos de luz, popularizados por el celebérrimo libro de Stephen Hawking, Historia del Tiempo. Sea un observador situado en el origen, el futuro absoluto (los sucesos que serán percibidos por el individuo) se despliega en la parte superior del eje de ordenadas, el pasado absoluto (los sucesos que ya han sido percibidos por el individuo) en la parte inferior, y el presente percibido por el observador en el punto 0. Los sucesos que están fuera del cono de luz no nos afectan, y por lo tanto se dice de ellos que están situados en zonas del espacio-tiempo que no tienen relación de causalidad con la nuestra.

Imaginemos, por un momento, que en la galaxia Andrómeda, situada a 2 millones de años luz de nosotros, sucedió un cataclismo cósmico hace 100.000 años. Dado que 1) la luz de Andrómeda tarda 2 millones de años en llegar hasta nosotros y 2) nada puede viajar a una velocidad superior a la de los fotones, es evidente, que no tenemos manera de enterarnos lo que sucedió en dicha Galaxia hace tan sólo 100.000 años. Se dice por lo tanto que el intervalo existente entre dicha hipotética catástrofe cósmica y nosotros, observadores del presente, es un intervalo espacial ($ds^{2}<0$), y por lo tanto, no puede afectar a los individuos que en el presente viven en la Tierra: Es decir, no existe relación de causalidad entre ese evento y nosotros.

Imagen de la galaxia Andrómeda tomada por el telescopio Spitzer. ¿Pueden llegar hasta nosotros sucesos acaecidos tan sólo 100.000 años atrás? Evidentemente no. Se dice por tanto que entre tales eventos y nosotros existe un intervalo espacial.

Podemos escoger un episodio todavía más poético: El de la estrella de Belén, tal y como fue interpretada por Johannes Kepler. Este astrónomo alemán consideraba que dicha estrella se identificaba con una supernova que tuvo lugar el año 5 a.C., cuya luz fue observada por los astrónomos chinos contemporáneos, y que vino precedida en los años anteriores por varias conjunciones planetarias en la constelación de Piscis. Esa supernova probablemente estalló hace miles de años atrás, pero su luz no llegó a la tierra hasta el año 5 a.C.. De ahí que el intervalo existente entre dicho evento y las observaciones de los astrónomos egipcios y megalíticos (que tuvieron lugar varios siglos antes de Cristo) sea un intervalo espacial, pues la radiación de la supernova nunca pudo llegarles. Por el contrario, la explosión de la supernova por un lado, y las observaciones realizadas por los tres magos en Babilonia y por los astrónomos chinos en el año 5 a.C. por el otro, están unidas entre sí por un intervalo temporal, ya que la luz sí pudo alcanzar a dichos observadores.

El tiempo local y el intervalo se relacionan mediante la siguiente equivalencia: $\ cd\tau =ds$, es decir, el intervalo es igual al tiempo local multiplicado por la velocidad de la luz. Una de las características tanto del tiempo local como del intervalo es su invarianza ante las transofrmaciones de coordenadas. Sea cual sea nuestro punto de referencia, sea cual sea nuestra velocidad, el intervalo entre un determinado evento y nosotros permanece invariante.

Esta invarianza se expresa a través de la llamada geometría hiperbólica: La ecuación del intervalo $ds=$ tiene la estructura de una hipérbola sobre cuatro dimensiones, cuyo término independiente coincide con el valor del cuadrado del intervalo ($ds^{2}=dt^{2}-dl^{2}$), que como se acaba de decir en el párrafo anterior, es constante. Las asíntotas de la hipérbola vendrían a coincidir con el cono de luz.

Cuadrivelocidad, aceleración y cuadrimomentum

En el espacio tiempo de Minkowski, las propiedades cinemáticas de las partículas se representan fundamentalmente por tres magnitudes: La cuadrivelocidad (o tetravelocidad) , la aceleración y el cuadrimomentum (o tetramomentum).

La cuadrivelocidad es un cuadrivector tangente a la línea de universo de la partícula, relacionada con la velocidad coordenada de un cuerpo medida por un observador en reposo cualquiera, esta velocidad coordenada se define con la expresión newtoniana $dx^{i}/dt$, donde $(t,x^{1},x^{2},x^{3})\;$ son el tiempo coordenado y las coordenadas espaciales medidas por el observador, para el cual la velocidad newtoniana ampliada vendría dada por $(1,v^{1},v^{2},v^{3})$. Sin embargo, esta medida newtoniana de la velocidad no resulta útil en teoría de la relatividad, porque las velocidades newtonianas medidas por diferentes observadores no son fácilmente relacionables por no ser magnitudes covariantes. Así en relatividad se introduce una modificación en las expresiones que dan cuenta de la velocidad, introduciendo un invariante relativista. Este invariante es precisamente el tiempo propio de la partícula que es fácilmente relacionable con el tiempo coordenado de diferentes observadores. Usando la relación entre tiempo propio y tiempo coordenado: $dt=\gamma d\tau \;$ se define la cuadrivelocidad [propia] multiplicando por $\ \gamma$ las de la velocidad coordenada: $u^{\alpha }=v^{\alpha }\gamma =dx^{i}/d\tau$.

Como se puede comprobar en las ecuaciones siguientes, la velocidad coordenada de un cuerpo con masa depende caprichosamente del sistema de referencia que escojamos, mientras que la cuadrivelocidad propia es una magnitud que se transforma de acuerdo con el principio de covariancia y tiene un valor siempre constante equivalente al intervalo dividido entre el tiempo propio ($ds/d\tau$), o lo que es lo mismo, a la velocidad de la luz c. Para partículas sin masa, como los fotones, el procedimiento anterior no se puede aplicar, por no tener un tiempo propio correctamente definido, y la cuadrivelocidad puede definirse solamente como vector tangente a la trayectoria seguida por los mismos.

Componentes $\to (u^{0},u^{1},u^{2},u^{3})\to ({\frac {dx^{0}}{d\tau }},{\frac {dx^{1}}{d\tau }},{\frac {dx^{2}}{d\tau }},{\frac {dx^{3}}{d\tau }})\to (\gamma ,v^{1}\gamma ,v^{2}\gamma ,v^{3}\gamma )$

Magnitud $\to |u|={\sqrt {{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}={\sqrt {c^{2}(u^{0})^{2}-(u^{1})^{2}-(u^{2})^{2}-(u^{3})^{2}}}={\sqrt {\frac {ds^{2}}{d\tau ^{2}}}}$

Magnitud en cuerpos con masa $\to |u|={\sqrt {\frac {ds^{2}}{d\tau ^{2}}}}=c$
Magnitud en fotones $\to |u|={\sqrt {\frac {ds^{2}}{d\tau ^{2}}}}={\sqrt {\frac {0}{0}}}=$ no definida

La física newtoniana distinguía entre sistemas en reposo (cuya velocidad era nula) y sistemas en movimiento, ya fuera este uniforme o acelerado. Sin embargo, la Teoría de la Relatividad abandonó dicha clasificación por una nueva en la que distingue entre sistemas inerciales (aquellos cuya velocidad es constante, incluidos los que están en reposo relativo) y sistemas no inerciales, cuyo movimiento no es constante, sino acelerado. La aceleración puede ser definida como la derivada temporal de la cuadrivelocidad ($a^{i}=du^{i}/d\tau$). Su magnitud es igual a cero en los sistemas inerciales, cuyas líneas del mundo son geodésicas, rectas en el espacio-tiempo llano de Minkowski. Por el contrario, las líneas del mundo curvadas corresponden a partículas con aceleración diferente de cero, a sistemas no inerciales.

Junto con los principios de invarianza del intervalo y la cuadrivelocidad, juega un papel fundamental la ley de conservación del cuadrimomentum. Es aplicable aquí la definición de newtoniana del momentum (${\vec {p}}=\mu {\vec {u}}$) como la masa (en este caso conservada, $\mu$) multiplicada por la velocidad (en este caso, la cuadrivelocidad), y por lo tanto sus componentes son los siguientes: $(m,p^{1},p^{2},p^{3})\;$, teniendo en cuenta que $m=\mu \gamma \;$. La cantidad de momentum conservado es definida como la raíz cuadrada de la norma del vector de cuadrimomentum. El momentum conservado, al igual que el intervalo y la cuadrivelocidad propia, permanece invariante ante las transformaciones de coordenadas, aunque también aquí hay que distinguir entre los cuerpos con masa y los fotones. En los primeros, la magnitud del cuadriomentum es igual a la masa multiplicada por la velocidad de la luz ($|p|=\mu c$). Por el contrario, el cuadrimomentum conservado de los fotones es igual a la magnitud de su momentum tridimensional ($|p|=p$).

Como tanto la velocidad de la luz como el cuadrimomentum son magnitudes conservadas, también lo es su producto, al que se le da el nombre de energía conservada ($E_{con}=|p|c$), que en los cuerpos con masa equivale a la masa multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado ($E_{con}=\mu c^{2}$, la famosa fórmula de Einstein) y en los fotones al momentum multiplicado por la velocidad de la luz ($E_{con}=pc$)

Componentes $\to (p^{0},p^{1},p^{2},p^{3})\to (\mu \gamma ,\mu v^{1}\gamma ,\mu v^{2}\gamma ,\mu v^{3}\gamma )\to (m,p^{1},p^{2},p^{3})$

Magnitud del cuadrimomentum $\to |p|={\sqrt {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}={\sqrt {m^{2}c^{2}-p^{2}}}={\sqrt {{\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p^{2}}}$

Magnitud en cuerpos con masa $\to |p|={\sqrt {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}=m{\sqrt {{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}=\mu c$
Magnitud en fotones (masa = 0) $\to |p|={\sqrt {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}={\sqrt {m^{2}c^{2}-p^{2}}}={\sqrt {p^{2}}}=p$

Energía $\to E_{con}=c|p|=c{\sqrt {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}={\sqrt {E^{2}-p^{2}c^{2}}}$

Energía en cuerpos con masa (cuerpos en reposo, p=0) $\to E_{con}={\sqrt {m^{2}c^{4}-p^{2}c^{2}}}\to E_{con}=mc^{2}$
Energía en fotones (masa en reposo = 0) $\to E_{con}={\sqrt {m^{2}c^{4}-p^{2}c^{2}}}={\sqrt {p^{2}c^{2}}}=pc$

La aparición de la Relatividad Especial puso fin a la secular disputa que mantenían en el seno de la mecánica clásica las escuelas de los mecanicistas y los energetistas. Los primeros sostenían, siguiendo a Descartes y Huygens, que la magnitud conservada en todo movimiento venía constituida por el momentum del cuerpo, mientras que los energetistas, consideraban, siguiendo a Leibniz, que la magnitud conservada venía constituida por la suma de dos cantidades: La fuerza viva, equivalente a la mitad de la masa multiplicada por la velocidad al cuadrado ($mv^{2}/2$) y a la que hoy denominaríamos "energía cinética", y la fuerza muerta, equivalente a la altura por la constante g ($hg$), que correspondería a la "energía potencial". Fue el físico alemán Hermann von Helmholtz el que primero dio a la fuerza leibniziana el nombre de energía y el que formuló la Ley de conservación de la energía, que no se restringe a la mecánica, sino que se extiende también a otras disciplinas físicas como la termodinámica.

La mecánica newtoniana dio la razón a ambos postulados, afirmando que tanto el momentum como la energía son magnitudes conservadas en todo movimiento sometido a fuerzas conservativas. Sin embargo, la Relatividad Especial dio un paso más allá, por cuanto a partir de los trabajos de Einstein y Minkowski el momentum y la energía dejaron de ser considerados como entidades independientes y se les pasó a considerar como dos aspectos, dos facetas de una única magnitud conservada: el cuadrimomentum.

Componentes y magnitud de los diferentes conceptos cinemáticos

Concepto	Componentes	Expresión algebraica	Partículas con masa	Fotones
Intervalo	$\ dx^{a}={\begin{bmatrix}dt\\dx^{1}\\dx^{2}\\dx^{3}\\\end{bmatrix}}$	$ds^{2}={\vec {d}}x\cdot {\vec {d}}x$	$\ ds^{2}\not =0$	$\ ds^{2}=0$
Cuadrivelocidad	$u^{\alpha }={\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}={\begin{bmatrix}\gamma \\v^{1}\gamma \\v^{2}\gamma \\v^{3}\gamma \\\end{bmatrix}}$	$|u|={\sqrt {{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}}}={\sqrt {\frac {ds^{2}}{d\tau ^{2}}}}$	$\ |u|=c$	Cuadrivelocidad no definida
Aceleración	$a^{\alpha }={\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}$	${\displaystyle }$	$\ a^{\alpha }=0$ (sistemas inerciales) $\ a^{\alpha }\not =0$ (sistemas no inerciales)	Aceleración no definida
Cuadrimomentum	$\ p^{\alpha }=\mu u^{\alpha }={\begin{bmatrix}m\\-p^{1}\\-p^{2}\\-p^{3}\\\end{bmatrix}}$	$|p|={\sqrt {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}={\sqrt {{\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p^{2}}}$	$\ |p|=\mu c$	$\ |p|=p$

El tensor de tensión-energía (T_ab)

Tensor de tensión-energía

Tres son las ecuaciones fundamentales que en física newtoniana describen el fenómeno de la gravitación universal: La primera, afirma que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia (1); la segunda, que el potencial gravitatorio ($\ \Phi$) en un determinado punto es igual a la masa multiplicada por la constante G y dividida por la distancia r (2); y la tercera, finalmente, es la llamada ecuación de Poisson (3), que indica que el laplaciano del potencial gravitatorio es igual a $\ 4\Pi G\rho$, donde $\ \rho$ es la densidad de masa en una determinada región esférica.

$F={\frac {GMm}{r^{2}}}(1)$$\to \Phi ={\frac {GM}{r}}(2)$$\to \Delta \Phi =4\pi G\rho (3)$

Sin embargo, estas ecuaciones no son compatibles con la Relatividad Especial por dos razones:

• En primer lugar la masa no es una magnitud absoluta, sino que su medición deriva en resultados diferentes dependiendo de la velocidad relativa del observador. De ahí que la densidad de masa $\ \rho$ no puede servir de parámetro de interacción gravitatoria entre dos cuerpos.
• En segundo lugar, si el concepto de espacio es relativo, también lo es la noción de densidad. Es evidente que la contracción del espacio producida por el incremento de la velocidad de un observador, impide la existencia de densidades que permanezcan invariables ante las transformaciones de Lorentz.

Por todo ello, resulta necesario prescindir del término $\ \rho$, situado en el lado derecho de la fórmula de Poisson y sustituirlo por un objeto geométrico-matemático que permanezca invariante ante las transformaciones de Lorentz: Dicho objeto fue definido por Einstein en sus ecuaciones de universo y recibe el nombre de tensor de energía-momentum ($\ T^{\alpha \beta }$). Sus coeficientes describen la cantidad de tetramomentum $\ p^{\alpha }$ que atraviesa una hipersuperficie $\ \Pi _{\beta }$, normal al vector unitario ${\vec {u}}^{\beta }$.

De este modo, el tensor de energía momentum puede expresarse mediante la siguiente ecuación:

$\ p^{\alpha }=\int _{\Pi }T^{\alpha \beta }d\Pi _{\beta }$
O lo que es lo mismo: El componente $\ p^{\alpha }$ del tetramomentum es igual a la integral de hipersuperficie $\ d\Pi _{\beta }$ del tensor de tensión-energía.

En un fluido ideal, del que están ausentes tanto la viscosidad como la conducción de calor, los componentes del tetramomentum se calculan de la siguiente forma:

$T^{\alpha \beta }\,=(\rho +{P \over c^{2}})u^{\alpha }u^{\beta }-Pg^{\alpha \beta }$,

donde $\ \rho$ es la densidad de masa-energía (masa por unidad de volumen tridimensional), $\ P$ es la presión hidrostática, $\ u^{\alpha }$ es la cuadrivelocidad del fluido, y $\ g^{\alpha \beta }$ es la matriz inversa del tensor métrico de la variedad.

Además, si los componentes del tensor se miden por un observador en reposo relativo respecto al fluido, entonces, el tensor métrico viene constituido simplemente por la métrica de Minkowski:

$g_{\alpha \beta }\,=\eta _{\alpha \beta }=\mathrm {diag} (c^{2},-1,-1,-1)$

$g^{\alpha \beta }\,=\eta ^{\alpha \beta }=\mathrm {diag} ({\frac {1}{c^{2}}},-1,-1,-1)$

Puesto que además la tetravelocidad del fluido respecto al observador en reposo es:

$\ u^{\alpha }=(1,0,0,0)$.

como consecuencia de ello, los coeficientes del tensor de tensión-energía son los siguientes:

$T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\rho &0&0&0\\0&-P_{1}&0&0\\0&0&-P_{2}&0\\0&0&0&-P_{3}\\\end{pmatrix}}$

Donde $\ \rho$ es la densidad de masa, y $\ P_{i}$ son los componentes tridimensionales de la presión hidrostática. Como vemos, el campo gravitatorio tiene dos fuentes diferentes: La masa y el momentum del fluido en cuestión. Los efectos gravitatorios originados por la masa se denominan efectos gravitoeléctricos, mientras que aquellos que se deben al momentum reciben el nombre de efectos gravitomagnéticos. Los primeros tienen una intensidad $c^{2}$ superior a los segundos, que sólo se manifiestan en aquellos casos en los que las partículas del fluido se mueven con una velocidad cercana a la de la luz (se habla entonces de fluidos relativistas): Es el caso de los chorros (jets) que emanan del centro de la galaxia y que se propulsan en las dos direcciones marcadas por el eje de rotación de este cuerpo cósmico; de la materia que se precipita hacia un agujero negro; y del fluido estelar que se dirige hacia el centro de la estrella cuando se ésta entra en colapso. En este último caso, durante las fases finales del proceso de contracción de la estrella, la presión hidrostática puede llegar a ser tan fuerte como para llegar a acelerar el colapso, en lugar de ralentizarlo.

Podemos, a partir del tensor de tensión-energía, calcular cuánta masa contiene un determinado volumen del fluido: Retomando la definición de este tensor expuesta unas líneas más arriba, se puede definir al coeficiente $\ T^{00}$ como la cantidad de momentum $\ p^{0}$ (esto es, la masa) que atraviesa la hipersuperficie $\ d\Pi _{0}$. En el espacio-tiempo de Minkowski, la hipersuperficie $\ d\Pi _{0}$ es aquella región que se define por las tres bases vectoriales normales al vector $\ dx^{0}$: $\ \Pi _{0}$ es, por tanto, un volumen tridimensional, definido por los vectores base ${\vec {e}}_{1}$ (eje x), ${\vec {e}}_{2}$ (eje y), y ${\vec {e}}_{3}$ (eje z). Podemos por tanto escribir:

$\ p^{0}=\int T^{00}d\Pi _{0}$

$\ m=\int \rho dV$

Del mismo modo, es posible deducir matemáticamente a partir del tensor de tensión-energía la definición newtoniana de presión, introduciendo en la mentada ecuación cualquier par de índices que sean diferentes de cero:

$\ p^{1}=\int _{\Pi }T^{11}d\Pi _{1}$

La hipersuperficie $\ d\Pi _{1}$ es aquella región del espacio-tiempo definida por los tres vectores unitarios normales a $\ dx_{1}$ (se trata de los dos vectores espaciales, ${\vec {e}}_{2}$ y ${\vec {e}}_{3}$, correspondientes a los ejes y y z; y del vector temporal ${\vec {e}}_{0}$ -o $\ dt$, como se prefiera-). Esta definición nos permite descomponer la integral de hipersuperficie en una integral temporal (cuyo integrando viene definido por $\ dt$) y otra de superficie (esta vez bidimensional, $\ dS$):

$\ p^{1}=\iint _{S}-P_{1}dS_{1}dt$

Finalmente, derivamos parcialmente ambos miembros de la ecuación respecto al tiempo, y teniendo en cuenta que la fuerza no es más que la tasa de incremento temporal del momentum obtenemos el resultado siguiente:

$\ F^{1}=\int _{S}-P_{1}dS_{1}$

Que contiene la definición newtoniana de la presión como fuerza ejercida por unidad de superficie.

El tensor electromagnético (F_ab)

El artículo principal de esta categoría es Tensor de Faraday.

Las ecuaciones pergeñadas por el físico escocés, James Clerk Maxwell demostraron que electricidad y magnetismo no eran más que dos manifestaciones de un mismo fenómeno físico: El campo electromagnético. Ahora bien, describir las propiedades de cualquiera de estos campos era necesario utilizar dos vectores diferentes: Los correspondientes al campo eléctrico y al campo magnético.

Sin embargo, la llegada de la Relatividad Especial permitió describir las propiedades del campo electromagnético con un sólo objeto geométrico: El vector cuadripotencial, cuyo componente temporal se correspondía con el potencial eléctrico, mientras que sus componentes espaciales eran los mismos que los del potencial magnético.

$F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }$

$F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}$