Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 073b

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Lección 073

Mathematik auf Deutsch - 23

BM1101 - BM1110

BM1101

Bild 1

Bild 2

Bild 3

Bild 4

Gebrochene Zahlen

der Bruchbegriff

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Um Bruchteile von Ganzen angeben zu können, haben wir aus den natürlichen Zahlen Brüche gebildet.

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Definition: Ein in der Form „${\tfrac {a}{b}}$“ geschriebenes Paar natürlicher Zahlen a und b (b ≠ 0) heißt (gemeiner) Bruch. Die Zahl a heißt Zähler, die Zahl b Nenner des Bruchs.

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Der Nenner eines Bruches gibt an, in wie viel Tagen ein Ganzes geteilt wurde. Der Zähler gibt an, wie viel solcher Teile durch den Bruch gegeben sind.

Brüche bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist, heißen echte Brüche.

Alle anderen Brüche heißen unechte Brüche.

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Definition: Man erweitert einen Bruch mit einer von 0 verschiedenen natürlichen Zahl, indem man Zähler und Nenner dieses Bruchs mit dieser Zahl multipliziert.

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Man kürzt einen Bruch durch eine von 0 verschiedene Zahl, indem man Zähler und Nenner dieses Bruchs durch diese Zahl dividiert.

Jeder Bruch kann mit einer beliebigen von 0 verschiedenen natürlichen Zahl erweitert werden. Sind Zähler und Nenner eines Bruchs teilerfremd, so lässt sich dieser Bruch nur durch 1 kürzen.

BM1102

Gebrochene Zahlen

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Um festzustellen, ob zwei gegebenen Brüche durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, benutzen wir folgenden Satz.

Satz: Wenn für Brüche ${\tfrac {a}{b}}$ und ${\tfrac {c}{d}}$ (b ≠ 0 und d ≠ 0)

a * d = b * c gilt,

so gehen sie durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervor.

Gilt jedoch a * d ≠ b * c,

so gehen sie nicht duch Kürzen oder Erweitern auseinander hervor.

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${\tfrac {a}{b}}$	${\tfrac {c}{d}}$	a * d	b * c
${\tfrac {2}{5}}$	${\tfrac {4}{10}}$	20	20
${\tfrac {9}{3}}$	${\tfrac {6}{2}}$	18	18
${\tfrac {5}{1}}$	${\tfrac {20}{4}}$	20	20

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${\tfrac {a}{b}}$	${\tfrac {c}{d}}$	a * d	b * c
${\tfrac {2}{3}}$	${\tfrac {4}{7}}$	14	12
${\tfrac {5}{7}}$	${\tfrac {5}{8}}$	40	35
${\tfrac {18}{5}}$	${\tfrac {9}{2}}$	36	45

BM1103

Alle Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern auseinander hervorgehen, fassen wir zu einer Klasse zusammen.

Definiton: Alle Brüche, die durch Kürzen doer Erweitern auseinander hervorgehen, bilden eine Klasse. Jede solche Klasse heißt gebrochene Zahl:

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Wenn wir z. B. von der „gebrochenen Zahl ${\tfrac {1}{2}}$“ sprechen, so meinen wir also diejenige Klasse von Brüchen, in der u. a. der Bruch ${\tfrac {1}{2}}$, aber auch die Brüche ${\tfrac {2}{4}}$, ${\tfrac {3}{6}}$ usw. liegen.

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Sprechen wir von dem „Bruch ${\tfrac {1}{2}}$“, so meinen wir nur das aus natürlichen Zahlen 1 und 2 geordnete Paar.

Die verschiedenen Brüche ${\tfrac {1}{2}}$ und ${\tfrac {2}{4}}$ geben dieselbe gebrochene Zahl an, also dieselbe Klasse von Brüchen. Wir können deshalb schreiben:

${\tfrac {1}{2}}$ = ${\tfrac {2}{4}}$

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Häufig wird zur Angabe einer gebrochenen Zahl derjenige Bruch benutzt, dessen Zähler und Nenner teilerfremd sind.

Das Kürzen oder Erweitern eines Bruches bedeutet, dass man von diesem Bruch zu einem anderen Bruch aus derselben Klasse übergeht, d. h. dieselbe gebrochene Zahl durch einen anderen Bruch angibt:

${\tfrac {0}{1}}$ = ${\tfrac {0}{5}}$ = ${\tfrac {0}{23}}$ = ${\tfrac {0}{3}}$

${\tfrac {1}{2}}$ = ${\tfrac {4}{8}}$ = ${\tfrac {5}{10}}$ = ${\tfrac {150}{300}}$ = ${\tfrac {50}{100}}$

${\tfrac {1}{1}}$ = ${\tfrac {8}{8}}$ = ${\tfrac {21}{21}}$

${\tfrac {16}{7}}$ = ${\tfrac {32}{14}}$ = ${\tfrac {64}{28}}$ = ${\tfrac {160}{70}}$

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Um gebrochene Zahlen an einem Zahlenstrahl darzustellen, gehen wir folgendermaßen vor:

Wir tragen vom Anfangspunkt eines Strahls aus eine Strecke mit beliebiger Länge ab (Einheitsstrecke). An den Anffangs- bzw. Endpunkt dieser Strecke schreiben wir die Brüche ${\tfrac {0}{1}}$ bzw.${\tfrac {1}{1}}$ zur Bezeichnung der entsprechenden gebrochenen Zahlen. Von den Endpunkten der Einheitsstrecke ausgehend, tragen wir Strecken mit derselben Länge fortlaufend ab und schreiben an die erhaltenen Punkte der Reihe nach die Brüche ${\tfrac {2}{1}}$, ${\tfrac {3}{1}}$, ${\tfrac {4}{1}}$, usw. (Bild 1)

Durch Abtragen von Bruchteilen der Einheitsstrecke finden wir entsprechend die Punkte, die beliebigen anderen gebrochenen Zahlen zugeordnet sind. Dadurch wird jeder gebrochenen Zahl ein Punkt des Strahls zugeordnet.

Bild 1

Normalerweise werden nur solche Brüche zur Angabe der entsprechenden Zahlen benutzt, bei denen Zähler und Nenner teilerfremd sind.

Bild 2

BM1104

Kürze die folgenden Brüche so weit wie möglich!

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a) ${\tfrac {15}{25}}$

b) ${\tfrac {64}{56}}$

c) ${\tfrac {87}{111}}$

d) ${\tfrac {1000}{300}}$

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e) ${\tfrac {7}{15}}$

f) ${\tfrac {70}{150}}$

g) ${\tfrac {123}{321}}$

h) ${\frac {5\cdot 370}{37\cdot 50}}$

---

i) ${\frac {17\cdot 3\cdot 9}{6\cdot 51\cdot 15}}$

j) ${\tfrac {12}{16}}$

k) ${\tfrac {70}{35}}$

m) ${\tfrac {513}{864}}$

---

n) ${\tfrac {105}{75}}$

o) ${\tfrac {11}{36}}$

p) ${\tfrac {130}{65}}$

q) ${\tfrac {504}{405}}$

---

r) ${\frac {7\cdot 80}{8\cdot 70}}$

s) ${\frac {18\cdot 8\cdot 37}{185\cdot 72}}$

BM1105

Erweitere die folgenden Brüche so, dass ihr Nenner 48 wird!

Welche Aufgaben sind nicht lösbar?

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a) ${\tfrac {2}{3}}$

b) ${\tfrac {11}{12}}$

c) ${\tfrac {6}{7}}$

d) ${\tfrac {1}{32}}$

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e) ${\tfrac {25}{24}}$

f) ${\tfrac {7}{96}}$

g) ${\tfrac {3}{2}}$

h) ${\tfrac {9}{8}}$

---

i) ${\tfrac {8}{9}}$

j) ${\tfrac {48}{6}}$

k) ${\tfrac {7}{4}}$

m) ${\tfrac {101}{480}}$

BM1106

Ermittle in den folgenden Paaren von Brüchen die Zahl x ($x\in \mathbb {N}$) so, dass die Brüche durch Kürzen auseinander hervorgehen! Gib die natürliche Zahl an, mit der jeweils gekürzt worden ist. Welche Aufgaben sind nicht lösbar?

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a) ${\tfrac {10}{30}}$ und ${\tfrac {1}{x}}$

b) ${\tfrac {16}{64}}$ und ${\tfrac {x}{8}}$

c) ${\tfrac {35}{91}}$ und ${\tfrac {x}{13}}$

d) ${\tfrac {9}{x}}$ und ${\tfrac {999}{111}}$

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e) ${\tfrac {21}{28}}$ und ${\tfrac {11}{x}}$

f) ${\tfrac {x}{11}}$ und ${\tfrac {5}{121}}$

g) ${\tfrac {75}{125}}$ und ${\tfrac {3}{x}}$

h) ${\tfrac {34}{2}}$ und ${\tfrac {17}{x}}$

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i) ${\tfrac {x}{5}}$ und ${\tfrac {75}{125}}$

j) ${\tfrac {x}{12}}$ und ${\tfrac {100}{60}}$

k) ${\tfrac {x}{12}}$ und ${\tfrac {5}{132}}$

m) ${\tfrac {12}{x}}$ und ${\tfrac {132}{72}}$

BM1107

Stelle fest, ob die folgenden Paare von Brüchen jeweils in derselben Klasse liegen!

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a) ${\tfrac {7}{11}}$ und ${\tfrac {49}{77}}$

b) ${\tfrac {5}{3}}$ und ${\tfrac {50}{32}}$

c) ${\tfrac {3}{17}}$ und ${\tfrac {300}{170}}$

d) ${\tfrac {0}{7}}$ und ${\tfrac {10}{70}}$

---

e) ${\tfrac {22}{23}}$ und ${\tfrac {84}{92}}$

f) ${\tfrac {15}{16}}$ und ${\tfrac {80}{75}}$

g) ${\tfrac {16}{23}}$ und ${\tfrac {80}{115}}$

h) ${\tfrac {27}{31}}$ und ${\tfrac {62}{54}}$

---

i) ${\tfrac {0}{13}}$ und ${\tfrac {0}{30}}$

j) ${\tfrac {5}{8}}$ und ${\tfrac {30}{48}}$

k) ${\tfrac {21}{24}}$ und ${\tfrac {35}{40}}$

m) ${\tfrac {17}{21}}$ und ${\tfrac {34}{43}}$

BM1108

Welche der folgenden Brüche liegen jeweils in derselben Klasse?

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a) ${\tfrac {5}{4}}$; ${\tfrac {0}{2}}$; ${\tfrac {15}{12}}$; ${\tfrac {50}{45}}$; ${\tfrac {55}{44}}$

b) ${\tfrac {7}{1}}$; ${\tfrac {21}{3}}$; ${\tfrac {63}{8}}$; ${\tfrac {1}{7}}$; ${\tfrac {77}{1}}$

c) ${\tfrac {12}{15}}$; ${\tfrac {16}{25}}$; ${\tfrac {25}{20}}$; ${\tfrac {8}{30}}$; ${\tfrac {132}{165}}$

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e) ${\tfrac {3}{4}}$; ${\tfrac {1}{2}}$; ${\tfrac {12}{16}}$; ${\tfrac {12}{15}}$; ${\tfrac {36}{48}}$

f) ${\tfrac {5}{1}}$; ${\tfrac {20}{15}}$; ${\tfrac {40}{8}}$; ${\tfrac {55}{11}}$; ${\tfrac {0}{100}}$

g) ${\tfrac {9}{12}}$; ${\tfrac {18}{25}}$; ${\tfrac {3}{4}}$; ${\tfrac {12}{16}}$; ${\tfrac {99}{132}}$

BM1109

Dezimalbrüche

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Brüche, die die Zahl 10 oder eine Potenz 10ⁿ ($n\in \mathbb {N}$) als Nenner besitzen, nennen wir Zehnerbrüche. Diese Zehnerbrüche können wir auch als Dezimalbrüche schreiben, indem wir die Stellentafel des dekadischen Positionssystems nach rechts erweitern.

	103	102	101	1	${\frac {1}{10^{1}}}$	${\frac {1}{10^{2}}}$	${\frac {1}{10^{3}}}$
${\tfrac {5}{10}}$				0	5			0,5
${\tfrac {50}{100}}$				0	5	0		0,50
${\tfrac {136}{1000}}$				0	1	3	6	0,136
${\tfrac {12758}{100}}$		1	2	7	5	8		127,58

Wir können also solche gebrochenen Zahlen, die sich durch Zehnerbrüche angeben lassen, auch durch Dezimalbrüche angeben. Brüche mit gleichen Nennern heißen gleichnamig. Die Stellen eines Dezimalbruches hinter dem Komma heißen Dezimalstellen. Gleichnamige Dezimalbrüche haben die gleich Anzahl von Dezimalstellen.

BM1110

Stelle die folgenden Brüche als Dezimalbrüche dar!

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a) ${\tfrac {3}{10}}$

b) ${\tfrac {3}{100}}$

c) ${\tfrac {7}{10000}}$

d) ${\tfrac {5}{2}}$

---

e) ${\tfrac {3}{5}}$

f) ${\tfrac {12}{8}}$

g) ${\tfrac {32}{50}}$

h) ${\tfrac {7}{40}}$

---

i) ${\tfrac {21}{20}}$

j) ${\tfrac {7}{10}}$

k) ${\tfrac {7}{1000}}$

m) ${\tfrac {2}{1.000.000}}$

---

n) ${\tfrac {2}{5}}$

o) ${\tfrac {1}{2}}$

p) ${\tfrac {11}{25}}$

q) ${\tfrac {9}{40}}$

---

r) ${\tfrac {3}{20}}$

s) ${\tfrac {17}{200}}$

BM1111 - BM1120

BM1111

Stelle die folgenden Dezimalbrüche als gemeine Brüche dar, deren Zähler und Nenner zueinander teilerfremd sind!

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a) 0,25

b) 0,72

c) 0,111

d) 2,7

---

e) 15,5

f) 0,77

g) 0,002

h) 4,05

---

i) 2,75

j) 0,4

k) 0,75

m) 0,325

BM1112

Stelle die folgenden Dezimalbrüche als gemeine Brüche dar, deren Zähler und Nenner zueinander teilerfremd sind!

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a) 3,5

b) 8,4

c) 0,0024

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d) 0,015

e) 1,024

f) 0,0016

BM1113

Ordnung gebrochener Zahlen

Vergleich gebrochener Zahlen

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Wir haben die natürlichen Zahlen durch die Kleiner-als-Beziehung geordnet. Nun wollen wir auch die gebrochenen Zahlen ordnen und dadurch einen Vergleich zweier gebrochener Zahlen miteinander möglich machen.

Dabei richten wir uns nach der Darstellung der gebrochenen Zahlen am Zahlenstrahl. Wie bei den natürlichen Zahlen soll auch jetzt wieder von zwei verschiedenen Zahlen gebrochener Zahlen diejenige kleiner genannt werden, der der auf dem Zahlenstrahl weiter links liegende Punkt zugeordnet ist.

Wir sagen kürzer: Von zwei verschiedenen gebrochenen Zahlen soll diejenige die kleinere sein, die auf dem Zahlenstrahl links von der anderen liegt.

BM1114

Stelle an einem Zahlenstrahl die folgenden gebrochenen Zahlen dar!

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a) ${\tfrac {1}{3}}$

b) ${\tfrac {2}{3}}$

c) ${\tfrac {5}{3}}$

d) ${\tfrac {6}{3}}$

e) ${\tfrac {10}{3}}$

---

f) ${\tfrac {1}{4}}$

g) ${\tfrac {3}{4}}$

h) ${\tfrac {6}{4}}$

i) ${\tfrac {10}{4}}$

j) ${\tfrac {16}{4}}$

Lösung BM1114
a) ${\tfrac {1}{3}}$ = 0,333 b) ${\tfrac {2}{3}}$ = 0,666 c) ${\tfrac {5}{3}}$ = 1, 666 d) ${\tfrac {6}{3}}$ = 2 e) ${\tfrac {10}{3}}$ = 3,333 --- f) ${\tfrac {1}{4}}$ = 0,25 g) ${\tfrac {3}{4}}$ = 0,75 h) ${\tfrac {6}{4}}$ = 1,5 i) ${\tfrac {10}{4}}$ = 2,5 j) ${\tfrac {16}{4}}$ = 4

BM1115

Aus dem Verfahren zur Darstellung gebrochener Zahlen am Zahlenstrahl ergibt sich, dass von zwei durch gleichnamige Brüche angegebenen gebrochenen Zahlen nach unserer Festlegung diejenige kleiner ist, deren Bruch den kleineren Zähler hat.

Es gilt also:

a)

${\tfrac {1}{3}}$ < ${\tfrac {2}{3}}$

${\tfrac {2}{3}}$ < ${\tfrac {5}{3}}$

${\tfrac {5}{3}}$ < ${\tfrac {6}{3}}$

${\tfrac {6}{3}}$ < ${\tfrac {10}{3}}$

oder kürzer:

${\tfrac {1}{3}}$ < ${\tfrac {2}{3}}$ < ${\tfrac {5}{3}}$ < ${\tfrac {6}{3}}$ < ${\tfrac {10}{3}}$

---

b)

${\tfrac {1}{4}}$ < ${\tfrac {3}{4}}$

${\tfrac {3}{4}}$ < ${\tfrac {6}{4}}$

${\tfrac {6}{4}}$ < ${\tfrac {10}{4}}$

${\tfrac {10}{4}}$ < ${\tfrac {16}{4}}$

oder kürzer:

${\tfrac {1}{4}}$ < ${\tfrac {3}{4}}$ < ${\tfrac {6}{4}}$ < ${\tfrac {10}{4}}$ < ${\tfrac {16}{4}}$

BM1116

Für je zwei gebrochenen Zahlen ${\tfrac {a}{b}}$ und ${\tfrac {c}{d}}$ aus dem Beispielen der vorherigen Übung BM1115, für die

${\tfrac {a}{b}}$ < ${\tfrac {c}{b}}$ gilt,

gilt auch a * b < b * c

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a) ${\tfrac {2}{3}}$ < ${\tfrac {5}{3}}$ und 2 * 3 < 3 * 5

b) ${\tfrac {6}{4}}$ < ${\tfrac {10}{4}}$ und 6 * 4 < 4 * 10

---

Wir legen daher die Ordnung für gebrochene Zahlen ${\tfrac {a}{b}}$ und ${\tfrac {c}{b}}$, die durch Brüche mit beliebigen Nennern b ≠ 0 und d ≠ 0 angegeben sind, folgendermaßen fest:

Definition:

Wenn a * d < b * c, so soll gelten ${\tfrac {a}{b}}$ < ${\tfrac {c}{d}}$

Wenn a * d > b * c, so soll gelten ${\tfrac {a}{b}}$ > ${\tfrac {c}{d}}$

Wenn a * d = b * c, so soll gelten ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$

(Und für alle Klugschießer: Es soll dabei natürlich immer gelten, dass b ≠ 0 und d ≠ 0 ist.)

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a) ${\tfrac {5}{8}}$ < ${\tfrac {7}{8}}$, denn 5 * 8 < 8 * 7 (40<56)

b) ${\tfrac {7}{11}}$ < ${\tfrac {9}{13}}$, denn 7 * 13 < 11 * 9 (91<99)

c) ${\tfrac {5}{3}}$ > ${\tfrac {3}{5}}$, denn 5 * 5 > 3 * 3 (25>9)

d) ${\tfrac {17}{3}}$ = ${\tfrac {68}{12}}$, denn 17 * 12 = 3 * 68 (204=204)

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Durch die obige Definition haben wir den Vergleich gebrochener Zahlen also auf den Vergleich natürlicher Zahlen zurückgeführt.

Für zwei beliebige gebrochenen Zahlen ${\tfrac {a}{b}}$ und ${\tfrac {c}{d}}$ gilt immer nur einer der drei Fälle:

a) ${\tfrac {a}{b}}$ < ${\tfrac {c}{d}}$

oder b) ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{d}}$

oder c) ${\tfrac {a}{b}}$ > ${\tfrac {c}{d}}$

BM1117

Stelle fest, ob durch die folgenden Paare gemeiner Bruch und Dezimalbruch jeweils dieselbe gebrochene Zahl dargestellt wird!

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a) ${\tfrac {7}{25}}$ und 0,28

b) ${\tfrac {3}{40}}$ und 0,06

c) ${\tfrac {11}{5}}$ und 2,2

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d) ${\tfrac {13}{8}}$ und 1,625

e) ${\tfrac {1}{7}}$ und 0,7

f) ${\tfrac {3}{8}}$ und 0,375

BM1118

Stelle fest, ob durch die folgenden Paare gemeiner Bruch und Dezimalbruch jeweils dieselbe gebrochene Zahl dargestellt wird!

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a) ${\tfrac {8}{50}}$ und 0,16

b) ${\tfrac {7}{8}}$ und 0,875

c) ${\tfrac {6}{30}}$ und 0,25

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d) ${\tfrac {14}{35}}$ und 0,4

e) ${\tfrac {5}{2}}$ und 2,5

f) ${\tfrac {1}{6}}$ und 1,6

BM1119

Hauptnenner

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Wir können gebrochenen Zahlen erst dann addieren oder voneinander subtrahieren, wenn sie durch gleichnamige Brüche angegeben sind.

Es ist immer möglich, gegebene gebrochenen Zahln durch gleichnamige Brüche anzugeben.

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Bild 1

Bild 2

Beispiel:

${\tfrac {2}{3}}$ und ${\tfrac {5}{4}}$ sollen durch gleichnamige Brüche angegeben werden.

Die gegebenen Klassen in Bild 1 und 2 enthalten auch Brüche, die jeweils die gliechen Nenner haben.

Zu den Brüchen ${\tfrac {8}{12}}$ und ${\tfrac {15}{12}}$ gehen wir dadurch über, dass wir ${\tfrac {2}{3}}$ mit 4 und ${\tfrac {5}{4}}$ mit 3 erweitern.

Darüber hinaus gibt es beliebig viele weitere Brüche aus diesen Klassen mit gleichnamigen Nennern,

z. B.:

${\tfrac {16}{24}}$ und ${\tfrac {30}{24}}$;

${\tfrac {24}{36}}$ und ${\tfrac {45}{36}}$;

${\tfrac {32}{48}}$ und ${\tfrac {60}{48}}$.

Unter diesen Nennern gibt es jeweils einen kleinsten. Das ist das k.g.V. der Nenner der gegebenen Brüche.

BM1120

Hauptnenner

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Definition: Das k.g.V. der Nenner gegebener Brüche heißt der Hauptnenner dieser Brüche.

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Die folgenden drei Beispiele veranschaulichen diesen Sachverhalt für drei gegebenen Brüche.

a)

${\tfrac {3}{4}}$ = ${\tfrac {6}{8}}$ = ${\tfrac {9}{12}}$ = ${\tfrac {12}{16}}$ = ${\tfrac {15}{20}}$ = ${\tfrac {18}{24}}$ !!! = ${\tfrac {21}{28}}$ = ${\tfrac {24}{32}}$ = ${\tfrac {27}{36}}$ = ${\tfrac {30}{40}}$ = ${\tfrac {33}{44}}$ = ${\tfrac {36}{48}}$ !

b)

${\tfrac {1}{6}}$ = ${\tfrac {2}{12}}$ = ${\tfrac {3}{18}}$ = ${\tfrac {4}{24}}$ !!! = ${\tfrac {5}{30}}$ = ${\tfrac {6}{36}}$ = ${\tfrac {7}{42}}$ = ${\tfrac {8}{48}}$ ! = ${\tfrac {9}{54}}$ = ${\tfrac {10}{60}}$ = ${\tfrac {11}{66}}$ = ${\tfrac {12}{72}}$

c)

${\tfrac {7}{8}}$ = ${\tfrac {14}{16}}$ = ${\tfrac {21}{24}}$ !!! = ${\tfrac {28}{32}}$ = ${\tfrac {35}{40}}$ = ${\tfrac {42}{48}}$ ! = ${\tfrac {49}{56}}$ = ${\tfrac {56}{64}}$ = ${\tfrac {63}{72}}$ = ${\tfrac {70}{80}}$ = ${\tfrac {77}{88}}$ = ${\tfrac {84}{96}}$

BM1121 - BM1130

BM1121

Will man die Brüche gleichnamig machen, so ist es meist zweckmäßig, sie auf den Hauptnenner, d. h. auf den kleinsten gemeinsamen Nenner, zu bringen.

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Beispiel.

Die Brüche

a) ${\tfrac {7}{20}}$,

b) ${\tfrac {25}{24}}$ und

c) ${\tfrac {11}{60}}$ sollen gleichnamig gemacht werden.

Dazu wird der Hauptnenner ermittelt:

a) 20 = 2 * 2 * 5 = 2² * 5

b) 24 = 2 * 2 * 2 * 3 = 2³ * 3

c) 60 = 2 * 2 * 3 * 5 = 2² * 3 * 5

Hauptnenner: 2³ * 3 * 5 = 120

---

Nachdem wir den Hauptnenner haben müssen wir die Erweiterungsfaktoren bestimmen:

a) 120 : 20 = 6 ⇒ ${\tfrac {7}{20}}$ = ${\tfrac {7*6}{20*6}}$ = ${\tfrac {42}{120}}$

b) 120 : 24 = 5 ⇒ ${\tfrac {25}{24}}$ = ${\tfrac {25*5}{24*5}}$ = ${\tfrac {125}{120}}$

c) 120 : 60 = 2 ⇒ ${\tfrac {11}{60}}$ = ${\tfrac {11*2}{60*2}}$ = ${\tfrac {22}{120}}$

BM1122

Mache die folgenden Brüche gleichnamig!

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a) ${\tfrac {3}{5}}$ und ${\tfrac {3}{4}}$

b) ${\tfrac {8}{11}}$ und ${\tfrac {55}{77}}$

c) ${\tfrac {7}{16}}$ und ${\tfrac {3}{64}}$

d) ${\tfrac {5}{12}}$ und ${\tfrac {3}{8}}$

---

e) ${\tfrac {2}{3}}$ und ${\tfrac {6}{7}}$

f) ${\tfrac {2}{9}}$ und ${\tfrac {8}{36}}$

g) ${\tfrac {5}{12}}$ und ${\tfrac {7}{60}}$

h) ${\tfrac {1}{3}}$ und ${\tfrac {3}{1}}$

BM1123

Mach die folgenden Brüche gleichnamig!

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a) ${\tfrac {15}{36}}$ und ${\tfrac {11}{24}}$

b) ${\tfrac {1}{7}}$ und ${\tfrac {7}{1}}$

c) ${\tfrac {11}{12}}$ und ${\tfrac {12}{13}}$

d) ${\tfrac {0}{5}}$ und ${\tfrac {3}{35}}$

---

e) ${\tfrac {3}{24}}$ und ${\tfrac {2}{16}}$

f) ${\tfrac {3}{4}}$ und ${\tfrac {4}{3}}$

g) ${\tfrac {14}{15}}$ und ${\tfrac {15}{14}}$

h) ${\tfrac {0}{6}}$ und ${\tfrac {7}{45}}$

BM1124

Mache die folgenden Brüche gleichnamig!

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a) ${\tfrac {2}{3}}$ , ${\tfrac {3}{4}}$ und ${\tfrac {4}{5}}$

b) ${\tfrac {1}{5}}$ , ${\tfrac {3}{15}}$ , ${\tfrac {7}{35}}$ und ${\tfrac {10}{50}}$

c) ${\tfrac {1}{2}}$ , ${\tfrac {2}{3}}$ und ${\tfrac {3}{4}}$

d) ${\tfrac {3}{10}}$ , ${\tfrac {4}{100}}$ , ${\tfrac {5}{1000}}$ und ${\tfrac {6}{10000}}$

BM1125

Mach die folgenden Brüche gleichnamig!

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a) ${\tfrac {7}{15}}$ , ${\tfrac {11}{60}}$ , ${\tfrac {13}{45}}$ und ${\tfrac {9}{50}}$

b) ${\tfrac {2}{7}}$ , ${\tfrac {1}{5}}$ , ${\tfrac {7}{20}}$ , ${\tfrac {6}{35}}$ und ${\tfrac {1}{14}}$

c) ${\tfrac {5}{12}}$ , ${\tfrac {7}{36}}$ , ${\tfrac {5}{48}}$ und ${\tfrac {11}{120}}$

d) ${\tfrac {27}{26}}$ , ${\tfrac {11}{65}}$ , ${\tfrac {5}{52}}$ , ${\tfrac {17}{130}}$ und ${\tfrac {5}{13}}$

BM1126

Mache die folgenden Brüche gleichnamig!

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a) 0,8 und 0,75

b) 0,215 und 0,3

c) 5,4; 1,82; 0,0007 und 3,0

d) 0,12 und 0,2

---

e) 0,6 und 0,64

f) 0,15 und 0,5

g) 0,4 und 0,444

h) 8,2; 15,25; 0,0007 und 4,7

BM1127

Hauptnenner

---

Beim Rechnen mit Brüchen in der Arithmetik, einem Teilgebiet der Mathematik, versteht man unter dem Hauptnenner oder Generalnenner mehrerer Brüche das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner dieser Brüche.

Sollen Brüche miteinander verglichen oder addiert werden, so werden sie dazu zunächst durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner gebracht. Als gemeinsamen Nenner kann man immer den Hauptnenner verwenden, dies erlaubt in vielen praktischen Fällen auch die einfachste Rechnung.

---

Beispiele:

1.) Vergleich:

Eine Möglichkeit zwei Brüche zu vergleichen, die weder Zähler noch Nenner gemeinsam haben, besteht darin, sie so zu erweitern, dass sie in Zähler oder Nenner übereinstimmen. Meistens bringt man sie dabei auf den gleichen Nenner, praktischerweise den Hauptnenner.

Um beispielsweise festzustellen, ob ${\frac {5}{8}}$ größer oder kleiner als ${\frac {11}{18}}$ ist, kann man beide Brüche auf den Hauptnenner $\operatorname {kgV} (8,18)=72$ bringen und sieht dann:

${\frac {5}{8}}={\frac {45}{72}}>{\frac {44}{72}}={\frac {11}{18}}$

---

2.) Addition und Subtraktion

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren oder subtrahieren zu können, muss man zuerst alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erweitern. Dabei wird in der Regel der Hauptnenner bevorzugt, z.B.

${5 \over 6}+{3 \over 4}+{4 \over 5}={50 \over 60}+{45 \over 60}+{48 \over 60}={143 \over 60}$

$60$ ist das kleinste gemeinsame Vielfache von $6$, $4$ und $5$ und somit der Hauptnenner der drei zu addierenden Brüche.

BM1128

Brüche erweitern (mit n erweitern):

${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {a*n}{b*n}}$

---

Brüche kürzen (den gemeinsamen Faktor r kürzen):)

${\tfrac {c}{d}}$ = ${\tfrac {a*r}{b*r}}$ = ${\tfrac {a}{b}}$

---

Addition von gleichnamigen Brüchen (gemeinsamer Nenner n):

${\tfrac {a}{n}}$ + ${\tfrac {n}{n}}$ = ${\tfrac {a+b}{n}}$

---

Subtraktion von gleichnamigen Brüchen:

${\tfrac {a}{n}}$ - ${\tfrac {n}{n}}$ = ${\tfrac {a-b}{n}}$

---

Addition von ungleichnamigen Brüchen (gleichnamig machen durch Multiplikation der beiden Nenner

${\tfrac {a}{m}}$ + ${\tfrac {b}{n}}$ = ${\tfrac {a*n}{m*n}}$ + ${\tfrac {b*m}{n*m}}$ = ${\tfrac {a*n+b*m}{m*n}}$

Der erste Bruch (erster Summand) wird mit dem Nenner des zweiten Bruchs (zweiter Summand) erweitert.

Der zweite Bruch (zweiter Summand) wird mit dem Nenner des ersten Bruchs (erster Summand) erweitert.

So werden beide Brüche gleichnamig gemacht. Der gemeinsame Nenner ist also das Produkt beider Nenner. Das ist natürlich nicht immer der kleinste gemeinsame Nenner. Aber die Brüche sind trotzdem dadurch gleichnamig geworden und lassen sich folglich addieren. Man kann die Brüche ja hinterher noch kürzen.

Die Zähler werden natürlich auch über Kreuz erweitert.

${\tfrac {a}{m}}$ + ${\tfrac {b}{n}}$ = ${\tfrac {a*n}{m*n}}$ + ${\tfrac {b*m}{n*m}}$ = ${\tfrac {a*n+b*m}{m*n}}$

BM1129

Multiplikation von Brüchen (z steht für Zähler; n steht für Nenner):

a * ${\tfrac {z}{n}}$ = ${\tfrac {a*z}{n}}$

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Multiplikation von Brüchen:

${\tfrac {a}{b}}$ * ${\tfrac {z}{n}}$ = ${\tfrac {a*z}{b*n}}$

BM1130

Gebrochene und natürliche Zahlen

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Wir können uns beim Vergleichen gebrochener Zahlen auf das Vergleichen der Zähler dieser Brüche beschränken.

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Wir können uns beim Vergleichen gebrochener Zahlen, die durch gleichnamige Brüche dargestellt sind, auf das Vergleichen der Zähler dieser Brüche beschränken.

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Bild 1

Wie wir wissen, können wir uns beim Vergleichen gebrochener Zahlen, die durch gleichnamige Brüche dargestellt sind, auf das Vergleichen der Zähler dieser Brüche beschränken.

Wir können daher beim Vergleichen gebrochener Zahlen auch wie im folgenden Beispiel vorgehen:

Es sollen ${\tfrac {5}{7}}$ und ${\tfrac {11}{14}}$ miteinander verglichen werden.

Wir gehen in der Klasse des ersten Bruches zu dem Bruch mit dem Nenner 14 über (Bild 1).

Nun vergleichen wir ${\tfrac {10}{14}}$ und ${\tfrac {11}{14}}$ miteinander und stellen fest:

${\tfrac {10}{14}}$ < ${\tfrac {11}{14}}$

BM1131 - BM1140

BM1131

Bild 1

Wir wollen nun diejenigen gebrochenen Zahlen betrachten, die durch Brüche mit dem Nenner „1“ darstellbar sind. Dazu vergleichen wir einen Zahlenstrahl, auf dem die natürlichen Zahlen veranschaulicht sind, mit einem Zahlenstrahl der die gebrochenen Zahlen veranschaulicht.

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Jede gebrochene Zahl, die sich durch einen Bruch mit dem Nenner „1“ angeben lässt, entspricht eine natürliche Zahl und umgekehrt. Dabei ist der gebrochenen Zahl ${\tfrac {a}{1}}$ die natürliche Zahl a zugeordnet. Diese gebrochenen Zahlen verhalten sich beim Vergleichen wie die ihnen zugeordnenten natürlichen Zahlen. (Bild 1)

gebrochene Zahlen	natürliche Zahlen
${\tfrac {0}{1}}$ < ${\tfrac {5}{1}}$	0 < 5
${\tfrac {2}{1}}$ < ${\tfrac {3}{1}}$	2 < 3
${\tfrac {4}{1}}$ < ${\tfrac {8}{1}}$	4 < 8
${\tfrac {6}{1}}$ > ${\tfrac {0}{1}}$	6 > 0
${\tfrac {7}{1}}$ > ${\tfrac {5}{1}}$	7 > 5

Wenn wir gebrochene Zahlen miteinander vergleichen, können wir deshalg von jetzt an z. B.

4 statt ${\tfrac {4}{1}}$;

2 < ${\tfrac {5}{2}}$ statt ${\tfrac {2}{1}}$ < ${\tfrac {5}{2}}$ oder

0 < ${\tfrac {1}{100}}$ statt ${\tfrac {0}{1}}$ < ${\tfrac {1}{100}}$

schreiben.

BM1132

Satz: Beim Vergleichen verhalten sich gebrochene Zahlen, sie sich durch Brüche mit dem Nenner „1“ angeben lassen, wie die ihnen zugeordneten natürlichen Zahlen.

Folglich können die natürlichen Zahlen und die ihnen zugeordneren gebrochenen Zahlen beim Vergleich gegenseitig ersetzt werden.

BM1133

echte Brüche

unechte Brüche

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Gebrochene Zahlen, die sich durch echte Brüche angeben lassen, heißen echt gebrochenen Zahlen.

Gebrochene Zahlen, die sich sich durch unechte Brüche angeben lassen, heißen unecht gebrochene Zahlen.

Alle echt gebrochenen Zahlen sind kleiner als alle unecht gebrochenen Zahlen, denn die echt gebrochenen Zahlen sind kleiner als 1, und die unecht gebrochenen Zahlen sind größer als 1 oder gleich 1.

BM1134

Gebrochenen Zahlen in Dezimaldarstellung vergleichen wir, indem wir die Dezimalbrüche gleichnamig machen und dann diese ohne Berücksichtigung des Kommas wie natürliche Zahlen vergleichen.

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Beispiel:

Es sind zu vergleichen:

a)

12,4 und 13,38

gleichnamig machen:

12,40 und 13,38

Es gilt: 12,40 < 13,38; d.h.

${\tfrac {1240}{100}}$ < ${\tfrac {1338}{100}}$

denn 1240 < 1338;

also 12,4 < 13,38

---

Es sind zu vergleichen:

b)

7,08 und 7,3

gleichnamig machen:

7,08 und 7,30

Es gilt: 7,08 < 7,30, d.h.

${\tfrac {708}{100}}$ < ${\tfrac {730}{100}}$

denn 708 < 730

also 7,08 < 7,3

BM1135

Vergleiche die folgenden Paare gebrochener Zahlen!

Begründe die Ergebnisse!

---

a) ${\tfrac {3}{5}}$ und ${\tfrac {4}{5}}$

b) ${\tfrac {9}{12}}$ und ${\tfrac {7}{12}}$

c) ${\tfrac {1}{2}}$ und ${\tfrac {1}{3}}$

---

d) ${\tfrac {1}{15}}$ und ${\tfrac {0}{12}}$

e) ${\tfrac {2}{3}}$ und ${\tfrac {3}{4}}$

f) ${\tfrac {1}{2}}$ und ${\tfrac {3}{7}}$

BM1136

Vergleiche die folgenden Paare gebrochener Zahlen!

Begründe die Ergebnisse!

---

a) ${\tfrac {2}{3}}$ und ${\tfrac {1}{3}}$

b) ${\tfrac {11}{15}}$ und ${\tfrac {13}{15}}$

c) ${\tfrac {1}{5}}$ und ${\tfrac {1}{4}}$

---

d) ${\tfrac {1}{8}}$ und ${\tfrac {1}{10}}$

e) ${\tfrac {0}{6}}$ und ${\tfrac {0}{7}}$

f) ${\tfrac {4}{5}}$ und ${\tfrac {5}{6}}$

BM1137

Vergleiche die folgenden Paare gebrochener Zahlen!

Begründe die Ergebnisse!

---

a) ${\tfrac {7}{10}}$ und ${\tfrac {2}{9}}$

b) ${\tfrac {5}{12}}$ und ${\tfrac {3}{8}}$

c) ${\tfrac {7}{20}}$ und ${\tfrac {11}{30}}$

d) ${\tfrac {0}{18}}$ und ${\tfrac {0}{24}}$

---

e) ${\tfrac {7}{15}}$ und ${\tfrac {3}{4}}$

f) ${\tfrac {13}{15}}$ und ${\tfrac {7}{10}}$

g) ${\tfrac {8}{30}}$ und ${\tfrac {0}{20}}$

h) ${\tfrac {15}{36}}$ und ${\tfrac {11}{24}}$

BM1138

Stelle fest, welche der folgenden gebrochenen Zahlen kleiner als ${\tfrac {1}{1}}$ und welche größer als ${\tfrac {1}{1}}$ oder gleich ${\tfrac {1}{1}}$ sind!

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a) ${\tfrac {5}{8}}$

b) ${\tfrac {3}{4}}$

c) ${\tfrac {5}{2}}$

d) ${\tfrac {6}{6}}$

e) ${\tfrac {10}{9}}$

---

f) ${\tfrac {8}{3}}$

g) ${\tfrac {1}{5}}$

h) ${\tfrac {9}{9}}$

i) ${\tfrac {11}{4}}$

j) ${\tfrac {3}{2}}$

BM1139

Vergleiche die folgenden Paare gebrochener Zahlen miteinander!

---

a) 0,38 und 0,37

b) 0,4 und 0,05

c) 0,045 und 0,4

d) 0,00485 und 0,0005

---

e) 0,71 und 0,72

f) 0,07 und 0,6

g) 0,125 und 0,215

h) 0,0007 und 0,69

BM1140

Vergleiche folgende gebrochener Zahlen miteinander, indem du jeweils den Dezimalbruch in einen gemeinsamen Bruch verwandelst!

---

a) ${\tfrac {7}{30}}$ und 0,25

b) 0,6 und ${\tfrac {4}{5}}$

c) 0,95 und ${\tfrac {4}{5}}$

---

d) 2,55 und ${\tfrac {11}{4}}$

e) ${\tfrac {3}{11}}$ und 0,255

f) 0,99 und ${\tfrac {136}{137}}$

BM1141 - BM1150

BM1141

Vergleiche folgende gebrochener Zahlen miteinander, indem du jeweils den Dezimalbruch in einen gemeinsamen Bruch verwandelst!

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a) ${\tfrac {9}{10}}$ und 0,91

b) ${\tfrac {4}{8}}$ und 0,375

c) ${\tfrac {1}{5}}$ und 0,125

---

d) ${\tfrac {7}{9}}$ und 0,77

e) 0,66 und ${\tfrac {12}{19}}$

f) 0,98 und ${\tfrac {72}{75}}$

BM1142

Vergleiche folgende gebrochener Zahlen miteinander, indem du jeweils den Dezimalbruch in einen gemeinsamen Bruch verwandelst!

---

a) ${\tfrac {7}{8}}$ und 0,9

b) ${\tfrac {3}{2}}$ und 1,49

c) ${\tfrac {9}{16}}$ und 0,58

d) 0,237 und ${\tfrac {19}{80}}$

---

e) ${\tfrac {3}{4}}$ und 0,76

f) ${\tfrac {11}{20}}$ und 0,54

g) 1,007 und ${\tfrac {17}{16}}$

h) 0,48 und ${\tfrac {12}{25}}$

BM1143

Ordne die folgenden Zahlen nach der Größe! Beginne jeweils mit der kleinsten Zahl!

---

a) ${\tfrac {27}{37}}$, ${\tfrac {16}{37}}$, ${\tfrac {14}{37}}$, ${\tfrac {25}{37}}$, ${\tfrac {6}{37}}$

b) ${\tfrac {5}{13}}$, ${\tfrac {5}{14}}$, ${\tfrac {5}{7}}$, ${\tfrac {5}{11}}$, ${\tfrac {5}{23}}$

c) ${\tfrac {1}{8}}$, ${\tfrac {3}{7}}$, ${\tfrac {5}{4}}$, ${\tfrac {0}{8}}$, ${\tfrac {5}{7}}$, ${\tfrac {5}{5}}$

---

d) ${\tfrac {11}{5}}$, ${\tfrac {11}{7}}$, ${\tfrac {11}{31}}$, ${\tfrac {11}{22}}$, ${\tfrac {11}{11}}$

e) ${\tfrac {1}{12}}$, ${\tfrac {7}{12}}$, ${\tfrac {11}{9}}$, ${\tfrac {7}{10}}$, ${\tfrac {8}{12}}$, ${\tfrac {8}{9}}$, ${\tfrac {12}{1}}$

BM1144

Ordne die folgenden Zahlen nach der Größe! Beginne jeweils mit der kleinsten Zahl!

---

a) ${\tfrac {5}{}}24$, ${\tfrac {7}{18}}$, ${\tfrac {5}{12}}$, ${\tfrac {17}{16}}$, ${\tfrac {7}{6}}$

b) ${\tfrac {5}{3}}$, ${\tfrac {4}{11}}$, ${\tfrac {7}{5}}$, ${\tfrac {13}{7}}$, ${\tfrac {9}{2}}$

c) ${\tfrac {3}{1}}$, ${\tfrac {5}{6}}$, ${\tfrac {0}{30}}$, ${\tfrac {98}{100}}$, ${\tfrac {42}{150}}$

---

d) ${\tfrac {7}{15}}$, ${\tfrac {11}{12}}$, ${\tfrac {8}{5}}$, ${\tfrac {23}{25}}$, ${\tfrac {2}{3}}$, ${\tfrac {101}{100}}$

e) ${\tfrac {11}{8}}$, ${\tfrac {2}{5}}$, ${\tfrac {19}{3}}$, ${\tfrac {41}{7}}$, ${\tfrac {15}{1}}$

f) ${\tfrac {1}{5}}$, ${\tfrac {5}{50}}$, ${\tfrac {1}{3}}$, ${\tfrac {0}{75}}$, ${\tfrac {1}{15}}$

BM1145

Ordne die folgenden Zahlen nach der Größe! Beginne jeweils mit der kleinsten Zahl!

---

a) 0,284; 0,079; 0,987; 0,015

b) 0,021; 0,54; 0,054; 0,21

c) 0,0007; 0,7; 0,007; 0,07

---

d) 0,045; 0,054; 0,0082; 0,00037

e) 0,004; 0,040; 0,400; 0,0004

f) 0,528; 0,285; 0,0825; 0,00852

BM1146

Ordne die folgenden Zahlen nach der Größe! Beginne jeweils mit der kleinsten Zahl!

---

a) ${\tfrac {14}{43}}$, ${\tfrac {13}{43}}$, ${\tfrac {41}{43}}$, ${\tfrac {31}{43}}$, ${\tfrac {25}{43}}$

b) ${\tfrac {1}{5}}$, ${\tfrac {2}{4}}$, ${\tfrac {3}{3}}$, ${\tfrac {4}{2}}$, ${\tfrac {5}{1}}$

c) ${\tfrac {97}{136}}$, ${\tfrac {41}{68}}$, ${\tfrac {11}{17}}$, ${\tfrac {59}{85}}$, ${\tfrac {21}{34}}$

---

d) ${\tfrac {7}{5}}$, ${\tfrac {7}{3}}$, ${\tfrac {7}{8}}$, ${\tfrac {7}{21}}$, ${\tfrac {7}{17}}$

e) ${\tfrac {6}{2}}$, ${\tfrac {5}{3}}$, ${\tfrac {4}{4}}$, ${\tfrac {3}{5}}$, ${\tfrac {2}{6}}$

BM1147

Ordne die folgenden Zahlen nach der Größe! Beginne jeweils mit der kleinsten Zahl!

---

a) 0,278; 0,0785; 0,00875; 0,782

b) 2,81; 8,21; 21,8; 12,8; 18,2

---

c) 0,0481; 0,00184; 0,0841; 0,0814

d) 3,41; 34,1; 4,31; 13,4

BM1148

Gib jeweils fünf gebrochene Zahlen an, die zwischen den folgenden Zahlen liegen!

Gibt es jeweils noch weitere solche Zahlen?

---

a) ${\tfrac {2}{7}}$ und ${\tfrac {3}{7}}$

b) ${\tfrac {1}{5}}$ und ${\tfrac {2}{5}}$

c) ${\tfrac {11}{13}}$ und ${\tfrac {12}{13}}$

---

d) ${\tfrac {8}{11}}$ und ${\tfrac {11}{8}}$

e) 0,42 und 0,43

f) 0,7 und 0,9

BM1149

Gib jeweils fünf gebrochene Zahlen an, die zwischen den folgenden Zahlen liegen!

Gibt es jeweils noch weitere solche Zahlen?

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a) ${\tfrac {3}{8}}$ und ${\tfrac {4}{8}}$

b) ${\tfrac {1}{4}}$ und ${\tfrac {3}{4}}$

c) ${\tfrac {5}{9}}$ und ${\tfrac {6}{9}}$

---

d) ${\tfrac {11}{13}}$ und ${\tfrac {13}{11}}$

e) 0,38 und 0,83

f) 0,11 und 0,12

BM1150

Für welche x ($x\in \mathbb {N}$) gelten folgende Ungleichungen?

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a) ${\tfrac {3}{5}}$ < ${\tfrac {x}{5}}$ < ${\tfrac {8}{5}}$

b) ${\tfrac {3}{8}}$ < ${\tfrac {x}{8}}$ < ${\tfrac {3}{2}}$

c) ${\tfrac {4}{7}}$ < ${\tfrac {x}{3}}$ < ${\tfrac {5}{8}}$

d) ${\tfrac {3}{5}}$ < ${\tfrac {4}{x}}$ < ${\tfrac {5}{3}}$ (x ≠ 0)

---

e) ${\tfrac {2}{9}}$ < ${\tfrac {x}{9}}$ < ${\tfrac {7}{9}}$

f) ${\tfrac {5}{6}}$ < ${\tfrac {x}{6}}$ < ${\tfrac {5}{3}}$

g) ${\tfrac {9}{11}}$ < ${\tfrac {x}{2}}$ < ${\tfrac {8}{9}}$

h) ${\tfrac {4}{7}}$ < ${\tfrac {5}{x}}$ < ${\tfrac {3}{4}}$ (x ≠ 0)

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