Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 067b

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Lección 067

Mathematik auf Deutsch - 17

BM801 - BM810

BM801

Es sollen folgende Aufgaben gelöst werden:

a) ${\tfrac {3}{4}}$ von 12 Euro

Wir rechnen:

${\tfrac {1}{4}}$ von 12 Euro sind 3 Euro. Wir haben 12 Euro in 4 gleiche Teile zerlegt.

${\tfrac {3}{4}}$ von 12 Euro sind dann 3 * 3 Euro Euro, also 9 Euro.

---

b) Wie viel Zentimeter sind ${\tfrac {2}{5}}$ m?

Wir rechnen:

1 m = 100 cm. Wir lösen dazu die Aufgabe ${\tfrac {2}{5}}$ von 100 cm.

${\tfrac {1}{5}}$ von 100 cm sind 20 cm. Wir haben 100 cm in 5 gleiche Teile zerlegt.

${\tfrac {2}{5}}$ von 100 cm sind 2 * 20 cm = 40 cm, also ${\tfrac {2}{5}}$ = 40 cm

BM802

Vergleiche folgende Brüche miteinander:

a) ${\tfrac {2}{5}}$, ${\tfrac {4}{5}}$

b) ${\tfrac {11}{17}}$, ${\tfrac {8}{17}}$

c) ${\tfrac {1}{9}}$, ${\tfrac {4}{9}}$, ${\tfrac {10}{9}}$, ${\tfrac {5}{9}}$, ${\tfrac {3}{9}}$

---

Von Brüchen mit gleichen Nennern ist der Bruch der größere, dessen Zähler größer ist; denn mit dem größeren von zwei gleichnamigen Brüchen können mehr gleiche Bruchteile eines Ganzen veranschaulicht werden.

Lösung BM802
a) ${\tfrac {2}{5}}$ < ${\tfrac {4}{5}}$ b) ${\tfrac {11}{17}}$ > ${\tfrac {8}{17}}$ c) ${\tfrac {1}{9}}$ < ${\tfrac {3}{9}}$ < ${\tfrac {4}{9}}$ < ${\tfrac {5}{9}}$ < ${\tfrac {10}{9}}$

BM803

Beim Vergleich von gleichnamigen Brüchen ${\tfrac {a}{b}}$ und ${\tfrac {c}{b}}$ (b ≠ 0) gilt:

1.) ${\tfrac {a}{b}}$ < ${\tfrac {c}{b}}$, wenn a < c

2.) ${\tfrac {a}{b}}$ > ${\tfrac {c}{b}}$, wenn a > c

3.) ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{b}}$, wenn a = c.

BM804

250

Addieren und Subtrahieren von gleichnamigen Brüchen

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche

---

Wir veranschaulichen die Brüche ${\tfrac {4}{8}}$ und ${\tfrac {3}{8}}$ an einem Kreis.

Beide Bruchteile stellen zusammen ${\tfrac {7}{8}}$ der Kreisfläche dar.

Wir erkennen daraus: Wenn wir die Summe der Brüche ${\tfrac {4}{8}}$ und ${\tfrac {3}{8}}$ ermitteln wollen, so bilden wir die Summe der Zähler 4 und 3 und lassen den Nenner unverändert:

${\tfrac {4}{8}}$ + ${\tfrac {3}{8}}$ = ${\tfrac {7}{8}}$

BM805

Bild 1

Bild 2

Wir veranschaulichen die Brüche ${\tfrac {5}{8}}$ (Bild 1) und ${\tfrac {3}{8}}$ (Bild 2) an zwei Kreisen.

Der Teil, der ${\tfrac {5}{8}}$ der Kreisfläche veranschaulicht, ist um ${\tfrac {2}{8}}$ größer als der Teil, der ${\tfrac {3}{8}}$ der Kreisfläche veranschaulicht.

---

Wir erkenne daraus:

Wenn wir die Differenz der Brüche ${\tfrac {5}{8}}$ und ${\tfrac {3}{8}}$ ermitteln wollen, so bilden wir die Differenz der Zähler 5 und 3 und lassen den Nenner unverändert:

${\tfrac {5}{8}}$ - ${\tfrac {3}{8}}$ = ${\tfrac {5-3}{8}}$ = ${\tfrac {2}{8}}$

BM806

Die Subtraktion gleichnamiger Brüche ist die Umkehrung der Addition gleichnamiger Brüche.

Statt:

${\tfrac {a}{c}}$ + ${\tfrac {x}{c}}$ = ${\tfrac {b}{c}}$ schreiben wir:

${\tfrac {x}{c}}$ = ${\tfrac {b}{c}}$ - ${\tfrac {a}{c}}$.

Es ist: ${\tfrac {x}{c}}$ = ${\tfrac {b-a}{c}}$, denn

${\tfrac {a}{c}}$ + ${\tfrac {b-a}{c}}$ = ${\tfrac {b}{c}}$ (c ≠ 0)

${\tfrac {a}{c}}$ + ${\tfrac {c}{c}}$ - ${\tfrac {a}{c}}$ = ${\tfrac {b}{c}}$

${\tfrac {b}{c}}$ = ${\tfrac {b}{c}}$

BM807

Gleichnamige Brüche werden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält.

Gleichnamige Brüche ${\tfrac {a}{b}}$ und ${\tfrac {c}{b}}$ (b ≠ 0) lassen sich nur subtrahieren, wenn ${\tfrac {a}{b}}$ > ${\tfrac {c}{b}}$ oder ${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {c}{b}}$ ist.

Die Differenz ist dann eindeutig bestimmt.

BM808

${\tfrac {4}{4}}$ = 1

Echte und unechte Brüche

---

Brüche, deren Zähler und Nenner gleich sind, können wir durch ein Ganzes veranschaulichen.

---

${\tfrac {4}{4}}$ Kreis = 1 Kreis

${\tfrac {5}{5}}$ kg = 1 kg

${\tfrac {8}{8}}$ L = 1 L

BM809

Brüche, deren Zähler kleiner sind als der Nenner, heißen echte Brüche. Mit Teilen, die kleiner als ein Ganzes sind, könen wir echte Brüche veranschaulichen.

Brüche, deren Zähler größer als der Nenner oder gleich dem Nenner ist, heißen unechte Brüche. Mit Teilen, die größer oder gleich einem Ganzen sind, können wir unechte Brüche veranschaulichen.

---

Wodurch unterschieden sichdie folgenden Brüche? Vergleich dazu jeweils den Zähler und den Nenner eines Bruches miteinander.

${\tfrac {1}{3}}$, ${\tfrac {3}{2}}$, ${\tfrac {3}{5}}$

${\tfrac {7}{5}}$, ${\tfrac {11}{20}}$, ${\tfrac {13}{10}}$

${\tfrac {113}{224}}$, ${\tfrac {125}{78}}$

${\tfrac {38}{350}}$, ${\tfrac {16}{9}}$

Lösung BM809
echte Brüche: ${\tfrac {1}{3}}$, ${\tfrac {3}{5}}$, ${\tfrac {11}{20}}$, ${\tfrac {113}{224}}$, ${\tfrac {38}{350}}$ --- unechte Brüche ${\tfrac {3}{2}}$, ${\tfrac {7}{5}}$, ${\tfrac {13}{10}}$, ${\tfrac {125}{78}}$, ${\tfrac {16}{9}}$

BM810

${\tfrac {24}{6}}$ h = 4 h

${\tfrac {35}{7}}$ kg = 5 kg

${\tfrac {132}{11}}$ m = 12 m

${\tfrac {50}{5}}$ Euro = 10 Euro

BM811 - BM820

BM811

Welche Bedingungen müssen für m und n (n ≠ 0) gelten, damit der Bruch ${\tfrac {m}{n}}$

a) ein echter Bruch,

b) ein unechter Bruch ist?

Lösung BM811
a) m < n b) m > n

BM812

Es sollen unechte Brüche in eine Summe aus einem ganzzahligen Bestandteil (natürliche Zahl) und einem echten Bruch umgewandelt werden.

---

${\tfrac {7}{4}}$ m = ${\tfrac {4}{4}}$ m + ${\tfrac {3}{4}}$ m

${\tfrac {7}{4}}$ m = 1 m + ${\tfrac {3}{4}}$ m

---

${\tfrac {23}{5}}$ km = ${\tfrac {20}{5}}$ km + ${\tfrac {3}{5}}$ km

${\tfrac {23}{5}}$ km = 4 km + ${\tfrac {3}{5}}$ km

---

Bei solchen Summen lässt man das Pluszeichen häufig weg:

${\tfrac {7}{4}}$ m = 1 ${\tfrac {3}{4}}$ m

${\tfrac {23}{5}}$ km = 4 ${\tfrac {3}{5}}$ km

---

1 ${\tfrac {3}{4}}$ m bedeutet also 1 m plus ${\tfrac {3}{4}}$ m.

4 ${\tfrac {3}{5}}$ km bedeutet also 4 km plus ${\tfrac {3}{5}}$ km

BM813

Es sollen Summen aus einer natürlichen Zahl und einem echten Bruch in unechte Brüche umgewndelt werden.

2 Äpfel + ${\tfrac {1}{2}}$ Apfel = ${\tfrac {4}{2}}$ Äpfel + ${\tfrac {1}{2}}$ Apfel

2 Äpfel + ${\tfrac {1}{2}}$ Apfel = ${\tfrac {5}{2}}$ Äpfel

---

7 L + ${\tfrac {3}{8}}$ L = ${\tfrac {56}{8}}$ L + ${\tfrac {3}{8}}$ L

7 L + ${\tfrac {3}{8}}$ L = ${\tfrac {59}{8}}$ L

BM814

Wandle die folgenden unechten Brüche in Summen um!

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${\tfrac {7}{5}}$ kg

${\tfrac {13}{6}}$ h

${\tfrac {25}{12}}$ min

---

${\tfrac {72}{8}}$ m

${\tfrac {106}{20}}$ km

${\tfrac {75}{10}}$ L

BM815

Wandle die folgenden unechten Brüche in Summen um!

---

${\tfrac {21}{10}}$ kg

${\tfrac {3}{2}}$ h

${\tfrac {14}{6}}$ min

---

${\tfrac {64}{8}}$ m

${\tfrac {304}{50}}$ km

${\tfrac {27}{25}}$ g

BM816

Verwandle in unechte Brüche!

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1 ${\tfrac {1}{3}}$ m

1 ${\tfrac {5}{11}}$ kg

1 ${\tfrac {3}{5}}$ km

---

11 ${\tfrac {7}{10}}$ L

4 ${\tfrac {5}{12}}$ h

8 ${\tfrac {2}{9}}$ cm

BM817

Monika braucht für ihren Schulweg ${\tfrac {3}{4}}$ h.

Peter benötigt dazu eine Viertelstunde weniger.

Wie viel Minuten läuft Peter bis zur Schule.

Lösung BM817
${\tfrac {3}{4}}$ - ${\tfrac {1}{4}}$ = ${\tfrac {2}{4}}$ h = 30 h

BM818

Auf einen 5-t-Lkw können noch 2 ${\tfrac {3}{4}}$ t SAnd zugeladen werden. Wie viel Kilogramm Dand befinden sich bereits auf dem Lkw?

BM819

Vervielfachen von Brüchen

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Die Multiplikation natürlicher Zahlen lässt sich als verkürzte Addition natürlicher Zahlen auffassen.

4 * 3 kann auch geschrieben werden als 3 + 3 + 3 + 3

Ähnlich können wir für die Addition:

${\tfrac {1}{3}}$ + ${\tfrac {1}{3}}$ + ${\tfrac {1}{3}}$ + ${\tfrac {1}{3}}$ + ${\tfrac {1}{3}}$ mit Hilfe des Zeichens „*“ kürzer schreiben:

5 * ${\tfrac {1}{3}}$

Wir sagen:

„Der Bruch ${\tfrac {1}{3}}$ ist verfünffacht worden.“

BM820

Der Bruch ${\tfrac {1}{6}}$ soll verfünffacht werden. Das bedeutet:

${\tfrac {1}{6}}$ + ${\tfrac {1}{6}}$ + ${\tfrac {1}{6}}$ + ${\tfrac {1}{6}}$ + ${\tfrac {1}{6}}$

Wir schreiben kürzer:

5 * ${\tfrac {1}{6}}$

5 * ${\tfrac {1}{6}}$ = ${\tfrac {1}{6}}$ + ${\tfrac {1}{6}}$ + ${\tfrac {1}{6}}$ + ${\tfrac {1}{6}}$ + ${\tfrac {1}{6}}$

5 * ${\tfrac {1}{6}}$ = ${\tfrac {1+1+1+1+1}{6}}$ = ${\tfrac {5}{6}}$

BM821 - BM830

BM821

Der Bruch ${\tfrac {6}{7}}$ soll verdreifacht werden.

3 * ${\tfrac {6}{7}}$ = ${\tfrac {6}{7}}$ + ${\tfrac {6}{7}}$ + ${\tfrac {6}{7}}$

3 * ${\tfrac {6}{7}}$ = ${\tfrac {6+6+6}{7}}$ = ${\tfrac {18}{7}}$

3 * ${\tfrac {6}{7}}$ = ${\tfrac {3*6}{7}}$ = ${\tfrac {18}{7}}$

BM822

Löse folgende Aufgaben und erläutere den Lösungsweg!

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a) 4 * ${\tfrac {1}{9}}$

b) 6 * ${\tfrac {3}{4}}$

c) 12 * ${\tfrac {3}{8}}$

d) 10 * ${\tfrac {5}{11}}$

e) 15 * ${\tfrac {2}{15}}$

Lösung BM822

a) 4 * ${\tfrac {1}{9}}$ = ${\tfrac {4*1}{9}}$ 4 * ${\tfrac {1}{9}}$ = ${\tfrac {4*1}{9}}$ --- b) 6 * ${\tfrac {3}{4}}$ = ${\tfrac {6*3}{4}}$ 6 * ${\tfrac {3}{4}}$ = ${\tfrac {18}{4}}$ --- c) 12 * ${\tfrac {3}{8}}$ = ${\tfrac {12*3}{8}}:12*<math>{\tfrac {3}{8}}$ = ${\tfrac {36}{8}}:---:d):10*<math>{\tfrac {5}{11}}$ = ${\tfrac {10*5}{11}}$ 10 * ${\tfrac {5}{11}}$ = ${\tfrac {50}{11}}$ --- e) 15 * ${\tfrac {2}{15}}$ = ${\tfrac {15*2}{15}}$ 15 * ${\tfrac {2}{15}}$ = ${\tfrac {30}{15}}$

BM823

Zusammenfassung

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Gleichnamige Brüche werden addiert, indem man die Zähler addiert und den Nenner (Nenner verschieden von Null) eibehält. Die Summe gleichnamiger Brüche ist eindeutig bestimmt.

Gleichnamige Brüche weden subtrahiert, indem man die Zähler subtrahiert und den Nenner (Nenner verschieden von Null) beibehält.. Gleichnamige Brüche lassen sich nur dann subtrahieren, wenn der Minuend größer ist als der Subtrahend oder gleich dem Subtrahenden ist. Die Differenz ist dann eindeutig bestimmt.

Das Vielfache von Brüchen lässt sich als verkürzte Addition von gleichnamigen Brüchen auffassen.

BM824

Zehnerbrüche

${\tfrac {1}{10}}$ und ${\tfrac {1}{100}}$

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Wir teilen eine Strecke, die wir als Ganzes, wir sagen als Einheitsstrecke, auffassen, in zehn gleiche Teilstrecken. Jede Teilstrecke unterteilen wir wieder in zehn gleiche Teilstrecken.

WEnn wir die Einheitsstrecke genügend groß wählen, könenn wir auch jede der zuletzt erhaltene Teilstrecke wieder in zehn gleiche Teilstrecken teilen.

Das können wir beliebig oft wiederholen. Auf diese Weise erhalten wir Brüche wie:

${\tfrac {1}{10}}$ (ein Zehntel)

${\tfrac {1}{100}}$ (ein Hundertstel)

${\tfrac {1}{1000}}$ (ein Tausendstel)

${\tfrac {1}{10.000}}$ (ein Zehntausendstel) usw. ...

---

Wir können die Nenner dieser Brüche auch in Potenzschreibweise darstellen:

${\tfrac {1}{10}}$ = ${\tfrac {1}{10^{1}}}$

${\tfrac {1}{100}}$ = ${\tfrac {1}{10^{2}}}$

${\tfrac {1}{1000}}$ = ${\tfrac {1}{10^{3}}}$

${\tfrac {1}{10.000}}$ = ${\tfrac {1}{10^{4}}}$ usw. ...

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Brüche, deren Nenner gleich 10 oder gleich einer Zehnerpotenz sind heißen Zehnerbrücher.

BM825

Stellentafel

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Die Zahlen 2.000; 300; 40, 5 und 2.379 sind in einer Stellentafel eingetragen.

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103	102	101	100
1000	100	10	1
2	0	0	0
	3	0	0
		4	0
			5
2	3	7	9

BM826

Stellentafel

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Um Zehnerbrüche in einer Stellentafel darstellen zu können, erweitern wir die Stellentafel nach rechts auf Zehntel, Hundertstel, Tausendstel usw.

In der folgenden Stellentafel sind folgende Zehnerbrüche dargestellt:

${\tfrac {1}{10}}$

${\tfrac {2}{10}}$

${\tfrac {24}{100}}$

${\tfrac {999}{1000}}$

${\tfrac {1025}{10000}}$

101	100	${\tfrac {1}{10^{1}}}$	${\tfrac {1}{10^{2}}}$	${\tfrac {1}{10^{3}}}$	${\tfrac {1}{10^{4}}}$
10	1	${\tfrac {1}{10}}$	${\tfrac {1}{100}}$	${\tfrac {1}{100}}$	${\tfrac {1}{10000}}$
		1
		2
		2	4
		9	9	9
		1	0	2	5

BM827

Komma

---

Zehnerbrüche können wir mit Hilfe der Kommaschreibweise auch wie folgt darstellen:

${\tfrac {1}{10}}$ = 0,1

${\tfrac {2}{10}}$ = 0,2

${\tfrac {3}{10}}$ = 0,3 usw. ...

---

${\tfrac {1}{100}}$ = 0,01

${\tfrac {2}{100}}$ = 0,02

${\tfrac {24}{100}}$ = 0,24

${\tfrac {3}{100}}$ = 0,03 usw. ...

---

${\tfrac {1}{1000}}$ = 0,001

${\tfrac {2}{1000}}$ = 0,002

${\tfrac {3}{100}}$ = 0,003 usw. ...

${\tfrac {999}{1000}}$ = 0,999

BM828

Dezimalbrüche

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Zehnerbrüche, die mit Hilfe der Kommaschreibweise im dekadischen Positionssystem dargestellt sind, heißen Dezimalbrüche.

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Es sollen folgende Zehnerbrüche als Dezimalbrüche dargestellt werden:

540,2050

1,0456

0,0008

22,1049

102	101	100	${\tfrac {1}{10^{1}}}$	${\tfrac {1}{10^{2}}}$	${\tfrac {1}{10^{3}}}$	${\tfrac {1}{10^{4}}}$
100	10	1	${\tfrac {1}{10}}$	${\tfrac {1}{100}}$	${\tfrac {1}{100}}$	${\tfrac {1}{10000}}$
5	4	0	2	0	5	0
		1	0	4	5	6
		0	0	0	0	8
	2	2	1	0	4	9

BM829

Man kann die Dezimalbrüche nach der Anzahl der Stellen nach dem Komma (Dezimalstellen) einteilen.

Dezimalbrüche, die die gleiche Anzahl der Dezimalstellen haben, besitzen in der Darstellung als Zehnerbrüche gleiche Nenner.

Dezimalbrüche mit gleicher Anzahl der Dezimalstellen heißen daher gleichnamige Dezimalbrüche.

---

Beispiel:

${\tfrac {2}{100}}$ und ${\tfrac {24}{100}}$ sind gleichnamig

${\tfrac {1}{1000}}$ und ${\tfrac {999}{1000}}$ sind gleichnamig

${\tfrac {2}{100}}$ und :${\tfrac {7}{10}}$ sind nicht gleichnamig (ungleichnamig)

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Dezimalzahlen nennt man die Zahlen, in denen ein Komma vorkommt (zum Beispiel 3,4 oder 0,2).

Die Stellen rechts vom Komma nennt man Dezimalstellen.

Die erste Nachkommastelle steht für die Zehntel, die zweite steht für Hundertstel, die dritte für Tausendstel usw.

BM830

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Stellenzahl des Dezimalbruches nach dem Komma und der Zehnerpotenz des Nenners?

---

Beispiel:

${\tfrac {7}{10}}$ = ${\tfrac {7}{10^{1}}}$ = 0,7

${\tfrac {22}{10}}$ = ${\tfrac {22}{10^{1}}}$ = 2,2

${\tfrac {1}{10}}$ = ${\tfrac {1}{10^{1}}}$ = 0,1

---

${\tfrac {1}{100}}$ = ${\tfrac {1}{10^{2}}}$ = 0,01

${\tfrac {24}{100}}$ = ${\tfrac {24}{10^{2}}}$ = 0,24

${\tfrac {3,37}{100}}$ = ${\tfrac {3,37}{10^{2}}}$ = 3,37

---

${\tfrac {1}{1000}}$ = ${\tfrac {1}{10^{3}}}$ = 0,001

${\tfrac {2}{1000}}$ = ${\tfrac {2}{10^{3}}}$ = 0,002

${\tfrac {999}{1000}}$ = ${\tfrac {999}{10^{3}}}$ = 0,999

Lösung BM830

${\tfrac {7}{10^{1}}}$ = 0,7 (zehn hoch EINS, also EINE Nachkommastelle) ${\tfrac {22}{10^{1}}}$ = 2,2 (zehn hoch EINS, also EINE Nachkommastelle) --- ${\tfrac {1}{10^{2}}}$ = 0,01 (zehn hoch ZWEI, also ZWEI Nachkommastelle) ${\tfrac {3,37}{10^{2}}}$ = 3,37 (zehn hoch ZWEI, also ZWEI Nachkommastelle) --- ${\tfrac {2}{10^{3}}}$ = 0,002 (zehn hoch DREI, also DREI Nachkommastelle) ${\tfrac {999}{10^{3}}}$ = 0,999 (zehn hoch DREI, also DREI Nachkommastelle)

BM831 - BM840

BM831

Führende Nullen

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Führende Nullen werden nicht mitgeschrieben.

Führende Nullen werden üblicherweise weggelassen.

12 = 012 = 000012

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Nullen nach dem Komma

Bei Dezimalzahlen werden Nullen nach dem Komma üblicherweise weggelassen, wenn ihnen keine andere Ziffer mehr folgt.

12 = 12,0 = 12,00000 = 00012,00000

0,7 = 0,70000 = 00000,70000

0,65 = 0,65000 = 000,65000

10,03 = 000010,030000

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Eine Ausnahme bilden die Angaben von Messwerten. Hier wird die Null nach dem Komma oft zusätzlich geschrieben, um die Genauigkeit der Messung zu veranschaulichen.

Beispiel: Eine Länge wird mit 1,200 m gemessen. Die zwei zusätzlichen Nullen zeigen hier, dass die Messung auf drei Stellen hinter dem Komma genau war.

67,1000 kg

Auch bei Geldangaben wird die Null nach dem Komma geschrieben

56,50 Euro statt 56,5 Euro

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In dern USA werden führende Nullen vor dem Komma auch manchmal weggelassen (natürlich wird in den USA statt des Kommas ein Punkt verwendet)

0,1 (Europa) = 0.1 (USA) = .1 USA

.07 (USA)

Taschenrechner in Europa arbeiten mit dem Punkt (Dezimalpunkt) statt dem Komma (Dezimalkomma)

Bei Taschenrechnern kann man bie der Eingabe von Zahlen auch die führende Null vor dem Dezimalpunkt weglassen

.043 (statt 0,043)

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Eine führende Null ist eine ganz links stehende Null in Zahlenwerten, die nur eine Füllfunktion hat. Das bedeutet, dass eine führende Null keine Bedeutung für den Wert einer Zahl hat.

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Typenangaben erfolgen oft mit führender Null, z. B. 001, aber das hat nichts mehr mit Mathematik zu tun.

Datumsangaben werden oft mit einer führenden Null zum Auffüllen geschrieben.

Beispiel: 04.03.1939

Es ist aber besser diese Nullen vor Datumsangaben wegzulassen, denn es gibt zwar einen 3. aber keinen 03.

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Wie viel ist 3 * 2 + 1 * 0 ?

Lösung BM831
3 * 2 + 1 * 0 = 6 + 0 3 * 2 + 1 * 0 = 6

BM832

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Dezimalbrüche

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Wir können die Addition gleichnamiger Dezimalbrüche auf die Addition gleichnamiger zehnerbrüche zurückführen. Das ist möglich, da sich Dezimalbrüche als zehnerbrüche darstellen lassen und da die Addition gleichnamiger zehnerbrüche immer eindeutig ausführbar ist.

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a)

1,17 + 0,34 = ${\tfrac {117}{100}}$ + ${\tfrac {34}{100}}$

1,17 + 0,34 = ${\tfrac {151}{100}}$

1,17 + 0,34 = 1,51

---

b)

13,005 + 2,346 + 0,079 + 113,546 = ${\tfrac {13005}{1000}}$ + ${\tfrac {2346}{1000}}$ + ${\tfrac {79}{1000}}$ + ${\tfrac {113546}{1000}}$

13,005 + 2,346 + 0,079 + 113,546 = ${\tfrac {128976}{1000}}$

13,005 + 2,346 + 0,079 + 113,546 = 128,976

BM833

Bei der schriftlichen Addition gleichnamiger Dezimalbrüche können wir ähnlich verfahren, wei bei der schriftlichen Addition natürlicher Zahlen.

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a)

 1,17
+0,34 
-----
 1,51

---

b)

  13,005
   2,346
   0,079
+113,546
--------
 128,976

BM834

Wir können die Subraktion gleichnamiger Dezimalbrüche auf die Subtraktion gleichnamiger Zehnerbrüche zurückführen.

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Wenn die Subtraktion gleichnamiger Zehnerbrüche ausfürhbar ist, so ist auch die Subtraktion entsprechender Dezimalbrüche ausfürhbar.

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a

1,44 - 0,35 = ${\tfrac {144}{100}}$ - ${\tfrac {35}{100}}$

1,44 - 0,35 = ${\tfrac {109}{100}}$

1,44 - 0,35 = 1,09

---

56,098 - 1,567 - 0,017 - 0,906 - 13,500 = ${\tfrac {56098}{1000}}$ + ${\tfrac {1567}{1000}}$ + ${\tfrac {17}{1000}}$ + ${\tfrac {906}{1000}}$ + ${\tfrac {13500}{1000}}$

56,098 - 1,567 - 0,017 - 0,906 - 13,500 = ${\tfrac {40108}{1000}}$

56,098 - 1,567 - 0,017 - 0,906 - 13,500 = 40,108

BM835

Bei der schriftlichen Subtraktion gleichnamiger Dezimalbrüche können wir auch ähnlich verfahren, wie bei der schriftlichen Subtraktion natürlicher Zahlen.

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a)

 1,44
-0,35
-----
 1,09

---

b)

 56,098
- 1,567
- 0,017
- 0,906
-13,500
-------
 40,108

BM836

Vervielfachen von Dezimalbrüchen

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Das Vervielfachen von Dezimalbrüchen lässt sich auf das Vervielfachen von Zehnerbrüchen zurückführen.

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a)

3 * 0,7 = 0,7 + 0,7 + 0,7

3 * 0,7 = ${\tfrac {7}{10}}$ + ${\tfrac {7}{10}}$ + ${\tfrac {7}{10}}$

3 * 0,7 = ${\tfrac {7+7+7}{10}}$

3 * 0,7 = ${\tfrac {3*7}{10}}$

3 * 0,7 = ${\tfrac {21}{10}}$

3 * 0,7 = 2,1

oder kürzer:

3 * 0,7 = 3 * ${\tfrac {7}{10}}:3*0,7=<math>{\tfrac {3*7}{10}}$

3 * 0,7 = ${\tfrac {21}{10}}$

3 * 0,7 = 2,1

---

b)

4 * 2,9 = 2,9 + 2,9 + 2,9 + 2,9

4 * 2,9 = ${\tfrac {29}{10}}$ + ${\tfrac {29}{10}}$ + ${\tfrac {29}{10}}$ + ${\tfrac {29}{10}}$

4 * 2,9 = ${\tfrac {29+29+29+29}{10}}$

4 * 2,9 = ${\tfrac {4*29}{10}}$

4 * 2,9 = ${\tfrac {116}{10}}$

4 * 2,9 = 11,6

oder kürzer:

4 * 2,9 = 4 * ${\tfrac {29}{10}}$

4 * 2,9 = ${\tfrac {4*29}{10}}$

4 * 2,9 = ${\tfrac {116}{10}}$

4 * 2,9 = 11,6

BM837

Löse folgende Aufgaben und erläutere den Lösungsweg!

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5 * 0,17

4 * 0,543

7 * 1,1

---

6 * 2,4

8 * 0,91

BM838

Zusammenfassung

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Zehnerbrüche sind Brüche, die im Nenner nur die Zahl 10 oder nur Potenzen von 10 enthalten.

Zehnerbrüche kann man als Dezimalbrüche schreiben.

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Dezimalbrüche, die die gleiche Anzahl von Dezimalstellen aufweisen, heißen gleichnamige Dezimalbrüche.

Die Rechenoperationen mit gleichnamigen Dezimalbrüchen lassen sich auf die entsprechenden Rechenoperationen mit gleichnamigen Zehnerbrüchen zurückführen.

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Beim schriftlichen Addieren und Subtrahieren von gleichnamigen Dezimalbrüchen müssen Komma undter Komma, d. h. zehntel unter Zehntel, Hundertstel unter Hundertstel, Tausendstel unter Tausendstel usw. stehen.

BM839

3 = 0003,000

3 * 10 = 30 = 00000030,00000

Beim Multiplizieren mit 10 verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach rechts.

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3 = 0003,000

3 * 100 = 30 = 000000300,00000

Beim Multiplizieren mit 100 verschiebt sich das Komma um zwei Stelle nach rechts.

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3 = 0003,000

3 * 1000 = 30 = 0000003000,00000

Beim Multiplizieren mit 1000 verschiebt sich das Komma um drei Stelle nach rechts.

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Die 10 hat eine Null. Beim Multiplizieren mit 10 verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach rechts.

Die 100 hat zwei Nullen. Beim Multiplizieren mit 100 verschiebt sich das Komma um zwei Stelle nach rechts.

Die 1000 hat drei Nullen. Beim Multiplizieren mit 1000 verschiebt sich das Komma um drei Stelle nach rechts.

BM840

Rechne!

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42 * 10

5,3 * 10

86,25 * 10

0,05 * 10

340,004 * 10

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42 * 100

5,3 * 100

86,25 * 100

0,05 * 100

340,004 * 100

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42 * 1000

5,3 * 1000

86,25 * 1000

0,05 * 1000

340,004 * 10

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10 * 10 * 10

100 * 10

120 * 10

BM841 - BM850

BM841

Ein Kleinflugzeug fliegt drei Stunden lang mit 140 km/h und mit einem Steuerkurs von 180°. Der Wind kommt aus Richtung 160° mit 50 km/h. Zeichne den Flugkurs des Flugzeuges!

Lösung BM841
Ein Kleinflugzeug fliegt drei Stunden lang mit 140 km/h und mit einem Steuerkurs von 180°. (Strecke f, blau) Der Wind kommt aus Richtung 160° mit 50 km/h. (Strecke g, schwarz) Resultierender Weg. (Strecke h, rot)

BM842

Ein Schiff fährt zwei Stunden lang Richtung Osten und legt dabei 26 km zurück. In dieser Zeit weht ein Nordwind mit 6 km/h. Zeichne den Weg des Schiffes!

Lösung BM842
Ein Schiff fährt zwei Stunden lang Richtung Osten und legt dabei 26 km zurück. (Strecke f, blau) In dieser Zeit weht ein Nordwind mit 6 km/h. (Strecke g, schwarz) Resultierender Weg. (Strecke h, rot)

BM843

Ein Schiff soll von A nach B und wieder zurück fahren. Wie weit dürfen A und B auseinanderliegen, damit das Schiff die Fahrt innerhalb von 12 Stunden schafft? Die Aufenthaltszeit bei B soll 0,4 Stunden betragen. Das Schiff fährt mit einer Geschwindigkeit von 12 Knoten. Der Fluss fließt mit einer Geschwindigkeit von 3 km/h.

Lösung BM842

1 kn (Knoten) = 1,852 km/h 12 * 1,852 = 22,224 km/h --- 1 h = 60 min 0,1 h = ${\tfrac {1}{10}}$ h 0,1 h = ${\tfrac {60}{10}}$ min 0,1 h = 6 min 0,4 h = 4 * 0,1 h = 4 * 6 min = 24 min --- In der Aufgabe ist nicht gesagt, ob B flussabwärts oder flussaufwärts von A liegt. Wir nehmen erst einmal an, dass B flussaufwärts von A liegt. Den umgekehrten Fall wollen wir erst zum Schluss untersuchen. --- Erste Überlegung: Das Schiff fährt in die eine Richtung gegen die Strömung, in die andere Richtung mit der Strömung. Der Effekt der Strömung hebt sich also auf. Deshalb müssen wir die Strömung gar nicht berücksichtigen. ABER HALT! Das ist ein Denkfehler. Wenn das Schiff gegen die Strömung 6 Stunden fahren würde und mit der Strömung 2 Stunden, dann würden sich die Effekte von Gegenströmung und Fahren mit der Strömung NICHT aufheben. Also rechnen wir lieber mit Berücksichtigung der Strömung. --- Los geht's: Das Schiff fährt 6 Uhr früh bei A ab, flussaufwärts Richtung B. Das Schiff fährt 22,224 km/h. Durch die entgegenkommende Strömung fährt das Schiff effektiv nur 19,224 km/h. Das Schiff fährt die Strecke s flussaufwärts. Geschwindigkeit v; Strecke s; Zeit t (t1 Zeit flussaufwärts; t2 Zeit flussabwärts) v = s : t // (Einheit: km/h) 19,224 km/h = s : t1 --- Rückfahrt flussabwärts von B nach A mit der Geschwindigkeit 22,224 + 3 = 25,224 km/h. 25,224 km/h = s : t2 //diese Gleichung stellen wir um s = 25,224 km/h * t2 s = 19,224 km/h * t1 // wir setzen das s aus beiden Gleichungen gleich 25,224 km/h * t2 = 19,224 km/h * t1 --- t1 + t2 + 0,4 = 12 h t1 = 12 h - 0,4 - t2 t1 = 11,6 h - t2 25,224 km/h * t2 = 19,224 km/h * t1 25,224 km/h * t2 = 19,224 km/h * (11,6 h - t2) 25,224 km/h * t2 = 222,9984 - 19,224 * t2 // + 19,224 * t2 44,448 * t2 = 222,9984 t2 = 5,02 h t1 = 12 h - 0,4 - t2 t1 = 12 h - 0,4 - 5,02 = 6,58 h Das Schiff fährt 6,58 h flussaufwärts, hat dort 24 min Aufenthalt und fährt dann wieder 5,02 h flussabwärts. Kontrolle: 6,58 + 0,4 + 5,02 = 12 h Flussaufwärts von A nach B fährt das Schiff v = s : t1 s = v * t1 s = 19,224 km/h * 6,58 h = 126,49 km Flussabwärts von B nach A fährt das Schiff s = v * t2 s = 25,224 km/h * 5,02 h = 126,62 km 126,49 km ≈ 126,62 km (Die Abweichung von 130 m sind Rundungsfehler.) Antwort: A und B dürfen maximal 126,5 km weit auseinanderliegen. --- Sollte im umgekehrten Fall B flussabwärts von A liegt, so fährt das Schiff die gleichen Strecken ab: jedoch zuerst mit der Zeit t2 = 5,02 h mit der Strömung flussabwärts mit 25,224 km/h. Und danach den Rückweg mit der Zeit t1 = 6,58 h gegen die Strömung flussaufwärts mit 19,224 km/h. Am Ergebnis ändert sich dadurch nichts. Antwort: A und B dürfen maximal 126,5 km weit auseinanderliegen.

BM844

Gugelhupf = Napfkuchen = Topfkuchen

Erweitern und Kürzen von Brüchen

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Ein Gugelhupf wird in 24 gleich große Stücke zerschnitten. Er enthält 12 Stücke Kuchen, demnach also ${\tfrac {12}{24}}$ des ganzen Kuchens.

${\tfrac {1}{2}}$ Gugelhupf ist ebenso viel Kuchen, wie ${\tfrac {12}{24}}$ Gugelhupf.

Daher können wir schreiben:

${\tfrac {1}{2}}$ = ${\tfrac {12}{24}}$

BM845

Bezeichne die farbig unterlegten Kreisteile mit Brüchen!

Vergleiche die Größe dieser Kreisteile miteinander!

Lösung BM844
a) ${\tfrac {4}{12}}$ b) ${\tfrac {3}{9}}$ c) ${\tfrac {2}{6}}$ d) ${\tfrac {1}{3}}$ --- ${\tfrac {4}{12}}$ = ${\tfrac {3}{9}}$ = ${\tfrac {2}{6}}$ = ${\tfrac {1}{3}}$

BM846

Zähler und Nenner der Brüche

${\tfrac {2}{6}}$, ${\tfrac {3}{9}}$, ${\tfrac {4}{12}}$ sind Vielfache von Zähler und Nenner des Bruches ${\tfrac {1}{3}}$.

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${\tfrac {1*2}{3*2}}$ = ${\tfrac {2}{6}}$, Zähler und Nenner von ${\tfrac {1}{3}}$ wurden mit 2 multipliziert.

${\tfrac {1*3}{3*3}}$ = ${\tfrac {3}{9}}$, Zähler und Nenner von ${\tfrac {1}{3}}$ wurden mit 3 multipliziert.

${\tfrac {1*4}{3*4}}$ = ${\tfrac {4}{12}}$, Zähler und Nenner von ${\tfrac {1}{3}}$ wurden mit 4 multipliziert.

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Wenn Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl multipliziert weden, so nenne wir das Erweitern eins Bruches.

Wenn wir den ursprünglichen und erweiterten Bruch geometrisch veranschaulichen, sehen wir, dass beide Brüche gleich große Bruchteile eines Ganzen darstellen.

BM847

Man erweitert einen Bruch ${\tfrac {a}{b}}$ (b ≠ 0) mit einer natürlichen Zahl n (n ≠ 0), indem man Zähler und Nenner des Bruches mit n multipliziert.

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${\tfrac {a}{b}}$ = ${\tfrac {a*n}{b*n}}$ (b ≠ 0, n ≠ 0)

BM848

Kürzen eines Bruches

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Die Umkehrung zum Erweitern eins Bruches ist das Kürzen. Es gibt Brüche, bei denen wir Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren können.

Das nennen wir Kürzen eines Bruches.

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Der Bruch ${\tfrac {25}{35}}$ soll durch 5 gekürzt werden.

Zähler und Nener sind Vielfache von 5.

Wir dividieren Zähler und Nenner durch 5.

${\tfrac {25:5}{35:5}}$ = ${\tfrac {5}{7}}$

BM849

Man kann Brücher nur durch solche Zahlen kürzen, die Teiler von Zähler und Nenner sind.

Das heißt:

Brüche, bei denen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler haben, können gekürzt werden.

Genauer:

Brüche, bei denen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen, von 1 verschiedenen Teiler haben, können gekürzt werden.

Zähler und und Nenner heißen dann teilerfremd.

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Beispiel:

${\tfrac {3}{5}}$ (Zähler: 3; Nenner: 5; 3 und 5 sind teilerfremd; Zähler und Nenner sind teilerfremd)

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Beispiel:

${\tfrac {30}{50}}$ (Zähler und Nenner haben den gemeinsamen Teiler 10; 30:10=3; 50:10=5)

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Beispiel:

${\tfrac {3}{5}}$ (Zähler und Nenner haben den gemeinsamen Teiler 1; 3:1=3; 5:1=5), ABER das hilft nicht beim Kürzen. Deshalb wird dieser Fall ausdrücklich (explizit) ausgeschlossen:

Brüche, bei denen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen, von 1 verschiedenen Teiler haben, können gekürzt werden.

Brüche, bei denen Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler haben, können gekürzt werden. Der Teiler darf aber nicht 1 sein. Der Teiler muss verschieden von 1 sein.

Brüche, bei denen lediglich 1 der gemeinsame Teiler ist, können nicht gekürzt werden.

BM850

${\tfrac {15}{25}}$ = ${\tfrac {3*5}{5*5}}$ = ${\tfrac {3}{5}}$ * ${\tfrac {5}{5}}$

${\tfrac {5}{5}}$ = 1

${\tfrac {15}{25}}$ = ${\tfrac {3}{5}}$ * 1 = ${\tfrac {3}{5}}$

Bild 1: Beim Kürzen von Brüchen werden die Zahlen weggestrichen und die neuen Zahlen daneben geschrieben - gleichzeitig im Zähler und im Nenner

Bild 2

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