Curso de alemán para principiantes con audio/Lección 062b
- índice
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- Lección 062
- Mathematik auf Deutsch - 12
BM551 - BM560
editarBM551
- Distributivgesetz
- Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt:
- (a + b) * c = a * c + b * c
- Und wegen des Kommutativgesetzes gilt auch:
- c * (a + b) = c * a + c * b
- ---
- Beispiel:
- Rechenweg 1:
- (5 + 4) * 2 = 9 * 2
- (5 + 4) * 2 = 19
- Rechenweg 2:
- (5 + 4) * 2 = 5 * 2 + 4 * 2
- (5 + 4) * 2 = 10 + 8
- (5 + 4) * 2 = 18
- ---
- Wenn in einem Produkt eine Summe als Faktor auftritt, so gilt es für die Rechnung zwei Möglichkeiten:
- Man kann zuerst die Summe berechnen und dann multiplizeiren. (Rechenweg 1)
- Man kann auch zuerst jeden Summanden multiplizieren und dann das Produkt addieren. (Rechenweg 2)
BM552
- Das Distributivgesetz gilt auch für die Subtraktion.
- Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt:
- (a - b) * c = a * c - b * c
- ---
- Beispiel:
- Rechenweg 1:
- (10 - 3) * 2 = 7 * 2
- (10 - 3) * 2 = 14
- Rechenweg 2:
- (10 - 3) * 2 = 10 * 2 - 3 * 2
- (10 - 3) * 2 = 20 - 6
- (10 - 3) * 2 = 14
- ---
- Wenn in einem Produkt eine Differenz als Faktor auftritt, gibt es wie beim Auftreten einer Summe in einem Produkt für die Rechnung zwei Möglichkeiten:
- Man kann zuerst die Differenz berechnen und dann multiplizeiren. (Rechenweg 1)
- Man kann auch zuerst den Faktor mit dem Minuenden, dann den Faktor mit dem Subtrahenden multiplizieren und dann die Produkte subtrahieren. (Rechenweg 2)
BM553
- Multiplizieren von Vielfachen von 10
- --
- Bei der Aufgabe 547 * 60 wendet man das Assoziativgesetz an.
- Man rechnet:
- 547 * 60 = 547 * 6 * 10
- Man multipliziert zuerst 547 mit 6:
547 * 6 3282
- Dann multipliziert man mit 10:
3282 * 10
32.820
- Also: 547 * 60 = 32.820
- Danach wird eine Kontrolle mittels Überschlag mit Näherungswerten durchgeführt.
- 547 * 60
- Überschlag:
- 500 * 60 = 500 * 6 * 10
- 500 * 60 = 3.000 * 10
- 500 * 60 = 30.000
- Nun vergleicht man das Ergebnis vom Überschlag mit dem genauen Ergebnis:
- 32.820 ≈ 30.000
- Es stimmt also.
BM554
- 6.783 * 50
- Man rechnet:
- 6.783 * 5 * 10
- Man multipliziert zuerst 6.783 mit 5:
6.783 * 5
33.915
- Dann multipliziert man mit 10:
33915 * 10
339.150
- Also: 6.783 * 50 = 339.150
- Kontrolle durch Überschlagsrechnung:
- 7.000 * 5 * 10 = 35.000 * 10
- 7.000 * 5 * 10 = 350.000
- Zum Schluss vergleicht man das Ergebnis vom Überschlag mit dem genauen Ergebnis:
- 339.150 ≈ 350.000
- Passt!
BM555
- Multipliziere schriftlich!
- ---
- 62 * 20
- 37 * 80
- 132 * 20
- 246 * 40
- 764 * 20
- 40 * 13.789
- 345.682 * 80
- 90 * 36.582
BM556
- Multiplizieren mit zweisteligen Zahlen
- ---
- 325 * 37 = x
- 325 * 37 = 325 * (30 + 7)
- 325 * 37 = 325 * 30 + 325 * 7
- 325 * 37 = 9.750 + 2.275
- 325 * 37 = 12.025
- ---
- Anwendung des schriftlichen Verfahrens:
- Zuerst wird 3 * 325 gerechnet. Die 5 steht genau unter der 3.
325 * 37
975
- Dann wird 7 * 325 gerechnet. Die 5 steht genau unter der 7.
325 * 37
975
2275
- Zum Schluss wird 975 mit 2275 addiert:
325 * 37
975
2275
12025
- Das Ergebnis ist 12.025
- Kontrolle mittels Überschlag:
- 300 * 40 = 12.000
- 12.025 ≈ 12.000
- Passt!
- ---
- 300 * 40 kann man auch ganz einfach auchrechnen, indem man rechnet:
- 3 * 4 = 12
- Dann zählt man alle Nullen in „300 * 40“. Es sind 3 Nullen (zwei in der 300 und eine in der 40.)
- Diese 3 Nullen hängt man an die 12 ran.
- 12 und drei Nullen, macht 12.000
- 300 * 40 = 12.000
BM557
- Achte auf richtiges Untereinanderschreiben!
3 2 5 * 3 7 9 7 5 2 2 7 5 1 2 0 2 5
3 2 5 * 3 7 9 7 5 0 2 2 7 5 1 2 0 2 5
- Bei richtiger Untereinanderschreibung ändert sich das Ergebnis nicht, wenn man die blaue Null weglässt.
BM558
- 6,85 Euro * 53
- Überschlag: 50 * 7 Euro = 350 Euro (Man rechnet 5*7=35 und hängt die eine Null von der 50 ran.)
- Es gibt 2 Lösungswege:
- ---
- 1. Rechenweg: Euro ins Cent umrechnen
- 6,85 Euro ➸ 684 Cent
6 8 5 * 5 3 3 4 2 5 2 0 5 5 3 6 3 0 5
- 36.305 Cent ➸ 363,05 Euro
- ---
- 2. Rechenweg:
6, 8 5 * 5 3 3 4 2 5 2 0 5 5 3 6 3, 0 5
- Zum Schluss der Vergleich mit dem Überschlag:
- 363,05 Euro ≈ 350 Euro
BM559
- Rechne schriftlich!
- ---
- 7.915 * 76
- 8.473 * 82
- 6.464 * 52
- 43 * 41
- 21 * 53
- 36 * 42
- 8.396 * 31
- 6.521 * 47
- 92 * 49
- 75 * 8.903
BM560
- Welches Ergebnis gehört zu welcher Aufgabe?
- 1) 4.686
- 2) 4.108
- 3) 2.646
- 4) 3.936
- 5) 1.610
- ---
- a) 63 * 42
- b) 79 * 52
- c) 71 * 66
- d) 82 * 48
- e) 35 * 46
BM561 - BM570
editarBM561
- Multiplizieren mit mehrstelligen Zahlen
- ---
- 532 * 400 = x
- Zuerst multipliziert man 532 mit 4
5 3 2 * 4 0 0 2 1 2 8
- Dann multipliziert man mit 100. (Man hängt einfach die beiden Nullen von der 100 an das Ergebnis hinten ran.)
5 3 2 * 4 0 0 2 1 2 8 0 0
- Ergebnis:
- 532 * 400 = 212.800
BM562
- 532 * 416 = x
- 1. Schritt: 4 * 532 ausrechnen
- Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
5 3 2 * 4 1 6 2 1 2 8
- ---
- 2. Schritt: 1 * 532
- Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
5 3 2 * 4 1 6 2 1 2 8 5 3 2
- ---
- 3. Schritt: 6 * 532
- Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
5 3 2 * 4 1 6 2 1 2 8 5 3 2 3 1 9 2
- ---
- 4. Schritt: Die drei Zwischenergebnisse werden zusammengerechnet.
- Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
5 3 2 * 4 1 6 2 1 2 8 5 3 2 3 1 9 2 2 2 1 3 1 2
- Ergebnis: 532 * 416 = 221.312
BM563
- 65.347 * 4.782 = x
- ---
- 1. Schritt: rechne 4 * 65.347
- Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
6 5 3 4 7 * 4 7 8 2 2 6 1 3 8 8
- ---
- 2. Schritt: rechne 7 * 65.347
6 5 3 4 7 * 4 7 8 2 2 6 1 3 8 8 4 5 7 4 2 9
- ---
- 3. Schritt: 8 * 65.347
- Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
6 5 3 4 7 * 4 7 8 2 2 6 1 3 8 8 4 5 7 4 2 9 5 2 2 7 7 6
- ---
- 4. Schritt: 2 * 65.347
- Achte darauf, dass du richtig untereinander schreibst!
6 5 3 4 7 * 4 7 8 2 2 6 1 3 8 8 4 5 7 4 2 9 5 2 2 7 7 6 1 3 0 6 9 4
- ---
- 5. Schritt: Die vier Zwischenergebnisse werden zusammengerechnet.
- Achte darauf, dass du bei der Addition nicht mit den Spalten durcheinander kommst!
- Deshalb ist es gut auf kariertem Papier zu rechnen.
6 5 3 4 7 * 4 7 8 2 2 6 1 3 8 8 4 5 7 4 2 9 5 2 2 7 7 6 1 3 0 6 9 4 3 1 2 4 8 9 3 5 4
- Ergebnis:
- 65.347 * 4.782 = 312.489.354
- Überschlag:
- 60.000 * 5.000
- 6 * 5 = 30 und hinten sieben Nullen anhängen
- 60.000 * 5.000 = 30 0000000
- 300.000.000
- Vergleich des Ergebnisses mit dem Überschlag:
- 312.489.354 ≈ 300.000.000 (300 Mill.)
BM564
- Für das schriftliche Verfahren der Multiplikation gibt es verschiedene gleichwertige Schreibweisen.
- Erkläre die Unterschiede!
- a)
42 * 27
84
294
1134
- b)
42 * 27
294
84
1134
- c)
42 * 27 84 294 1134
- d)
42 * 27 84 294 1134
BM565
- Rechne so wie in Übung BM5614 Punkt b)!
- ---
- 368 * 728 = x
Lösung BM5615 3 6 8 * 7 2 8 2 9 4 4 7 3 6 2 5 7 6 2 6 7 9 0 4
BM566
- 729 * 163 = x
- Da im zweiten Faktor (163) eine 1 auftaucht, braucht man in dieser Zeile die 729 nur abschreiben ohne zu rechnen. (blau hervorgehoben)
- Eventuell vertauscht man die beiden Faktoren, damit die 1 im zweiten Faktor steht.
- 163 * 729 = 729 * 163
7 2 9 * 1 6 3 7 2 9 4 3 7 4 2 1 8 7 1 1 8 8 2 7
BM567
- 423 * 708 = x
- Wenn der zweite Faktor eine 0 enthält, dann muss man in dieser Zeile nicht groß rechnen.
4 2 3 * 7 0 8 2 9 6 1 0 0 0 3 3 8 4 2 9 9 4 8 4
- Es reicht auch, wenn man nur eine Null schreibt.
BM568
- a2 (lies: a hoch 2)
- a2 (lies: a Quadrat)
- a5 (lies: a hoch 5)
- an (lies: a hoch n)
- ac (lies: a hoch c)
- a2
- a und eine hoch gestellte Zahl
- Hochzahl
- a2
- Die 2 ist hier die Hochzahl.
- ---
- b1 (lies: b Eins)
- x1 * x2 * x3
- xn
- x1 + x2 + x3 + ... + xn-1 + xn
- x1 bis xn
- die Zahlen (oder Buchstaben) sind ein Index, ein kleines tief nachgestelltes Zeichen
- ---
- 53
- Die 3 ist eine Hochzahl. (Hochzahl = Exponent)
- Die 3 ist der Exponent.
- Die 5 ist die Basis.
- ---
- Hochzahl
- Wie schreibe ich eine Hochzahl wie bei C14 mit meiner Tastatur?
- Fußnoten werden in Texten1 manchmal mit Hochzahlen markiert.
BM569
- Potenzen
- potenzieren
- ---
- Vervollständige
- 10 * 10 = 102
- 10 * 10 * 10 = ...
- 10 * 10 * 10 * 10 = ...
- ---
- 102 = 10 * 10
- 103 = ...
- 104 = ...
- 105 = ...
- ---
- Die Potenzschreibweise kann man auch für alle anderen Produkte natürlicher Zahlen mit gleichen Faktoren verwenden.
- 2 * 2 = 22
- 2 * 2 * 2 = 23
- 2 * 2 * 2 * 2 = 24
- ---
- 3 * 3 = 32
- 3 * 3 * 3 = 33
- 3 * 3 * 3 * 3 = 34
- ---
- 99 = 387.420.489
BM570
- Verwende die Potenzschreibweise!
- 5 * 5 *5
- 7 * 7 * 7 * 7
- 12 * 12
- 8 * 8 * 8 * 8 * 8 *
BM571 - BM580
editarBM571
- Berechne die Potenz 25!
- ---
- 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2
- Rechne:
- 2 * 2 = 4
- 4 * 2 = 8
- 8 * 2 = 16
- 16 * 2 = 32
- ---
- Also:
- 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32
BM572
- Berechne die Potenz 613!
Lösung BM572 6 1 * 6 1 3 6 6 6 1 3 7 2 1
- 612 = 61 * 61 = 3.721
3 7 2 1 * 6 1 2 2 3 2 6 3 7 2 1 2 2 6 9 8 1
- 613 = 61 * 61 * 61 = 226.981
BM573
- Berechne die Potenz 3282!
Lösung BM573 3 2 8 * 3 2 8 9 8 4 6 5 6 2 6 2 4 1 0 7 5 8 4
- 3282 = 328 * 328 = 107.584
BM574
- Berechne!
- ---
- 26
- 35
- 353
- 132
- 5762
- ---
- 44
- 93
- 273
- 152
- 7342
- ---
- Kontrolliere mit dem Taschenrechner!
- Die Taste für die Eingabe am Taschenrechner hat meist die Beschriftung „ab“
- Um 353 mit dem Taschenrechner zu rechnen musst du erst „35“ eintippen, dann die Taste „ab“ tippen, dann die „3“
- ---
- Im Internet wid ein „^“ für das Potenzeiren verwendet. (Das Zeichen ist oben links auf der Tastatur.)
- Um 353 zu rechnen musst du 35^3 eingeben.
- Du kannst natürlich auch 35 * 25 * 35 eingeben.
BM575
- Berechne die folgenden Potenzen und merke dir das Ergebnis!
- ---
- 102
- 112
- 122
- 132
- 142
- 152
- 202
- 302
- 402
- 1002
BM576
- Die folgenden Zahlen sind Produkte gleicher Faktoren. Schreibe sie als Potenzen!
- ---
- 25
- 36
- 81
- 100
- 125
- 16
- 32
- 625
- 10.000
Lösung BM576 - 25 = 52
- 36 = 62
- 81 = 92
- 100 = 102
- 125 = 53
- 16 = 42
- 32 = 25
- 625 = 54
- 10.000 = 1002 (Die "100" hat zwei Nullen. "100 * 100" hat vier Nullen, also hat das Ergebnis vier Nullen = "10.000".)
- Übrigens: Solche Aufgben kannst du mit https://www.wolframalpha.com/ lösen. Einfach z. B. 625 eingeben und als Antwort kommt u. .a (unter anderem) 54, aber auch die Darstellung als römische Zahl (DCXXV), als Binärzahl (100111100012), als Summe von Quadratzahlen (625 = 72 + 242 = 152 + 202) unn weitere mathematische Spielereien.
BM577
- Das älteste Rätsel aus Ägypten ist auf einer Papyrusrolle verzeichnet, die im Jahre 1858 in Luxor von dem schottischen Ägyptologen Alexander Henry Rhind erworben wurde, dem später nach ihm benannten Papyrus Rhind. Der Verfasser dieser Papyrusrolle trug den Namen Ahmes (auch Ahmose). Das Dokument selbst entstand um 1550 vor Christus. In einer Notiz am Rande merkt der Verfasser an, dass er aus einer anderen – wahrscheinlich über zwei Jahrhunderte älteren – Quelle abgeschrieben habe, womit das Rätsel über 3800 Jahre alt sein dürfte. Die heute im British Museum aufbewahrte Schriftrolle gibt die auch als Katzen-und-Mäuse-Rätsel bekannt gewordene (79.) Aufgabe an: „Es gibt sieben Häuser, in jedem Haus wohnen sieben Katzen. Jede Katze fängt sieben Mäuse, von denen jede sieben Kornähren gefressen hat. In jeder Ähre sind sieben Samen.“
- a) Wie viel Samen wurden gefressen?
- b) Wie viel Katzen und Mäuse wurden gab es insgesamt?
Lösung BM577 - a)
- 75 = 16.807
- Das kann man sich auch von https://www.wolframalpha.com/ ausrechnen lassen: einfach 7^5 eingeben.
- ---
- b)
- 73 + 74 = 343 + 2.401 = 2.744
BM578
- Potenzieren
- ---
- Das Potenzieren (von lat. potentia, ‚Vermögen, Macht‘, das in der antiken Geometrie spätestens seit Platon auch die Bedeutung ‚Quadrat‘ hatte) ist wie das Multiplizieren seinem Ursprung nach eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird (6+6+6+6), so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert (6*6*6*6).
- ---
- „:=“ (lies: ist definiert als)
- Die Abwandlungen := oder =: werden in der Mathematik benutzt, um eine Definition einer Seite durch die andere Seite darzustellen. Dabei stehen die Doppelpunkte immer bei dem zu definierenden Objekt. Das früher dafür verwendete ≡ soll in diesem Sinne nicht mehr verwendet werden.
- ---
- Die Potenz an ist definiert als:
- an := a * a * a * ... * a // (n Faktoren)
- Man spricht diese Rechenoperation als „a hoch n“, „a zur n-ten Potenz“ oder kurz „a zur n-ten“. Im Fall n = 2 ist auch „a zum Quadrat“ oder „a Quadrat“ üblich.
- a heißt Basis (oder Grundzahl), n heißt Exponent (oder Hochzahl) der Potenz an. Das Ergebnis ist der Wert der Potenz.
- ---
- a1 = a
- a0 = 1
- Beispiel:
- 31 = 3
- 30 = 1
- ---
- Die Potenzschreibweise bedeutet „Multipliziere die Zahl 1 mit der Grundzahl so oft, wie der Exponent angibt“, also:
- an = 1 * a * a * a * ... * a // (n Faktoren)
- Der Exponent 0 sagt aus, dass die Zahl 1 keinmal mit der Grundzahl multipliziert wird und allein stehen bleibt, sodass man das Ergebnis 1 erhält.
- a2 = 1 * a * a = a * a
- a1 = 1 * a = a
- a0 = 1
- ---
- Wenn hochgestelltes Schreiben nicht möglich ist verwendet man oft die Schreibweise a^b.
- ---
- Glatte Potenzen von 10 bilden die Grundlage unseres Zahlensystems, des Dezimalsystems. Als Potenz geschrieben, z. B. 1011 für 100 Milliarden, werden sie in den Naturwissenschaften zur Darstellung sehr großer oder sehr kleiner positiver Zahlen verwendet.
BM579
- Flächeneinheit
- ---
- Auf Millimeterpapier sind Quadrate gezeichnet (Bild 1).
- Die ganz kleinen Quadrate haben eine Seitenlänge von einem Millimeter
- Die großen Quadrate haben eine Seitenlänge von einem Zentimeter.
- Alle 5 Millimeter sind die Linien auch etwas stärker gezeichnet, damit man besser abzählen kann.
- ---
- Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von einem Zentimeter hat einen Flächeninhalt von einem Quadratzentimeter. (Bild 2: rotes Quadrat)
- 1 cm2
- ---
- Ein Quadrat mit einer Seitenlänge von einem Millimeter hat einen Flächeninhalt von einem Quadratmillimeter. (Bild 3: das winzige blaue Quadrat)
- 1 mm2
- ---
- Bild 4 zeigt einen Größenvergleich zwischen Quadratzentimeter (rot) und Quadratmillimeter (blau).
- Beachte, dass bei diesen Bildern der Maßstab nicht stimmt. Die Bilder haben unterschiedliche Maßstäbe.
-
Bild 1 -
Bild 2 -
Bild 3 -
Bild 4
- Quadratmillimeter und Quadratzentimeter sind Einheiten der Fläche
- 1 cm2 = 100 mm2
- 1 cm2 = 10 * 10 mm2 = 100 mm2
BM580
3 cm * 2 cm - Es soll der Flächeninhalt eines Rechtecks ermittel werden.
- Dieses Rechteck ist 3 cm lang und 2 cm breit.
- Dieses Rechteck enthält 6 Quadrate. Diese haben alle eine Seitenlänge von 1 cm. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks beträgt deshalb 6 cm2.
- ---
- Welchen Flächeninhlat hat ein Quadrat von 3 cm Seitenlänge?
BM581 - BM590
editarBM581
- Wenn ein Quadrat eine Seitenlänge von 1 m hat, so sagt man: Ein Quadrat mit der Seitenlänge von einem Meter hat einen Flächeninhalt von einem Quadratmeter.
- 1 m2
- Quadratmeter ist eine Einheit der Fläche
- ---
- Flächeneinheiten:
- Quadratmillimeter mmm2
- Quadratzentimeter cmm2
- Quadratmeter mm2
- ---
- 1 mm2
- 1 cm2 = 100 mm2
- 1 m2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2
- ---
- 1 m = 100 cm
- 1 m2 = 100 cm * 100 cm = 10.000 cm2
- ---
- 1 m = 100 cm; 1 cm = 10 mm
- 1 m = 1.000 mm
- 1 m2 = 1.000 mm * 1.000 mm = 1.000.000 mm2 = 1 Mill. mm2
BM582
- Ein Quadrat hat einen Flächeninhalt von 36 cm2.
- Welche Seitenlänge hat das Quadrat?
- ---
- Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt von 60 m2.
- Welche Seitenlänge hat das Rechteck? (Es gibt mehrer Lösungen. Gib alle Lösungen an! Es sind nur Seitenlängen von ganzen Metern erlaubt.)
Lösung BM582 - Seitenlänge: 6 cm
- 6 cm * 6 cm = 36 cm2
- ---
- 1 m * 60 m = 60 m2
- 2 m * 30 m = 60 m2
- 3 m * 20 m = 60 m2
- 4 m * 15 m = 60 m2
- 5 m * 12 m = 60 m2
- 6 m * 10 m = 60 m2
- Und alle Zahlen noch mal mit vertauscher Länge und Breite:
- 10 m * 6 m = 60 m2
- 12 m * 5 m = 60 m2
- 15 m * 4 m = 60 m2
- 20 m * 3 m = 60 m2
- 30 m * 2 m = 60 m2
- 60 m * 1 m = 60 m2
- Übrigens: Der Vorteil des Zahlensystems mit der Basis 60 gegenüber dem Zahlensystem mit der Basis 10 ist, dass es sich ohne Rest durch 2; 3; 4; 5 und 6 dividieren lässt. Unser Deszimalsystem (Zahlensystem mit der Basis 10) lässt sich ohne Rest nur durch 2 und 5 dividieren.
- Das Sexagesimalsystem (= Hexagesimalsystem = Sechziger-System) ist ein Stellenwertsystem zum Wert 60. Es wurd schon um 3300 v. Chr. von den Sumeren verwendet. Im Bereich der Zeitmessung hat sich das Sexagesimalsystem noch erhalten. Eine Stunde hat 60 Minuten und eine Minute 60 Sekunden. Auch bei geografischen Längen- und Breitenangaben wird das Sechziger-System noch heute verwendet.
BM583
- Wie viel Quadratmeter könen auf einer quadratischen Fläche, deren Seiten 34 m lang sind, mit Gras besät werden?
- ---
- In einem Leichtathletiktrainingszentrum gibt es eine Laufhalle mit einer 110-Meter-Laufbahn. Die Bahn wird hauptsächlich für 100-Meter-L#ufe verwendet und nur selten für 110-Meter-Hürdenläufe. Sie besteht aus 6 Laufbahnen, die jeweils 122 cm breit sind. Die Laufbahnen sollen mit einem neuen Tartanbelag (Kunststoffbahn) versehen werden. Am Startraum werden zusätzlich 3 m ausgelegt und am Auslauf 17 m. Zusätzlich kommen an beiden Seiten noch 90 cm dazu.
- Wie viel Quadratmeter Tartanbelag werden benötigt?
Lösung BM583 - 34 m * 34 m = 1.156 m2
- ---
- Länge: 110 m + 3 m + 17 m = 130 m
- Breite: 6 * 122 cm + 2 * 90 cm = 732 cm * 180 cm = 912 cm = 9,12 m
- Fläche: 130 m * 9,12 m = 1185,6 m2
- ---
- ODER:
- Länge: 130 m = 13.000 cm
- Breite: 912 cm
- Fläche: 13.000 cm * 912 cm = 11.856.000 cm2
- 1 m2 = 10.000 cm2
- 11.856.000 cm2 : 10.000 = 1185,6 m2
BM584
Gebäude 1 
Gebäude 2 - Berechne die Gesamtfläche der Gebäudegrundrisse! Entnimm die Maße den Skizzen! Beachte, dass die Skizzen nicht maßstabsgerecht sind, es sind eben nur Skizzen und keine genauen Zeichnung.
- a) Gebäude 1
- b) Gebäude 2
- c) Gebäude 1 und 2 zusammen
- (Rechne schriftlich und mit Skizzen!)
Lösung BM584 - Gebäude 1:
- (17 * 20) + ([55 - 17 - 12] * 17) + (12 * 50) = 1.382
- 340 + 442 + 600 = 1.382 m2
- ---
- Gebäude 2:
- (16 * 47) + ([43 - 16 - 9] * [47 - 32]) + (9 * 47) = 1.445
- 752 + 270 + 423 = 1.445 m2
- ---
- Gebäude 1 + 2:
- 1.382 m2 + 1.445 m2 = 2.827 m2
BM585
- Teile 68 Konservendosen in 4 gleich große Stapel!
- ---
- Man rechnet:
- 68 : 4 = x
- Da die Division die Umkehrung der Multiplikation ist, kann man auch schreiben:
- 4 * x = 68
- ---
- Man rechnet:
- 68 : 4 = (40 + 28) : 4
- 68 : 4 = (40 : 4) + (28 : 4)
- 68 : 4 = 10 + 7
- 68 : 4 = 17
- x = 17
- ---
- Kontrolle:
- 4 * 17 = 4 * (10 + 7)
- 4 * 17 = 40 + 28
- 4 * 17 = 68
- Antowrt: Auf jeden Stapel müssen 17 Konservendosen.
BM586
- (a + b) : c
- In diesem Quotienten tritt als Dividend eine Summe auf.
- Beispiel:
- (80 + 12) : 4
- Für die Rechnung gibt es in einem solchen Fall zwei Möglichkeiten:
- Rechenweg 1:
- (80 + 12) : 4 = (80 : 4) + (12 : 4)
- (80 + 12) : 4 = 20 + 3
- (80 + 12) : 4 = 23
- ---
- Rechenweg 2:
- (80 + 12) : 4 = 92 : 4
- (80 + 12) : 4 = 23
BM587
- Rechne!
- ---
- 72 : 3 = (60 + 12) : 3
- 96 : 4 = (80 + 16) : 4
- 273 : 3 = (270 + 3) : 3
- 497 : 7 = (490 + 7) : 7
- 258 : 6 = (240 + 18) : 6
- 574 : 7 = (560 + 14) : 7
BM588
- Dividiere jede der folgenden Zahlen durch 10!
- ---
- 350
- 190
- 830
- 1.100
- 2320
- 7.480
- 24.360
- 9.080
- 345.670
BM588
- Dividiere jede der folgenden Zahlen durch 100!
- ---
- 400
- 900
- 1.200
- 4.000
- 60.700
- 250.000
- 830.600
- 4.620.400
BM589
- Rechne mündlich!
- ---
- Beispiel:
- 600 : 200
- 600 : 2 = 300; 300 : 100 = 3
- ---
- 800 : 400
- 1.200 : 300
- 2.400 : 600
- 4.200 : 700
- ---
- 5.000 : 200
- 7.000 : 200
- 12.000 : 200
- 36.000 : 200
- 48.000 : 200
- ---
- 360.000 : 300
- 720.000 : 800
- 630.000 : 700
- 540.000 : 900
- 560.000 : 200
- ---
- 500.000 : 500
- 600.000 : 300
- 640.000 : 400
- 810.000 : 300
- 240.000 : 100
BM590
- Um 5 Uhr wurden Sporttauben aufgelassen. Die ersten kamen um 14 Uhr an. Sie hatten 630 km zurückgelegt.
- Wie viel Kilometer sind sie in einer Stunde geflogen?
Lösung BM590 - 630 km : 9 h = 70 km/h
BM591 - BM600
editarBM591
- a)
- Die Entfernung von der Erde zum Mond beträgt 384.400 km. Wie viel Stunden bräuchte ein ICE, der in jeder Stunde 230 km zurücklegt, um diese Entfernung zu durchfahren? Wie viel Tage wären das?
- ---
- b)
- Die Entfernung von der Erde zur Sonne beträgt 149.504.000 km. Wie viel Stunden bräuchte ein Flugzeug, das in jeder Stunde 800 km zurücklegt, um diese Entfernung zu durchfahren? Wie viel Tage wären das? Wie viel Monate (zu je 30 Tagen) wären das? Wie viel Jahre (1 Jahr = 365 Tage) wären das?
Lösung BM591 - a)
- 384.400 : 230 ≈ 1.671 Stunden
- 1.671 : 24 ≈ 70 Tage
- ---
- b)
- 149.504.000 : 800 ≈ 186.880
- 186.880 : 24 ≈ 7.787 Tage
- 7.787 : 30 ≈ 260 Monate
- 7.787 Tage : 365 ≈ 21 Jahre
BM592
Teebeutel - a)
- Zwei Tonnen grüner Tee werden in Beutel zu je 100 g abgefüllt.
- Berechne die Anzahl der Beutel!
- ---
- b)
- Drei Tonnen hagebuttentee werden in Beutel zu je 2 g abgefüllt.
- Berechne die Anzahl der Beutel!
Lösung BM592 - a)
- 1 t = 1.000 kg; 1 kg = 1.000 g;
- 1 t = 1.000 * 1.000 = 1.000.000 g
- 2 t ≙ 2.000.000 g (lies: 2 t entsprechen 2.000.000 g)
- 2.000.000 g : 100 g = 20.000 Beutel (á 100 g)
- ---
- b)
- 3 t ≙ 3.000.000 g
- 3.000.000 g : 2 g = 1.500.000 Beutel
BM593
- a)
- 1.680 Gummibärchen werden an 4 unterschiedlich große Kinder verteilt.
- Das erste Kind erhält den 6. Teil.
- Das zweite Kind erhält den 7. Teil.
- Das dritte Kind den 4. Teil.
- Wie viel Gummibärchen bekommt jedes Kind?
- ---
- b)
- 2.400 Euro werden für 4 Kurzurlaube aufgeteilt.
- Für den ersten Urlaub der 3. Teil.
- Für den zweiten Urlaub der 5. Teil.
- Für den dritten Urlaub der 8. Teil.
- Und für den vierten Kurzurlaub der Rest.
- Wie viel Geld steht für jeden Kurzurlaub zur Verfügung?
Lösung BM593 - a)
- 1. Kind: 1.680 : 6 = 280
- 2. Kind: 1.680 : 7 = 240
- 3. Kind: 1.680 : 4 = 420
- 4. Kind: 1.680 - 280 - 240 - 420 = 740
- ---
- 1. Urlaub: 2.400 : 3 = 800
- 2. Urlaub: 2.400 : 5 = 480
- 3. Urlaub: 2.400 : 8 = 300
- 4. Urlaub: 2.400 - 800 - 480 - 300 = 820
BM594
- Schriftliche Division
- mit einstelligem Divisor
- ---
- 222 : 6
- ---
222 : 6 = 37 18 -- 42 42 -- 0
- Man rechnet:
- 22 : 6 = 3, Rest 4 (denn: 3 * 6 = 18; 18 + 4 = 22)
- 42 : 6 = 7 (denn 7 * 6 = 42)
BM595
- 348 : 4 = x
- ---
- 1. Schritt:
- Von links eine einstellig Zahl wählen.
- 3 : 4 = 0 Rest 3
- Wir müssen also im 2. Schritt von links eine zweistellige Zahl wählen.
3 4 8 : 4 =
- ---
- 2. Schritt:
- 34 : 4 = 8 Rest 2; (4*8=32)
- Die 32 schreiben wir exakt unter die 34.
3 4 8 : 4 = 8 3 2
- ---
- 3. Schritt:
- Einen Strich unter der 32 ziehen und die Differenz zwischen 34 und 32 bilden. (34-32=2)
3 4 8 : 4 = 8 3 2 2
- ---
- 4. Schritt:
- Die 8, die oben steht, schreiben wir unten noch mal neben die 2.
3 4 8 : 4 = 8 3 2 2 8
- ---
- 5. Schritt:
- 28 : 4 = 7; (4*7=28)
3 4 8 : 4 = 8 7 3 2 2 8 2 8
- ---
- 6. Schritt:
- Einen Strich unter der 28 ziehen und die Differenz zwischen 28 und 28 bilden. (28-28=0)
- Die Differenz ist natürlich Null, es gibt also keinen Rest mehr. Und damit sind wir fertig.
3 4 8 : 4 = 8 7 3 2 2 8 2 8 0
- ---
- 7. Schritt:
- Zum Schluss wird das Ergebnis doppelt unterstrichen. (Das geht in dieser Tabelle am PC schlecht zu machen.)
3 4 8 : 4 = 8 7 3 2 2 8 2 8 0
BM596
- 4484 : 4 = x
- ---
- 1. Schritt:
- 4 : 4 = 1
4 4 8 4 : 4 = 1
- ---
- 2. Schritt:
- Weil der Rest Null ist müssen wir keine Differenz bilden. Man kann gleich die nächste Ziffer, also die nächste 4, runterziehen.
- 4 : 4 = 1
4 4 8 4 : 4 = 1 1 4
- ---
- 3. Schritt:
- Weil auch hier der Rest Null ist brauchen wir auch hier keine Differenz bilden. Man kann also gleich die nächste Ziffer, also die 8, runterziehen.
- 8 : 4 = 2
4 4 8 4 : 4 = 1 1 2 4 8
- ---
- 4. Schritt:
- Die nächste Ziffer wird runtergezogen, also die 4.
- 4 : 4 = 1
4 4 8 4 : 4 = 1 1 2 1 4 8 4
- Fertig!
- 4.484 : 4 = 1.121
- Diese Aufgabe war eindeutig zu einfach, weil zufälligerweise überhaupt keine Differenzen gebildet werden mussten. Denn es gab keine Rest bei den einzelnen Divisionen.
BM597
- 5676 : 4 = x
- Aber jetzt gibt es einen Rest und deshalb auch Differenzen.
- ---
- 1. Schritt:
- 5 : 4 = 1 Rest 1; (4*1=4)
- Die 4 schreiben wir exakt unter die 5.
5 6 7 6 : 4 = 1 4
- ---
- 2. Schritt:
- Einen Strich unter der 4 ziehen und die Differenz zwischen 5 und 4 bilden. (5-4=1)
5 6 7 6 : 4 = 1 4 1
- ---
- 3. Schritt:
- Die nächste Ziffer wird runtergezogen, also die 6.
- 16 : 4 = 4
5 6 7 6 : 4 = 1 4 4 1 6
- ---
- 4. Schritt:
- Weil es keinen Rest gibt brauchen wir keine Differenz. Wir könenn also gleich die nächste Ziffer, also die 7, runterziehen.
- 7 : 4 = 1 Rest 3; (4*1=4)
- Die 4 schreiben wir exakt unter die 7.
5 6 7 6 : 4 = 1 4 1 9 4 1 6 7 4
- ---
- 5. Schritt:
- Dann einen Strich drunter und die Differenz bilden: 7 - 4 = 3
5 6 7 6 : 4 = 1 4 1 4 1 6 7 4 3
- ---
- 6. Schritt:
- Jetzt wird die nächste Ziffer runtergezogen, also die 6.
- Zum Schluss rechnen wir 36 : 4 = 9
- Die 9 schreiben wir hin.
- Und weil keine Rest übrig bleibt (4 * 9 = 36) sind wir fertig.
5 6 7 6 : 4 = 1 4 1 9 4 1 6 7 4 3 6
- Ergebnis:
- 5676 : 4 = 1419
- Das Ergebnis bitte immer doppelt unterstreichen.
- ---
- Wenn bei der Division kein Rest übrigt bleibt, dann sagt man:
- „Die Divison geht auf.“ oder „125 lässt sich glatt durch 25 teilen.“
BM598
- Rechne!
- ---
- 7779 : 7
- 2463 : 2
- 6686 : 6
- 8467 : 4
- 3683 : 3
- 8706 : 4
- 7823 : 7
- 6946 : 6
- 5243 : 3
- 8852 : 6
- 9556 : 8
BM599
- Rechne!
- ---
- 25964 : 4
- 72726 : 6
- 55307 : 7
- 72960 : 8
- 44016 : 8
- 55413 : 9
- 21749 : 7
BM600
- Teilbarkeit
- ---
- Teilbarkeit ist eine mathematische Beziehung zwischen zwei ganzen Zahlen. Eine ganze Zahl ist durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt-Rechnung aufgeht“.
- ---
- So ist beispielsweise die Zahl 8 durch 4 teilbar, da 8 : 4 genau 2 ergibt; somit ist 4, aber auch 2, Teiler von 8. Dagegen ist die Zahl 9 nicht durch 4 teilbar, weil die 4 zweimal in die 9 „geht“, aber ein Rest von 1 übrig bleibt.
- ---
- Die Zahl 11 hat nur zwei Teiler: 1 und die Zahl 11 selbst. Solche Zahlen nennt man Primzahlen. Die Zahl 12 dagegen hat viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 6 und 12.
- ---
- Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem
- Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8).
- Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5).
- Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist.
- ---
- Quersumme
- Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
- ---
- Welche der folgenden Zahlen sind durch 3 teilbar?
- 342
- 631
- 8824
- 7674
- 6813
- 397414
- 4556004
- ---
- Sind folgende Zahlen durch 9 teilbar?
- 716
- 422
- 123003
- 1512
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