Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 071b

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Lección 071

Mathematik auf Deutsch - 21

BM1001 - BM1010

BM1001

Primzahlen

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Schon im antiken Griechenland interessierte man sich für die Primzahlen und entdeckte einige ihrer Eigenschaften. Obwohl Primzahlen seit damals stets einen großen Reiz auf die Menschen ausübten, sind viele die Primzahlen betreffenden Fragen bis heute ungeklärt, darunter solche, die mehr als hundert Jahre alt und leicht verständlich formulierbar sind. Dazu gehören die Goldbachsche Vermutung, wonach außer 2 jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, und die Vermutung, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt (das sind Paare von Primzahlen, deren Differenz gleich 2 ist).

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Über 2000 Jahre lang konnte man keinen praktischen Nutzen aus dem Wissen über die Primzahlen ziehen. Dies änderte sich erst mit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen, bei denen die Primzahlen beispielsweise in der Kryptographie eine zentrale Rolle spielen.

BM1002

Goldbachsche Vermutung

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Die Goldbachsche Vermutung, benannt nach dem Mathematiker Christian Goldbach, ist eine unbewiesene Aussage aus dem Bereich der Zahlentheorie.

Die Goldbachsche Vermutung gehört zu den bekanntesten ungelösten Problemen der Mathematik.

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starke Goldbachsche Vermutung

Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen.

Beispiele:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 5 + 3

9 = 2 + 7

10 = 3 + 7 = 5 + 5

12 = 5 + 7

14 = 3 + 11 = 7 + 7

16 = 3 + 13 = 5 + 11

18 = 5 + 13 = 7 + 11

20 = 3 + 17 = 7 + 13

22 = 3 + 19

24 = 3 + 21

26 = 3 + 23

28 = 5 + 23

30 = 3 + 27

36 = 31 + 5

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Die Goldbachsche Vermutung ist bis heute nicht bewiesen und auch nicht widerlegt.

Mit Hilfe von Computern wurde gezeigt, dass die Goldbachsche Vermutung für alle Zahlen bis 4·10¹⁸ gültig ist.

Ein Beweis dafür, dass sie für jede beliebig große gerade Zahl gilt, ist dies natürlich nicht.

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Nachdem der britische Verlag Faber & Faber im Jahr 2000 ein Preisgeld von einer Million Dollar auf den Beweis der Vermutung ausgelobt hatte, wuchs auch das öffentliche Interesse an dieser Frage. Das Preisgeld wurde nicht ausgezahlt, da bis April 2002 kein Beweis eingegangen war.

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schwache Goldbachsche Vermutung

Jede ungerade Zahl größer als 5 ist Summe dreier Primzahlen.

Beispiele:

7 = 2 + 2 + 3

9 = 2 + 2 + 5

11 = 2 + 2 + 7

13 = 3 + 5 + 5

15 = 2 + 2 + 11

17 = 2 + 2 + 13

19 = 3 + 3 + 13

21 = 2 + 2 + 17

23 = 2 + 2 + 19

25 = 3 + 3 + 19

27 = 2 + 2 + 23

29 = 3 + 3 + 23

35 = 19 + 13 + 3 = 17 + 13 + 5 = 17 + 11 + 7

BM1003

Anzahl der Primzahl-Zwillingspaare kleiner gleich n

Primzahlzwilling

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Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus zwei Primzahlen, deren Abstand 2 ist. Die kleinsten Primzahlzwillinge sind (3, 5), (5, 7) und (11, 13).

Primzahlzwilling nennt man jedes Paar $(p_{1},\,p_{2})$ aus zwei Primzahlen $p_{1}$ und $p_{2}$ mit der Differenz $p_{2}-p_{1}=2$.

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Mit Ausnahme des Primzahlzwillings $(3,5)$ liegt zwischen den beiden Primzahlen eines Primzahlzwillings immer eine durch 6 teilbare Zahl.

n (6n-1) (6n+1) 1 5 7 2 11 13 3 17 19 5 29 31 7 41 43 10 59 61 12 71 73 17 101 103 18 107 109 23 137 139 25 149 151 30 179 181

n (6n-1) (6n+1) 32 191 193 33 197 199 38 227 229 40 239 241 45 269 271 47 281 283 52 311 313 58 347 349 70 419 421 72 431 433 77 461 463 87 521 523

n (6n-1) (6n+1) 95 569 571 100 599 601 103 617 619 107 641 643 110 659 661 135 809 811 137 821 823 138 827 829 143 857 859 147 881 883 170 1019 1021 172 1031 1033

n (6n-1) (6n+1) 175 1049 1051 177 1061 1063 182 1091 1093 192 1151 1153 205 1229 1231 213 1277 1279 215 1289 1291 217 1301 1303 220 1319 1321 238 1427 1429 242 1451 1453 247 1481 1483

n (6n-1) (6n+1) 248 1487 1489 268 1607 1609 270 1619 1621 278 1667 1669 283 1697 1699 287 1721 1723 298 1787 1789 312 1871 1873 313 1877 1879 322 1931 1933 325 1949 1951 333 1997 1999

Das kleinste Paar von Primzahlzwillingen ist (3, 5); die Primzahlen 2 und 3 mit dem Abstand 1 sind gemäß Definition kein Paar von Primzahlzwillingen.

Je größere Zahlen man betrachtet, desto weniger Primzahlen findet man dort. Obwohl unendlich viele Primzahlen existieren, ist es ungewiss, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Die Primzahlzwillings-Vermutung besagt, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Sie ist eine der großen offenen Fragen der Zahlentheorie.

BM1004

Primfaktorzerlegung

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Jede positive ganze Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen, und diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Primzahlen eindeutig. Diese Primzahlen nennt man die Primfaktoren der Zahl. Man kennt bisher keine Methode, um die Primfaktorzerlegung einer beliebigen gegebenen Zahl effizient zu bestimmen.

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Beispiel:

(26 = 2 * 12 = 2 * 2 * 6 = 2 * 2 * 2 * 3)

26 = 2 * 2 * 2 * 3

7 = 1 * 7

(60 = 2 * 30 = 2 * 2 * 15 = 2 * 2 * 3 * 5)

60 = 2 * 2 * 3 * 5

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Aufgrund dieses Satzes, also dass sich jede natürliche Zahl größer 0 durch Multiplikation von Primzahlen eindeutig darstellen lässt, nehmen die Primzahlen eine besondere atomare Stellung in der Mathematik ein.

Mit Ausnahme der Zahl 2 sind alle Primzahlen p ungerade.

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Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung einer natürlichen Zahl n {\displaystyle n} n als Produkt aus Primzahlen, die dann als Primfaktoren von n bezeichnet werden. Diese Darstellung ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig und zählt zu den grundlegenden und klassischen Werkzeugen der Zahlentheorie.

Da die Multiplikation kommutativ und assoziativ ist, ist die Reihenfolge der Primfaktoren aus Sicht der Zahlentheorie unwichtig.

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Beispiele für Primfaktorzerlegungen:

$30=2\cdot 3\cdot 5$

$37=37\$ (Primzahl)

$1001=7\cdot 11\cdot 13$

$1024=\underbrace {2\cdots 2} _{\text{10-mal}}=2^{10}$ (Zweierpotenz)

$6936=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 17\cdot 17$, mit der kanonischen Darstellung $2^{3}\cdot 3\cdot 17^{2}$

$10000=2^{4}\cdot 5^{4}$ (Zehnerpotenz)

BM1005

Praktische Anwendung der Primfaktorzerlegung

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Aus der Primfaktorenzerlegung lässt sich erkennen, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) und der größte gemeinsame Teiler (ggT) können leicht aus der Primfaktorzerlegung bestimmt werden. In der Bruchrechnung können Brüche durch den ggT von Zähler und Nenner gekürzt werden. Beim Addieren und Subtrahieren werden zwei Brüche auf das kgV der Nenner erweitert.

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Faktorisierungsverfahren:

In der Praxis wird man, um eine Zahl zu faktorisieren, wie folgt vorgehen:

• Durch Probedivision kleine Faktoren finden/entfernen.

Beispiel:

4557 in Primfaktoren zerlegen

Probedivision durch 3

4557 : 3 = 1519

4557 = 3 * 1519

Gut ist es, wenn man jetzt noch die Teilbarkeitsregeln kennt.

Probedivision durch 3

1519 : 3 = 506,3333 (geht also nicht)

Probedivision durch 5 können wir uns schenken.

Probedivision durch 7

1519 : 7 = 217 (Bingo!)

4557 = 3 * 7 * 217

Ob 217 schon eine Primzahl ist? (Nein!)

Probedividion durch 3

217 : 3 = 72,333 (geht also nicht)

Probedivision durch 7

217 : 7 = 31

4557 = 3 * 7 * 7 * 31

19043 = 139 * 137

91 = 7 * 13

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• Mit Hilfe eines Primzahltests herausfinden, ob die Zahl eine Primzahl oder eine Primpotenz ist.

BM1006

Primzahltest

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Ein Primzahltest ist ein mathematisches Verfahren, um festzustellen, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist oder nicht.

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Es gibt zahlreiche Ansätze für Primzahltests:

Der einfachste Primzahltest ist die Probedivision. Dabei probiert man nacheinander, ob die Zahl n durch eine der Primzahlen p teilbar ist. Wenn nicht, dann ist n eine Primzahl. In der Praxis wird die Probedivision nur für kleine n bis etwa eine Million eingesetzt. Für größere n sind andere Verfahren effizienter.

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Das Sieb des Eratosthenes ist ein Algorithmus, der eine Liste von Primzahlen erzeugt. Da diese Liste bis zu einer frei wählbaren Grenze alle Primzahlen enthält, kann sie für einen Primzahltest verwendet werden. Man überprüft dazu, ob die übergebene Zahl in der Liste ist. Auch dieses Verfahren ist für große Zahlen zu aufwendig und kann daher nicht als Primzahltest verwendet werden.

BM1007

Sieb des Eratosthenes (Teil 1)

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Das Sieb des Eratosthenes ist ein Algorithmus zur Bestimmung einer Liste oder Tabelle aller Primzahlen kleiner oder gleich einer vorgegebenen Zahl. Er ist nach dem griechischen Mathematiker Eratosthenes von Kyrene benannt. Allerdings hat Eratosthenes, der im 3. Jahrhundert v. Chr. lebte, das Verfahren nicht entdeckt, sondern nur die Bezeichnung „Sieb“ für das schon lange vor seiner Zeit bekannte Verfahren eingeführt.

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Funktionsweise:

Zunächst werden alle Zahlen 2, 3, 4,… bis zu einem frei wählbaren Maximalwert S aufgeschrieben. Die zunächst unmarkierten Zahlen sind potentielle Primzahlen. Die kleinste unmarkierte Zahl ist immer eine Primzahl. Nachdem eine Primzahl gefunden wurde, werden alle Vielfachen dieser Primzahl als zusammengesetzt markiert. Man bestimmt die nächstgrößere nicht markierte Zahl. Da sie kein Vielfaches von Zahlen kleiner als sie selbst ist (sonst wäre sie markiert worden), kann sie nur durch eins und sich selbst teilbar sein. Folglich muss es sich um eine Primzahl handeln. Diese wird dementsprechend als Primzahl ausgegeben. Man streicht wieder alle Vielfachen und führt das Verfahren fort, bis man am Ende der Liste angekommen ist. Im Verlauf des Verfahrens werden alle Primzahlen ausgegeben.

Da mindestens ein Primfaktor einer zusammengesetzten Zahl immer kleiner gleich der Wurzel der Zahl sein muss, ist es ausreichend, nur die Vielfachen von Zahlen zu streichen, die kleiner oder gleich der Wurzel der Schranke S sind.

Ebenso genügt es beim Streichen der Vielfachen, mit dem Quadrat der Primzahl zu beginnen, da alle kleineren Vielfachen bereits markiert sind.

Das Verfahren beginnt also damit, die Vielfachen 4, 6, 8, ... der kleinsten Primzahl 2 durchzustreichen. Die nächste unmarkierte Zahl ist die nächstgrößere Primzahl, die 3. Anschließend werden deren Vielfache 9, 12, 15,… durchgestrichen, und so weiter.

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Basisverfahren: Es werden alle Vielfachen einer Primzahl markiert, die größer oder gleich deren Quadrat sind.

Demonstration:

Verfahren, wie die Primzahlen zwischen 2 und 120 ermittelt werden: Erst werden alle Vielfachen von 2 gestrichen, dann alle Vielfachen von 3, 5, und 7. Die Markierungen beginnen jeweils mit dem Quadrat der Primzahl: 4, 9, 25, 49. Da bereits 112 = 121 nicht mehr im Wertebereich liegt, werden ab 11 keine zusammengesetzten Zahlen mehr markiert; alle noch unmarkierten Zahlen sind prim.

BM1008

Sieb des Eratosthenes (Teil 2)

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Im Gegensatz zu Verfahren, die einzelne Zahlen auf ihre Primalität prüfen, siebt das Siebverfahren des Sieb des Eratosthenes aus einem vorgegebenen Zahlenbereich, von 2 bis zu einer vorgegebenen Obergrenze, alle Nichtprimzahlen aus, so dass nur die Primzahlen übrig bleiben. Dabei wird wie folgt vorgegangen. Jede natürliche Zahl zwischen 2 und der Obergrenze bekommt eine Art kleines Schild, auf der ihr Zustand bezüglich der Primalität geschrieben steht. Am Anfang werden alle Zahlen zwischen 2 und Obergrenze als Primzahl deklariert. Nun wird die erste Zahl genommen, das ist die 2, und nachgesehen, ob es eine Primzahl ist. Die 2 hat die Information Primzahl. Wenn also die 2 eine Primzahl ist, dann können alle Vielfachen von 2, angefangen mit 22 keine Primzahlen mehr sein. Dementsprechend wird auf allen Schildern der Vielfachen von 2, angefangen mit 22 bis Obergrenze, die Information von Primzahl auf Nichtprimzahl geändert. danach wird die nächste Zahl, das ist die 3, auf ihre Primalität getestet. Wieder werden, im Falle, das es sich um eine Primzahl handelt alle Vielfachen in ihrem Zustand von Primzahl auf Nichtprimzahl geändert. Das Ganze wird solange gemacht, bis man die Quadratwurzel von Obergrenze erreicht hat, weswegen es sinnvoll ist, als Obergrenze eine Quadratzahl einzusetzen. Wenn man z.B. ein Zahlenfeld von 2 bis 10.000 siebt, dann muß man nur bis 100 (genauer bis 101) testen, da 1002 = 10.000 ist. Alle Zahlen größer 100, die noch auf ihrem Schild Primzahl stehen haben, sind auch Primzahlen.

Der Sinn des Sieb des Eratosthenes ist, Primzahltabellen zu erstellen, in denen man - bei kleineren Zahlen - nachsehen kann, ob es sich bei der gesuchten Zahl um eine Primzahl handelt.

BM1009

Primzahl

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Es ist schon eine komische Sache mit der Primzahl. Seit mehr als zweitausend Jahren ist sie schon bekannt, diese unteilbare natürliche Zahl. Jede Primfaktorzerlegung ist eindeutig, aber dennoch ist es ab einer gewissen Größenordnung schwer, von einer natürlichen Zahl zu sagen, ob sie eine Primzahl ist oder nicht. Ab einer bestimmten Größenordnung ist es sogar nicht möglich, innerhalb eines Menschenlebens zu bestimmen, ob es sich bei einer Zahl um eine Primzahl handelt.

Der Mensch ist sehr einfallsreich, um hinter die Geheimnisse der Primzahlen zu kommen, aber wie weit er auch kommen mag, den größten Teil wird er wohl immer vor sich haben.

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Was ist eine Primzahl oder besser Wie definiert sich eine Primzahl?

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei unterschiedliche, natürliche Teiler besitzt. Damit fällt die Eins als Primzahl raus. Eine häufig verwendete Definition lautet: Eine Primzahl ist nur durch Eins und sich selbst teilbar. Diese Definition hat den Nachteil, dass sie, semantisch, die Eins als Primzahl zulassen würde, denn Eins ist durch Eins teilbar, und Eins ist durch sich selbst teilbar. Durch eine explizite Einschränkung Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer 1, die nur durch Eins und sich selbst teilbar ist wird dieser semantische Einwand beseitigt.

BM1010

Satz: Für jede natürlich Zahl gilt: a|0. (a ist Teiler von Null)

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Prüfe, ob folgendes gilt:

16|0

1|0

9|0

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a|b (für den Fall b = 0)

a * x = 0

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Wenn wir auch das Nullfache einer Zahl ein Vielfaches nennen, können wir auch hier sagen:

0 ist ein Vielfaches von a.

BM1011 - BM1020

BM1011

a < b (a ist kleiner als b) bedeutet:

Es gibt eine natürliche Zahl x ≠ 0, so dass

a + x = b gilt.

Für jede natürliche Zahl a gilt:

a|a, denn a * 1 = a

a|0, denn a * 0 = 0

1|a, denn 1 * a = a

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a|b (a teilt b) bedeutet:

Es gibt eine natürliche Zahl x, so dass

a * x = b gilt.

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Gilt a > 1 und ist a nur durch 1 und durch sich selber teilbar, so heißt a Primzahl.

BM1012

Stelle fest, ob a ein Teiler von b ist!

Trifft dies zu, so stelle b in der Form a * x dar!

a; b

5; 45

3; 18

3; 12

90; 18

---

8; 56

9; 36

5; 72

5; 165

---

9; 172

11; 154

15; 180

18; 312

---

5; 35

3; 15

3; 18

70; 14

---

7; 56

9; 45

6; 36

5; 135

---

11; 187

9; 216

13; 169

18; 314

Beispiel BM1012
Stelle fest, ob a ein Teiler von b ist! Trifft dies zu, so stelle b in der Form a * x dar! a; b 5; 45 5|45 (45 = 5 * 9)

Lösung BM1012

a; b 5|45 (45 = 5 * 9) 3|18 (18 = 3 * 6) 3|12 (12 = 3 * 4) 90; 18 --- 8|56 (56 = 8 * 7) 9|36 (36 = 9 * 4) 5; 72 5|165 (165 = 5 * 33) --- 9; 172 11|154 (154 = 11 * 14) 15|180 (180 = 15 * 12) 18; 312 --- 5|35 (35 = 5 * 7) 3|15 (15 = 3 * 5) 3|18 (18 = 3 * 6) 70; 14 --- 7|56 (56 = 7 * 8) 9|45 (45 = 9 * 5) 6|36 (36 = 6 * 6) 5|135 (135 = 5 * 27) --- 11|187 (187 = 11 * 17) 9|216 (216 = 9 * 24) 13|169 (169 = 13 * 13) 18; 314

BM1013

Ermittle alle Teile der folgenden Zahlen!

Welche Zahlen sind Primzahlen?

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12

18

14

64

---

48

84

90

92

---

240

160

360

210

Lösung BM1013
12 = 2 * 2 * 4 18 = 2 * 3 * 3 14 = 2 * 7 64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 --- 48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 84 = 2 * 2 * 2 * 7 90 = 2 * 2 * 3 * 5 92 = 2 * 2 * 23 --- 240 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 160 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 5 360 = 6 * 60 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 210 = 2 * 3 * 5 * 7

BM1014

Ermittle alle Teile der folgenden Zahlen!

Welche Zahlen sind Primzahlen?

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15

24

21

72

---

63

96

80

98

---

180

150

480

720

Lösung BM1014
15 = 3 * 5 24 = 2 * 2 * 2 * 3 21 = 3 * 7 72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 --- 63 = 3 * 3 * 7 96 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 98 = 2 * 7 * 7 --- 180 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 150 = 2 * 3 * 5 * 5 480 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 720 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5

BM1015

1.) Wie heißt die 5. Primzahl?

2.) Wie viel ist „1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 7 * 0“

Lösung BM1015
1.) 11 $\mathbb {P} =\{2,3,5,7,11,13,17,\ldots \}$ --- 2.) 5 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 7 * 0 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + (7 * 0) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 7 * 0 = 5

BM1016

Warum 1 keine Primzahl ist.

Warum ist 1 keine Primzahl?

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In der Geschichte der Mathematik wurde die 1 von manchen Mathematikern als Primzahl betrachtet, von anderen nicht. Leonhard Euler beispielsweise zählt in seiner Algebra (1770) die 1 nicht als Primzahl, hingegen enthält eine Liste von 10.006.721 Primzahlen, die 1914 veröffentlicht wurde, die 1 als Primzahl.

Im Laufe des 20. Jahrhunderts hat sich aber durchgesetzt, 1 per Definition nicht als Primzahl zu betrachten.

Hier sind ein paar Gründe, die dafür immer wieder als Antwort gegeben werden:

• Ist die 1 keine Primzahl, so lässt sich jede nicht-Primzahl eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen (wenn man diese aufsteigend sortiert). Wenn hingegen die 1 eine Primzahl wäre, so hätte man mehrere Darstellungen für die gleiche Zahl: 6=2·3=1·2·3=1·1·2·3=...
• Das Produkt zweier von einander verschiedener Primzahlen ist nie eine Primzahl, sondern zusammengesetzt. Dies wäre nicht gültig, sollte 1 eine Primzahl sein.
• Eine Primzahl ist eine Zahl mit genau 2 Teilern. Die 1 hat jedoch nur einen Teiler.

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Nach der Definition ist auch die Zahl 1 eine Primzahl. Aber es ist sinnvoll, sie nicht mitzuzählen. Da besteht unter den Mathematikern heute Einigkeit.

Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch 1 und sich selbst teilbar ist.

BM1017

Gleichung

Gleichheitszeichen

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Form

umformen

Gleichungen umformen

Gleichungen umstellen

Gleichungen auflösen

Löse die Gleichung nach x auf!

217 + x = 1900

x = 1900 - 217

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Bild 1

visualisieren

verdeutlichen (= deutlich machen)

erklären

sich vorstellen

Bile 1: Eine Gleichung kann man sich wie eine Waage vorstellen, die sich im Gleichgewicht befindet. Die beiden Waagschalen sind die beiden Seiten der Gleichung.

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Bild 2

Bild 2: Auf beiden Seiten der Waage kann etwas liegen. Wenn es aber nicht gleich ist, dann ist die Waage im Ungleichgewicht. (Dann ist die Waage nicht im Gleichgewicht.)

Das können wir mit einer Ungleichung ausdrücken, nicht aber mit einer Gleichung.

Die Waage neigt sich zu der Seite mit dem größeren Gewicht.

Die Zahlen in der Gleichung müssen wir also als Gewichtsangaben auffassen.

Die Zahlen in der Gleichung müssen wir also als Gewichtsangaben verstehen.

Die Zahlen in der Gleichung müssen wir uns also als Gewichtsangaben vorstellen.

Wir wollen uns aber im weiteren hier vorerst nur mit Ungleichungen befassen.

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Bild 3a

Bild 3b

Bild 3a und b: In einer Gleichung muss das Gleichgewicht immer erhalten bleiben, wie bei unserer Waage, die wir zur Illustration von Gleichungen verwenden.

Um das Gleichgewicht zu halten, darf man auf jeder Seite nur gleiches dazugeben oder wegnehmen.

Was auf der linken Seite in der Waagschale liegt muss genauso gross sein wie das, was auf der rechten Seite in der Waagschale liegt.

Die Waage ist im Gleichgewicht, weil auf jeder Seite 2 Kilogramm liegen (Bild 3a) bzw. 4 Kilogramm (Bild 3b). Die Gewichtseinheit „Kilogramm“ haben wir willkürlich gewählt, wir könnten auch „Gramm“ oder „Tonnen“ nehmen.

Gleichgewicht bedeutet „im gleichen Gewicht“.

BM1018

Gleichungen umstellen

Gleichungen umformen

Äquivalenzumformung

eine Gleichung nach „x“ auflösen

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Bild 1

Bild 1: Wenn man auf der einen Seite der Waage ein Fragezeichen hat, einen unbekannten Kasten, und die Waage zeigt Gleichgewicht an, dann weiß man: Der rosa Kasten ist genauso schwer, wie die drei Kugeln.

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Bild 2a

Bild 2b

Bild 2a und b: Meistens aber ist die Waage wesentlich unaufgeräumter und die Gleichung sieht komplizierter aus, wie auf der Waage zu sehen.

Trotzdem ist es erlaubt auf jeder Seite gleiches zu tun: Also beispielsweise auf jeder Seite zwei kleine, rote Kugeln weg.

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Bild 3

Bild 3 zeigt die Waage mit einer anderen Beladung, die ebenfalls eine Gleichung verdeutlichen soll.

verdeutlichen

versinnbildlischen

symbolisieren

darstellen

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Bild 4

Bild 4: Wir nehmen von der Waage in Bild 3 von beiden Seiten zwei kleine, rote Kugeln weg und erhalten den Zustand, wie in Bild 4 gezeigt. Die Waage ist weiterhin im Gleichgewicht.

Das Wegnehmen wird durch den nach oben gerichteten Pfeil symbolisiert. Das Minuszeichen daneben verdeutlicht nochmals, dass es sich um eine Subtraktion handelt.

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Bild 5

Bild 5: Im nächsten Schritt nehmen wir von der Waage in Bild 4 von beiden Seiten das Dreieck weg. Die Waage bleibt logischerweise weiter im Gleichgewicht.

Wenn wir auf beiden Seiten das gleiche addieren bzw. subtrahieren, dann stört das nicht das Gleichgewicht.

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Bild 6a

Bild 6b

Bild 6a und b: Wir haben also beginnend mit dem Anfangszustand in Bild 6 durch Äquivalenzumformung das Bild auf der Waage vereinfacht. Wir haben also die Gleichung vereinfacht.

Sogar Seitenvertauschen ist erlaubt. Sogar die Seiten darf man vertauschen.

Auch dann bleibt die Waage im Gleichgewicht. Auch das verändert die Gleichung nicht.

6 = 3 + 3

3 + 3 = 6

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Bild 7

Bild 7: Die gelbe unbekannt Kiste hat also das gleiche Gewicht, wie zwei gelbe Kugeln. Das ist das Ergebnis unsere Gleichung

x = 2

„x“ ist das Symbol für die Unbekannte.

BM1019

Gleichungen umformen

Eine Gleichung nach x auflösen.

Gleichung nach x umstellen

Wir stellen die Gleichung nach x um.

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Bild 1

Für Bild 1 (= Bild 6) können wir auch die folgende Gleichung schreiben:

(2 * ${\tfrac {4}{17}}$) + x + 183 = (2 * 1) + (2 * ${\tfrac {4}{17}}$) + 183

Dann subtrahieren wir auf beiden Seiten „2 * ${\tfrac {4}{17}}$“ und erhalten das Zwischenergebnis:

x + 183 = (2 * 1) + 183

Nun ziehen wir noch auf beiden Seiten die 183 ab und erhalten das Ergebnis:

x = 2 * 1

x = 2

„x“ ist das Symbol für die Unbekannte.

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Bild 2

Bild 2: Ein weiteres Beispiel:

x + 4 = 9

Schöner wäre, wenn das „x“ alleine dasteht, denn dann kann ich ablesen, wie groß es ist.

Schöner wäre es, wenn das „x“ allein dasteht, denn dann kann ich ablesen, wie groß es ist.

Die „4“ stört. Ich müsste also auf jeder Seite „4“ wegnehmen.

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Bild 3

Bild 3: Um zu verdeutlichen, dass man auf jeder Seite „4“ wegnimmt, schreibt man hinter die Gleichung einen Schrägstrich und notiert hinter dem Schrägstrich welche Rechenoperation man auf beiden Seiten der Gleichung ausführt. In unserem Fall steht also hinter der Gleichung:

/-4

Oft wird der Schrägstrich auch als senkrechter Strich geschrieben:

|-4

Es ist nicht zwingend vorgeschrieben hinter der Gleichung anzugeben, welche Äquivalenzumformung man auf beiden Seiten der Gleichung macht, aber es erleichtert das lesen und Nachvollziehuen von Rechnungen sehr und sit deshalb dringend zu empfehlen.

Wir aubtrahieren also auf beiden Seiten der Gleichung die „4“ und erhalten so:

x = 9 - 4

Das können wir dann ganz einfach im Kopf ausrechnen:

x = 5

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Bild 4

Bild 4: Da sich beim Rechnen schnell irgendwo ein Fehler einschleichen kann, sollten wir unser Ergebnis immer durch eine Proberechnung überprüfen.

Um sicher zu sein, dass man sich nicht vertan hat, muss man eine Probe machen.

In Bild 14 steht die Proberechnung unter der Waage. Wir haben für „x“ die „5“ eingesetzt, da wir ja „x=5“ ausgerechnet hatten.

x + 4 = 9

5 + 4 = 9

9 = 9 (also stimmt die Probe)

BM1020

gleichwertig - gleich viel wert, gleich beschaffen

äquivalent = gleichwertig, entsprechend

Wenn zwei Aussagen äquivalent sind, bedeutet das: trifft eine zu, ist auch die andere richtig und umgekehrt.

Äquivalenz (lateinisch: aequus = gleich; valere = wert sein)

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Äquivalenzumformung:

In der Mathematik bezeichnet Äquivalenzumformung eine Umformung einer Gleichung bzw. Ungleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt.

Die umgeformte logische Aussage ist also für dieselbe Variablenbelegung wahr wie die ursprüngliche Aussage.

Äquivalenzumformungen können durch Anwendung der inversen Operation wieder ohne Probleme rückgängig gemacht werden.

Äquivalenzumformungen sind die wichtigste Methode zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen.

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Eine Äquivalenzumformung ist beispielsweise die Addition oder Subtraktion eines Terms auf beiden Seiten. Subtrahiert man von der Gleichung

$x+5=7\;$

die Zahl 5 (indem man die Zahl auf beiden Seiten subtrahiert), erhält man die Gleichung

$x=2\!$.

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(Äqui- = gleich)

Äquivalenz

Äquidistanz

Äquilibrium

Äquinoktium - der Zeitpunkt, an dem für alle Orte auf der Erde Tag und Nacht gleich lang sind, weil die Sonne in einer entsprechenden Position steht

Äquinoktium (von lat. aequus „gleich“ und nox „Nacht“, Plural Äquinoktien) oder Tagundnachtgleiche (auch Tag-und-Nacht-Gleiche) werden die beiden Tage im Jahr genannt, an denen der lichte Tag und die Nacht gleich lange dauern. Die Tagundnachtgleichen fallen auf den 19., 20. oder 21. März und den 22., 23. oder 24. September. Sie markieren den kalendarischen Anfang der astronomisch definierten Jahreszeiten Frühling und Herbst.

BM1021 - BM1030

BM1021

Gleichungen umformen

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Bild 1

Bild 1:

5 = 3 + 2

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Bild 2

Bild 2:

Wir addieren auf jeder Seite „+ 1“

5 = 3 + 2 |+1

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Bild 3

Bild 3:

5 + 1 = 3 + 2 + 1

6 = 6

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Bild 4

Bild 4:

Wir subtrahieren auf jeder Seite „- 1“

|- 1 (die Darstellung mit einem senkrechten Strich hinter der Gleichung ist die übliche Form)

/- 1

//- 1 (Diese Form mit zwei Schrägstrichen ist relativ unüblich. So weden in vielen Computersprachen Kommentar vom Programmcode abgegrenzt.)

5 = 3 + 2 |-1

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Bild 5

Bild 5: Als Ergebnis der Subtraktion von „minus Eins“ auf beiden Seiten in Bild 4 erhalten wir in Bild 5:

5 - 1 = 3 + 2 + - 1

4 = 4

BM1022

Bild 1

Bild 1:

Wir nehmen beide Seiten mal „2“.

4 = 2 + 2 //*2

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ACHTUNG: Die Multiplikation mit Null auf beiden Seiten ist NICHT möglich. Dazu später mehr.

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Bild 2

Bild 2:

4 = 2 + 2 //*2

4 * 2 = (2+2) * 2

8 = 4 * 2

8 = 8

BM1023

Gleichungen umformen

multiplizieren = „mal nehmen“

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Bild 1

Bild 1:

Die Multiplikation wird hier durch „Pakete“ veranschaulicht:

links haben wir 2 Pakete mit jeweils 3 Kugeln

rechts haben wir 3 Pakete mit jeweils zwei Kugel.

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Bild 2

Bild 2:

3 * (4 + 2) = (3 * 2) + (4 * 3)

3 * 6 = 6 + 12

18 = 18

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Bild 3

Bild 3:

Nun dividieren wir beide Seiten durch 2.

Das wird hier im Bild durch eine andere Schreibweise dargestellt, die z. B. in den USA üblich ist.

Dabei wird unter beide Seiten der Gleichung geschrieben, welche Rechenoperation mit dieser Seite ausgeführt wird. Natürlich ist das auf beiden Seiten die gleiche Rechenoperation.

      3 * (4 + 2) = (3 * 2) + (4 * 3)
            :2          :2
[3 * (4 + 2)] : 2 = [(3 * 2) + (4 * 3)] : 2
           18 : 2 = 18 : 2
                9 = 9

Die Zahl der Würfel wird also auf beiden Seiten halbiert. Die hellgrau dargestellten Würfel entfallen also.

Die in Deutschland übliche Schreibweise wäre:

3 * (4 + 2) = (3 * 2) + (4 * 3)     |:2

BM1024

Summen müssen vor der Multiplikation geklammert werden.

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Klammer

Klammerpaar

öffnende Klamme = Klammer auf

schließende Klammer = Klammer zu

einklammern = klammern

ausklammern

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4 = 2 + 2 //*2

4 * 2 = (2+2) * 2

Wir dürfen die Klammern auf der rechten Seite nicht vergessen, denn sonst wäre es

4 * 2 = 2 + 2 * 2

und das wird mit einer anderen Klammerung gerechnet, nämlich:

4 * 2 ≠ 2 + (2 * 2)

8 ≠ 2 + 4

8 ≠ 6

Also aufgepasst: Summen bzw. Differenzen, die multiplizeirt werden, müssen eingeklammer werden:

a + b = c + d |* e

(a + b) * e = (c + d) * e

Andernfalls würde man ohne Klammern ein falsches Ergebnis erhalten, also:

a + b = c + d |* e

a +b * e = c + d * e (das ist FALSCH)

a + (b * e) = c + (d * e) (Das ist jetzt nur noch die Fortsetzung des Fehlers, der in der Zeile darüber gemacht wurde.)

Natürlich kann bei bestimmten Zahlen, die wir für a, b, c, d und e einsetzen, das Ergebnis trotzdem richtig sein.

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Aufgabe finde Zahlen für a, b, c, d und e, bei denen sowohl

(a + b) * e = (c + d) * e

als auch

a + (b * e) = c + (d * e)

korrekt sind!

Lösung BM1024
Die Lösungen kann man durch längeres Rumprobieren oder durch Nachdenken oder durch Rechnen rausbekommen. Eine mögliche Lösung ist: a = 3; b = 4; c = 5; d = 2; e = 1 --- Probe für die 1. Gleichung: (a + b) * e = (c + d) * e (3 + 4) * 1 = (5 + 2) * 1 7 = 7 (RICHTIG!) --- Probe für die 2. Gleichung: a + (b * e) = c + (d * e) 3 + (4 * 1) = 5 + (2 * 1)

BM1025

Gegeben sind wieder die beiden Gleichungen:

Gleichung I) (a + b) * e = (c + d) * e

Gleichung II) a + (b * e) = c + (d * e)

Aufgabe:

Finde möglichst viele Lösungen im Bereich der natürlichen Zahlen!

Lösung BM1025
Eine mögliche Lösung ist: a = 101; b = 107; c = 30; d = 178; e = 1 --- Probe für die 1. Gleichung: (a + b) * e = (c + d) * e (101 + 107) * 1 = (30 + 178) * 1 208 = 208 7 = 7 (RICHTIG!) --- Probe für die 2. Gleichung: a + (b * e) = c + (d * e) 101 + (107 * 1) = 30 + (178 * 1) 208 = 208

BM1026

Gegeben sind noch einmal die beiden Gleichungen:

Gleichung I) (a + b) * e = (c + d) * e

Gleichung II) a + (b * e) = c + (d * e)

Aufgabe BM1026
Aufgabe: Finde möglichst viele Lösungen im Bereich der natürlichen Zahlen, wobei „e“ ungleich „1“ sein muss. e ≠ 1 Denn es ist langweilig Tausende von ähnlichen Lösungen zu finden, bei den immer „e=1“ ist. Jetzt ist es mit Rumprobieren schon sehr schwer bis fast unmöglich. Ohne Nachdenken oder REchnen kommt man nicht weiter.

Lösung BM1026
Eine mögliche Lösung ist: a = 5; b = 4; c = 5; d = 4; e = 3 --- Wenn c=a und d=b, dann sind für e alle Zahlen möglich.

BM1027

Gegeben sind wieder die beiden Gleichungen:

Gleichung I) (a + b) * e = (c + d) * e

Gleichung II) a + (b * e) = c + (d * e)

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Wie können die Gleichungen ausmultiplizieren nach der Regel:

a *(b + c) = a * b + a * c

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Gleichung I) linke Seite ausmultiplizieren:

(a + b) * e = a*e + b*e

rechte Seite ausmultiplizieren:

(c + d) * e = c*e = d*e

Nun können wir die rechte und linke Seite wieder in einer Gleichung schreiben:

a *(b + c) = a * b + a * c (vor dem Ausmultiplizeiren)

a*e + b*e = c*e = d*e

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Aufgabe: Multipliziere Gleichung II) selbständig aus!

Lösung BM1027
Gleichung II) können wir NICHT ausmultiplizieren! Hoffentlich bist du nicht reingefallen.

BM1028

Gleichungssysteme

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Ein Gleichungssystem sind mehrer Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten, die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen.

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Bild 1

Bild 1:

Bild 1 zeigt die erste Gleichung: I)

1*a + 3*b = 11*c

Die Malzeichen vor Variablen und die Eins als Faktor vor dem a können wir weglassen.

Die Malzeichen vor Variablen und die Eins als Faktor vor dem a werden üblicherweise weggelassen.

a + 3b = 11c

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Bild 2

Bild 2:

Bild 2 zeigt die Gleichung Nummer 2 unseres Gleichungssystems:

a + b = 7c

Wir haben also drei Unbekannte (a, b und c) in unseren Gleichungssystem, das aus 2 Gleichungen besteht.

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Bild 3

Bild 3:

JETZT KOMMT ETWAS NEUES UND WICHTIGES:

Die beiden Gleichungen I und II können wir kombinieren.

In Bild 3 werden beide Gleichungen addiert: Beide linke Seiten werden addiert und danach werden beide rechten Seiten addiert.

Stellen wir uns vor, dass wir drei Waage haben. Die Dreiecke, Vierecke und Kugeln von Gleichung I liegen auf Waage 1. Die Dreiecke, Vierecke und Kugeln von Gleichung II liegen auf Waage 2.

Nun nehmen wir alles, was auf Waage 1 und 2 auf der linken Seite liegt und legen es auf Waage 3 auf die linke Seite.

Ebenso nehmen wir alles, was auf Waage 1 und 2 auf der rechten Seite liegt und legen es auf Waage 3 auf die rechte Seite.

Wagge 3 ist nun auch im Gleichgewicht.

Da Waage 1 und Waage 2 jeweils im Gleichgewicht waren, ist nun auch Waage 3 im Gleichgewicht.

Wir können also zwei Gleichungen addieren (I+II) und erhalten als Ergebnis wieder eine Gleichung.

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Gleichung I) a + 3b = 11c

Gleichung II) a + b = 7c

Gleichung I+II) [a + 3b] + [a + b] = 11c + 7c

Weil der Platz auf der Waage in Bild 3 nicht reicht „schweben“ die Figuren über Waagschale.

Wir könne die Gleichung noch etwas vereinfachen:

2a + 4b = 18c

Wer will kann die Kugeln nachzählen.

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Bild 3

Zum Addieren von Gleichungen werden die Variablen genau untereinander geschrieben und gleich addiert.

I ) a + 3b = 11c

II) a + b = 7c

I+II) 2a + 4b = 18c

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Bild 4

Bild 4:

Wie bereits oben gelernt kann man zu einer Gleichung auf beiden Seiten das gleiche hinzufügen, ohne dass das Gleichgewicht (die Gleichheit beider Seiten) gestört wird.

In Bild 4 werden auf beiden Seiten 3 Kugeln hinzugefügt, ohne dass sich das Gleichgewicht ändert.

Man kann aber auch auf beiden Seiten unterschiedliche Variablen hinzufügen - so lange sie das gleiche Gewicht haben. Also beispielsweise rechts 3 Kugeln und links zwei Stern, wenn zwei Stern gleich 3 Kugeln sind.

Man kann hinzufügen, aber man muss nicht hinzufügen. Später weden wir erörtern, wie man durch geschicktes Hinzufügen die Gleichung immer weiter vereinfachen kann.

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Bild 5

Bild 5:

Genauso wie man auf beiden Seiten etwas addieren kann, kann man auch auf beiden Seiten das Gleiche subtrahieren.

Bis jetzt arbeiten wir noch nicht mit negativen Zahlen. Auch lassen sich negative Zahlen nicht auf einer Waage darstellen.

Wir subtrahieren jetzt Gleichung I von Gleichung II (II-I).

Da Gleichung I eine Gleichung ist, also auf beiden Seiten letztendlich den gleichen Wert hat, ist es im Prinzip nichts anderes, als wenn wir von beiden Seiten 3 Kugeln abziehen würden.

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Bild 6

II ) a + 3b = 11c

I) a + b = 7c

II-I) 0 + 2b = 4c

2b = 4c

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Der Trick ist, dass sowohl in Gleichung I als auch in Gleichung II die Variable „a“ genauso oft vorkommt - nämlich 1x.

Dadurch rechnen wir „a-a“ und eliminieren „a“. Das Gleichnungssysem wird dadurch einfacher, weil eine Unbekannt so geschickterweise verschwindet.

BM1029

Beide Seiten einer Gleichung halbieren

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Wir nehmen die Gleichung aus der vorherigen Aufgabe

2b = 4c

Wenn wir auf beiden Seiten nur die Hälfte nehmen, dann ist es trotzdem noch eine Gleichung.

Bild 1

Bild 1:

2b = 4c //:2

Wir schreiben auf jeder Seite „durch 2“ dazu, in Bruchschreibweise: Wir schreiben also einen Bruchstrich unter jede Seite und darunter die 2.

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Bild 2

Bild 2:

Auf der linken Seite der Gleichung können wir „2 durch 2“ rechnen, was sich zu „1 durch 1“ also „1“ kürzen lässt.

Auf der rechten Gleichungsseite kürzt sich „4 durch 2“ zu „2 durch 1“ also „2“

Aus

2b = 4c //:2

wird so

b = 2c

BM1030

Bild 1

Bild 1:

Gegeben sind die beiden Gleichungen

a + b = 7c

und

b = 2c

---

Bild 2

Bild 2:

In die Gleichung a + b = 7c setzen wir für das „b“ das „2c“ aus Gleichung b = 2c ein und erhalten so

a + 2c = 7c

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Bild 3

Bild 3:

Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten 2c

a + 2c = 7c //-2c

und erhalten

a + 2c -2c = 7c-2c

a = 5c

BM1031 - BM1040

BM1031

Eine einzelne Gleichung mit einer einzigen Unbekannten kann man lösen.

Dazu stellt man die Gleichung um, so dass die Unbekannte (die gesuchte Variable, meist mit „x“ bezeichnet) isoliert auf einer Seite (vorzugsweise auf der linken Seite) der Gleichung steht.

Beispiel:

3x + 1 = 10 |-1

3x = 9 |:3

x = 3

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BM1032

Eine einzelne Gleichung mit einer einzigen Unbekannten kann man eindeutig lösen.

Eine Gleichung mit 2 Unbekannten kann man nicht eindeutig lösen. Es gibt mehrere oder sehr sehr viele Lösungen.

Beispiel:

x + y = 101

Mögliche Lösungen:

x; y

1; 100

53; 48 und noch viele mehr

BM1033

Bild 1

In einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen darf es nur zwei Unbekannte geben, damit man es lösen kann.

Da wir in dem Gleichungssystem in Bild 1 aber 3 Unbekannte aber nur 2 Gleichungen haben, lässt sich das Gleichungssystem nicht eindeutig lösen.

I) a + b = 7c

II) a + 3b = 11c

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Um ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten lösen zu können brauchen wir normalerweise 3 Gleichungen.

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Dehalb legen wir fest, dass c=400 sein soll. So haben wir nur noch 2 Unbekannte; a und b.

I) a + b = 7c

II) a + 3b = 11c

II-I) 2b = 5c

III) c = 400

2b = 5*400

2b = 2.000 //:2

b = 1.000

BM1034

geschickterweise

-weise (eine Endung zur Erzeugung eines Adverbs mit der Bedeutung, dass etwas in der Weise geschieht (oder zu verstehen ist), die durch den vorangehenden Wortteil bezeichnet wird)

teilweise

Das Haus ist teilweise abgebrannt.

Das Haus ist zum Teil abgebrannt.

geschickterweise (geschickt - ungeschickt; das Geschick; schicken)

anständigerweise (anständig)

geschickterweise (geschickt)

ärgerlicherweise

dummerweise

Ich habe dummerweise meinen Schlüssel in Berlin vergessen.

Es ist dumm, dass ich meinen Schlüssel in Berlin vergessen habe.

bemerkenswerterweise

Bemerkenswerterweise spricht sein Sohn 7 Fremdsprachen.

Es ist bemerkenswert, dass sein Sohn 7 Fremdsprachen spricht.

Es ist Wert zu bemerken, dass sein Sohn 7 Fremdsprachen spricht.

ehrlicherweise

eigenartigerweise

fälschlicherweise

erfreulicherweise

interessanterweise

Interessanterweise haben wir nichts mehr von ihm gehört.

Es ist interessant, dass wir nichts mehr von ihm gehört haben.

netterweise

Netterweise hat er mir das Geld für den Rückfglug geborgt.

sinnvollerweise

Es ist sinnvoll erst die Schuhe auszuziehen, bevor man die Hose auszieht.

verständlicherweise

möglicherweise

Möglichersweise gewinne ich nächste Woche im Lotto, aber ich muss mir noch einen Lottoschein kaufen.

Idealerweise

stufenweise

ausnahmsweise

beispielsweise

zeitweise

scheibchenweise

Wir haben die ganze Wahrheit nur scheibchenweise erfahren.

Übergangsweise werden wir im Wohnwagen leben, bis das eingestürzte Haus wieder neu aufgebaut ist.

gezwungenerweise

Gezwungenerweise werden wir im Wohnwagen leben, bis das Haus wieder neu aufgebaut ist, denn wir haben nicht genut Geld für ein Hotel.

kistenweise

Er hat kistenweise feinsten Cognac [ˈkɔnjak] im Keller.

BM1035

Menge (Teil 1)

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Um Zusammenhänge zwischen der Teilbarkeit verschiedener Zahlen und auch zwischen anderen Eigenschaften natürlicher Zahlen übersichtlich darstellen zu können, ist es vorteilhaft, alle natürlichen Zahlen, die eine gemeinsame Eigenschaft besitzen, auszuwählen und zu einer Gesamtheit zusammenzufassen.

Aber nicht nur Zahlen können wir zusammenfassen, sondern oft ist es nützlich, auch Gesamtheiten anderer Objekte mit gemeinsamen Eigenschaften zu betrachten.

Eine solche Gesamtheit heißt Menge. Die Objekte, die zu einer Menge zusammengefasst sind, heißen Elemente dieser Menge.

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Beispiele für Mengen sind:

1.) Die Menge aller Schüler einer Klasse, die 1980 geboren sind.

2.) Die Menge aller geraden Zahlen zwischen 67 und 75.

3.) Die Menge aller Lkw's in Berlin.

4.) Die Menge aller geraden Primzahlen.

5.) Die Menge aller durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen.

6.) Die Menge der Punkte eines bestimmten Kreises.

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In der Umgangssprache bedeutet „Menge“ einfach nur „viel“.

Wir müssen zwischen der Bedeutung des Wortes „Menge“ in der Mathematik und der Bedeutung desselben Wortes in der Umgangssprache unterscheiden.

BM1036

Menge (Teil 2)

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Zur Bezeichnung von Mengen werden in der Regel Großbuchstaben verwendet. Wenn die Elemente einer Menge selbst keine Mengen sind, nutzt man für sie oft Kleinbuchstaben. Man schreibt $x\in M$ – „$x$ ist ein Element von $M$“, wenn $x$ eines der Objekte bezeichnet, das in der Menge $M$ enthalten ist. Ist dies nicht der Fall, schreibt man $x\notin M$ – „$x$ ist kein Element von $M$“.

BM1037

Menge (Teil 3)

Zahlenbereiche als Mengen

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Auch Zahlenbereiche werden in der Mathematik als Mengen aufgefasst. So ist die Menge der natürlichen Zahlen die Zusammenfassung aller Zahlen $1,2,3,4,\ \ldots$ zu einer Menge. Diese Menge wird mit dem Buchstaben $\mathbb {N}$ mit (meistens links) doppelter Vertikalen notiert. Auch andere Zahlenbereiche werden als Mengen aufgefasst:

Zahlenbereich	Symbol
natürliche Zahlen	$\mathbb {N}$
ganze Zahlen	$\mathbb {Z}$
rationale Zahlen	$\mathbb {Q}$
reelle Zahlen	$\mathbb {R}$
komplexe Zahlen	$\mathbb {C}$

Beispiel:

• $42\in \mathbb {N}$
• $-42\notin \mathbb {N}$
• $-18\in \mathbb {Z}$
• ${\tfrac {1}{2}}\notin \mathbb {Z}$
• ${\tfrac {1}{2}}\in \mathbb {Q}$
• ${\tfrac {3}{7}}\in \mathbb {Q}$
• $5,12\in \mathbb {Q}$
• $\pi \in \mathbb {R}$
• $3,1415926\in \mathbb {R}$
• $327\in \mathbb {R}$

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Die natürlichen sind in den ganzen Zahlen enthalten. Das heißt, dass jede natürliche Zahl eine ganze Zahl ist.

Die ganzen Zahlen sind in den rationalen Zahlen enthalten. Das heißt, dass jede ganze Zahl eine rationale Zahl ist. Auch jede natürliche Zahl ist eine rationale Zahl.

Die rationalen Zahlen sind in den reellen Zahlen enthalten. Das heißt, dass jede rationale Zahl eine rationale Zahl ist.

Die rationalen Zahlen sind in den komplexen Zahlen enthalten. Das heißt, dass jede reelle Zahl eine komplexe Zahl ist.

BM1038

Natürliche Zahlen

$\mathbb {N}$

$\mathbb {N}$ (ohne 0): $\{1,2,3,\dots \}$ oder (mit 0): $\{0,1,2,3,\dots \}$ (auch $\mathbb {N} _{0}$)

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Ganze Zahlen

$\mathbb {Z}$

$\mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots \}$.

---

Rationale Zahlen

$\mathbb {Q}$

$\mathbb {Q} =\left\{\dots ,-{\tfrac {2}{1}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{1}},0,{\tfrac {1}{1}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{1}},{\tfrac {1}{3}},\dots \right\}=\left.\left\{{\tfrac {p}{q}}\right|p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \setminus \{0\}\right\}$

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Reelle Zahl

$\mathbb {R}$

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Die reellen Zahlen bilden einen in der Mathematik bedeutenden Zahlenbereich. Er ist eine Erweiterung des Bereichs der rationalen Zahlen, der Brüche, womit die Maßzahlen der Messwerte für übliche physikalische Größen wie zum Beispiel Länge, Temperatur oder Masse als reelle Zahlen aufgefasst werden können. Die reellen Zahlen umfassen die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen.

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Irrationale Zahlen

$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ = die Menge aller Elemente von $\mathbb {R}$, die nicht in $\mathbb {Q}$ liegen.

Irrationale Zahlen sind beispielsweise

die Kreiszahl $\pi$ (Pi) [= 3,1415926535897932384626433832795028841971...],

die Eulersche Zahl $e$ [= 2,718281828459045...]

oder die Wurzeln aus ganzen Zahlen wie

${\sqrt {2}}$ [= 1,41421356237...] oder

${\sqrt[{3}]{7}}$ [= 1,91293118277...].

BM1039

Komplexe Zahlen

$\mathbb {C}$

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Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung

$x^{2}+1=0$

lösbar ist.

Dies gelingt durch Einführung einer neuen imaginären Zahl $\mathrm {i}$ mit der Eigenschaft

$\mathrm {i} ^{2}=-1$.

Diese Zahl $\mathrm {i}$ wird als imaginäre Einheit bezeichnet.

$\mathrm {i} ={\sqrt {-1}}$

Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet eine Erweiterungs der reellen Zahlen ($\mathbb {R}$) und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben.

BM1041 - BM1050

BM1041

Mengen (Teil 4)

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Zur Bezeichnung von Mengen werden lateinische Großbuchstaben verwendet, an die mitunter nochZeichen zur Unterscheidung angeschreiben werden.

Dazu verwendet man meist kleine tiefgestellte Ziffern.

Beispiel:

M₁ = Die Menge aller Schüler einer Klasse, die 1980 geboren sind.

M₂ = Die Menge aller geraden Zahlen zwischen 67 und 75.

M₃ = Die Menge aller Lkw's in Berlin.

M₄ = Die Menge aller geraden Primzahlen.

M₅ = Die Menge aller durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen.

M₆ = Die Menge der Punkte eines bestimmten Kreises.

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In den Beispielen haben die Mengen M₁ bis M₄ endlich viele Elemente.

Dagegen haben die Mengen M₅ und M₆ unendlich viele Elemente.

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Um festzustellen, welche Objekte als Element zu einer bestimmten Menge gehören sollen, kann man in vielen Fällen die Elemente dieser Menge aufzählen. Wenn man diese Aufzählung niederschreibt, schließt man die Zeichen für die Elemente in geschweifte Klammern ein.

Beispiel: {Element1, Element2, Element 3}

M₂ = Die Menge aller geraden Zahlen zwischen 67 und 75.

M₂ = {68, 70, 72} (Diese Menge enthält drei Elemente.)

M₄ = Die Menge aller geraden Primzahlen. (Diese Menge enthält ein einziges Element.)

M₄ = {2}

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Oft ist diese Art, eine Menge anzugeben, umständlich, da die Menge zu viele Elemente enthält, oder gar unmöglich, da zur Menge unendlich viele Elemente gehören.

Dann gibt man in Worten oder mathematischen Symbolen die Eigenschaften an, die alle Elemente der betreffenden Megen gemeinsam sind.

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M₅ = Die Menge aller durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen.

M₅ ist die Menge aller der Zahlen a, für die man eine Zahl x finden kann, so dass

3 * x = a gilt.

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Um auszudrücken, dass eine Zahl a Element eienr Menge M ist, schreibt man:

$a\in M$ (Lies: „a ist Element von M“)

BM1042

Teilbarkeit von Summen und Differenzen

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Wenn wir die Teiler zweier gegebener natürlicher Zahlen b und c kennen, so können wir auch etwas über die Teilbarkeit der Summe „b + c“ aussagen.

Eine Zahl a, die sowohl Teiler von b als auch Teiler von c ist, ist auch Teiler von „b + c“.

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Beispiel:

Wir wählen „b = 8“ und „c = 12“ und damit die Summe „b + c = 20“.

Für „a = 2“ gilt:

a|b (2 ist Teiler von 8) (8/2=4)

a|c (2 ist Teiler von 12) (12/2=6)

a|b+c (2 ist Teiler von 8+12) (20/2=10)

Mit Hilfe einer Tabelle überprüfen wir das für die Zahlen a = 1, 2, ..., 12

„b = 8“ und „c = 12“

a	b	c	(b+c)
1	ja	ja	ja
2	ja	ja	ja
3	nein	ja	nein
4	ja	ja	ja
5	nein	nein	ja
6	nein	ja	nein
7	nein	nein	nein
8	ja	nein	nein
9	nein	nein	nein
10	nein	nein	ja
11	nein	nein	nein
12	nein	ja	nein

Das Beispiel ist natürlich kein Beweis.

Eine Zahl a, die sowohl Teiler von b als auch Teiler von c ist, ist auch Teiler von „b + c“.

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SATZ: Wenn a ein Teiler sowohl von b als auch von c ist, so ist a auch ein Teiler der Summe „b + c“.

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Umgekehrt gilt dieser Satz nicht: Ist a ein Teiler der Summe „b + c“, so ist a nicht umbedingt auch Teiler von b und Teiler von c.

Beispielsweise ist 13 ein Teiler von „12 + 14 = 26“, aber weder ein Teiler von 12 noch ein Teiler von 14.

BM1043

Ist die Subtraktion „b - c“ ausführbar, so gilt ein entsprechender Satz auch für die Differenz zweier Zahlen b und c.

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SATZ: Wenn a ein Teiler sowohl von b als auch von c ist, so ist a auch ein Teiler der Differenz „b - c“.

Dabei darf c nicht größer als b sein, da wir sonst die Differenz „b - c“ nicht bilden können.

BM1044

Teilbarkeit von Produkten

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Wir können auch aus der Teilbarkeit zweier natürlicher Zahlen auf die Teilbarkeit ihres Produktes schließen.

Beispiel:

„b = 8“; „c = 12“

Ihr Produkt ist „b * c = 96“

Wir prüfen die Teilbarkeit für „a = 6“

$a\nmid b$ (6 ist nicht Teiler von 8) (8/6=1,3333)

a|c (6 ist Teiler von 12) (12/6=2)

a|(b*c) (6 ist Teiler von 8*12) (96/6=16)

SATZ: Wenn a entweder ein Teiler von b oder ein Teiler von c oder eine Teiler von beiden ist, so ist a auch ein Teiler des Produktes „b * c“.

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Mit Hilfe einer Tabelle überprüfen wir das für die Zahlen a = 1, 2, ..., 12

„b = 8“ und „c = 12“

a	b	c	(b*c)
1	ja	ja	ja
2	ja	ja	ja
3	nein	ja	ja
4	ja	ja	ja
5	nein	nein	nein
6	nein	ja	ja
7	nein	nein	nein
8	ja	nein	ja
9	nein	nein	nein
10	nein	nein	nein
11	nein	nein	nein
12	nein	ja	ja

Das Beispiel ist natürlich kein mathematischer Beweis.

SATZ: Wenn a entweder ein Teiler von b oder ein Teiler von c oder eine Teiler von beiden ist, so ist a auch ein Teiler des Produktes „b * c“.

Wenn wir also wissen, dass a ein Teiler von b ist, so wissen wir damit auch, dass jedes Produkt, das den Faktor b enthält, ebenfalls durch a teilbar ist.

BM1045

Teilbarkeit durch 10 und 5

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Wenn wir die Frage beantworten wollen, ob eine natürliche Zahl a Teiler einer natürlichen Zahl b ist, müssen wir untersuchen, ob es eine natürliche Zahl x gibt, für die „a * x = b“ gilt.

Dazu versuchen wir, diese Zahl x zu ermitteln, indem wir die Division „b : c“ (a≠0) auf Ausführbarkeit prüfen. Erhalten wir einen Quotienten, so wissen wir, dass es eine solche Zahl x gibt, sie ist nämlich gleich diesem Quotienten.

Wir können aber auch oftmals feststellen, ob es eine solche Zahl x gibt, ohne dass wir sie ausrechnen. Dazu dienen uns besonders bei größeren Zahlen Sätze über die Teilbarkeit.

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Alle durch 10 teilbaren Zahlen b lassen sich in der Form „10 * x = b“ darstellen.

Der folgende Satz gilt für alle natürliche Zahlen:

SATZ: Alle Zahlen, deren Ziffern auf „0“ enden, sind durch 10 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 10 teilbar.

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Alle durch 5 teilbaren Zahlen b lassen sich in der Form „5 * x = b“ darstellen.

Satz: Alle Zahlen, deren Ziffer auf „0“ oder „5“ enden, sind durch 5 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 5 teilbar.

BM1046

Teilbarkeit durch 2, 4 und 8

Wir können leicht nachprüfen, dass die Zahlen 0, 2, 4, 6, 8 und 10 durch 2 teilbar sind.

Außerdem ist jedes Vielfache von 10 durch 2 teilbar, denn jedes Vielfache von 10 ist ein Produkt „10 * x“. Da der Faktor 10 durch 2 teilbar ist, ist nach dem Satz aus Übung BM1044 (SATZ: Wenn a entweder ein Teiler von b oder ein Teiler von c oder eine Teiler von beiden ist, so ist a auch ein Teiler des Produktes „b * c“.) auch das ganze Produkt durch 2 teilbar.

Da nun jede Zahl als Summe eines Vielfachen von 10 und einer der Zahl 0, 1, ..., 9 dargestellt werden kann, brauchen wir nur die Teilbarkeit der Einer zu untersuchen.

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a)

96 ist durch 2 teilbar

96 = 90 + 6

90 ist als Vielfaches von 10 durch 2 teilbar.

6 ist nach unserer Überprüfung auch durch 2 teilbar, also ist nach dem Satz aus Übung BM1042 (SATZ: Wenn a ein Teiler sowohl von b als auch von c ist, so ist a auch ein Teiler der Summe „b + c“.) auch 90 + 6 durch 2 teilbar.

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b)

1.035 ist nicht durch 2 teilbar.

1.035 = 1.030 + 5

1.030 ist als Vielfaches von 10 durch 2 teilbar.

Wäre 1.035 auch durch 2 teilbar, so müsste nach dem Satz aus Übung BM1043 (SATZ: Wenn a ein Teiler sowohl von b als auch von c ist, so ist a auch ein Teiler der Differenz „b - c“.) auch 1.035 - 1.030 = 5 durch 2 teilbar sein. Das ist aber nicht der Fall, also ist 1.035 nicht durch 2 teilbar.

BM1047

Satz: Alle Zahlen, deren Ziffern auf „0“, „2“, „4“, „6“ oder „8“ enden, sind durch 2 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 2 teilbar.

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Da wir die durch 2 teilbaren Zahlen gerade Zahlen genannt haben, besagt dieser Satz, dass die geraden Zahlen stets eine der Endziffern „0“, „2“, „4“, „6“ oder „8“ besitzen.

BM1048

Teilbarkeit durch 4

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Ist a eine durch 4 teilbare Zahl, so endet die Ziffer von a auf „0“, „2“, „4“, „6“ oder „8“. Es sind aber nicht alle geraden Zahlen durch 4 teilbar. So ist z. B. 36 durch 4 teilbar, aber nicht 26 oder 86. Ebenso ist 20 durch 4 teilbar, aber nicht 70 oder 90.

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Jedes Vielfache von 100 ist durch 4 teilbar. Es ist nämlich 4 ein Teiler von 100 und damit nach dem Satz aus Übung BM1044 (SATZ: Wenn a entweder ein Teiler von b oder ein Teiler von c oder eine Teiler von beiden ist, so ist a auch ein Teiler des Produktes „b * c“.) auch ein Teiler aller Vielfachen von 100.

Wir brauchen also bei einer Zahl, die größer als 100 ist, nur die aus den letzten beiden Ziffern dargestellte Zahl auf Teilbarkeit durch 4 zu untersuchen.

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Die Zahl 87.748 ist durch 4 teilbar, weil 87.700 als Vielfaches von 100 und auch 48 durch 4 teilbar sind. Daher ist nach dem Satz aus Übung BM1042 (SATZ: Wenn a ein Teiler sowohl von b als auch von c ist, so ist a auch ein Teiler der Summe „b + c“.) auch ihre Summe 87.748 durch 4 teilbar.

Die Zahl 87.778 ist nicht durch 4 teilbar, weil zwar 87.770 durch 4 teilbar ist, nicht aber 78.

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Satz: Alle Zahlen, bei denen die letzten beiden Ziffern eine durch 4 teilbare Zahl darstellen, sind durch 4 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 4 teilbar.

BM1049

Teilbarkeit durch 8

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Analog zur Teilbarkeit durch 4 aus der vorhergehenden Übung ergibt sich der Satz für die Teilbarkeit durch 8

Satz: Alle Zahlen, bei denen die letzten drei Grundziffern eine durch 8 teilbare Zahl darstellen, sind durch 8 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 8 teilbar.

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1.000 ist durch 8 teilbar

1.000 : 8 = 125

BM1050

Teilbarkeit durch 9, 3 und 6

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Bei der Division durch 9 mit Rest lassen die Zahlen 10; 100; 1.000; 10.000 usw. den Rest 1.

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10 = 9 * 1 + 1

100 = 9 * 11 + 1

1000 = 9 * 111 + 1

10000 = 9 * 1111 + 1

usw.

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Dividieren wir nun Vielfache von 10; 100; 1.000 usw. mit Rest durch 9, so bleiben die gleichen Vielfachen von 1 als Rest.

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Wir wollen feststellen, ob die Zahl 7.146 durch 9 teilbar ist. Um diese Frage zu beantworten, zerlegen wir die gegebene Zahl folgendermaßen:

7146 = 7000 + 100 + 40 + 6

7000 = 9 * 777 + 7

100 = 9 * 11 + 1

40 = 9 * 4 + 4

6 = 9 * 0 + 6

+ + + + + + (Nun bilden wir auf beiden Seiten die Summen.)

7146 = 9 * 792 + 18

Die Summe 18 der Reste ist eine durch 9 teilbare Zahl.

Ebenso ist 9 * 792 durch 9 teilbar.

Diese Reste werden aber auch durch die Grundziffern der gegebenen Zahl dargestellt, ihre Summe nennen wir Quersumme

Die Quersumme von 7.146 ist also 7+1+4+6=18

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Satz: Alle Zahlen, deren Quersumme durch 9 teilbar ist, sind durch 9 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 9 teilbar.

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Was für die Teilbarkeit durch 9 gilt, gilt analog auch für die Teilbarkeit durch 3.

Ebenso wie bei der Division mit Rest durch 9 lassen die Zahlen 10; 100; 1000 usw. auch bei der Division mit Rest durch 3 den Rest 1.

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10 = 3 * 3 + 1

100 = 3 * 33 + 1

1000 = 3 * 333 + 1

10000 = 3 * 3333 + 1

usw.

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Durch die gleiche Überlegung, wie sie für die Teilbarkeit durch 9 (s. o.) durchgeführt wurde, finden wir einen Satz für die Teilbarkeit einer Zahl durch 3.

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Satz: Alle Zahlen, deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind durch 3 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 3 teilbar.

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Teilbarkeit durch 6

Alle durch 6 teilbaren Zahlen b lassen sich in der Form 6 * x = b darstellen.

Das ist dasselbe wie 2 * 3 * x = b.

Diese Zahlen sind also sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar.

Umgekehrt lässt sich aber auch jede natürliche Zahl b, die durch 2 und durch 3 teilbar ist, in der Form

2 * 3 * x = b darstellen.

Es gibt also dann eine natürliche Zahl x, so dass gilt:

6 * x = b.

Durch Zusammenfassen der Sätze für die Teilbarkeit durch 2 und durch 3 ergibt sich ein Satz für die Teilbarkeit einer Zahl durch 6.

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Satz: Alle Zahlen, die gerade sind und deren Quersumme durch 3 teilbar ist, sind durch 6 teilbar. Alle anderen Zahlen sind nicht durch 6 teilbar.

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