Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 225c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Fünfundzwanzigstes Kapitel

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Arten der Vierecke

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Da wir jetzt unmerklich in die Lehre von den Vierecken geraten sind, wollen wir zuerst allgemein für alle „Mehr-als-Dreiecke“, Vielecke oder Polygone anmerken, daß wir sie stets in Dreiecke zerlegen können und daher in irgend einer Art ihre Eigenschaften aus den Dreiecksätzen ableiten dürfen. Mit solchen Aufgaben wollen wir uns auch nicht befassen. Wir werden sie nur ab und zu andeuten. Um aber doch unserem Vortrag eine gewisse Abrundung zugeben, werden wir jetzt die wichtigsten Arten der Vierecke und der Vielecke kurz besprechen, wobei wir nachdrücklichst darauf hinweisen, daß wir nicht „vollständige Figuren“ im Sinne der projektiven Geometrie, sondern umgrenzte Vielecke (Polygone) im Sinne der Planimetrie vor uns haben. Die Geraden der Umgrenzung heißen die Seiten und alle anderen Verbindungsgeraden von Eckpunkten Diagonalen, wie wir es von der Schule her gewohnt sind.

Wir nehmen zuerst die Vierecke vor und unterscheiden folgende Haupttypen.

1. Trapezoide oder Vierecke, deren Seiten weder paarweise noch zu viert einander gleich sind; und bei denen auch keine Parallelität von Gegenseiten vorkommt. Es sind dies die eigentlich unregelmäßigen oder allgemeinen Vierecke, deren Diagonalen einander schneiden, ohne daß sich jedoch bestimmte Proportionen finden lassen, wenn man nicht projektive Betrachtungen hinzunimmt oder die Gegenseiten bis zum Schnittpunkt verlängert. Eine Sonderart dieser Trapezoide sind die unregelmäßigen Kreisvierecke, die je zwei einander auf 180° ergänzende oder supplementäre Gegenwinkel besitzen. Wie man prüft, ob ein Viereck ein Kreisviereck ist, wird bei den „Konstruktionen“ gezeigt werden.

2. Es kann vorkommen, daß in einem Viereck zwei Gegenseiten einander parallel sind. Man spricht dann von einem Trapez. Und zwar unterscheidet man regelmäßige und unregelmäßige Trapeze, je nachdem die beiden Basiswinkel einander gleich sind oder nicht.

Im gewöhnlichen oder unregelmäßigen Trapez kann man durch Ziehen der „Mittellinie“, d. h. der Verbindungslinie der Halbierungspunkte E und F der beiden nichtparallelen Seiten und durch gleichzeitige Abtragung einer zu BC parallelen Hilfsstrecke A₁D₁ durch E das Trapez wegen Kongruenz der beiden Dreiecke AA₁E und EDD₁ in ein flächengleiches Parallelogramm verwandeln, was wir später benützen werden. Das sogenannte regelmäßige oder gleichschenklige Trapez, bei dem A'D' und B'C' einander gleich sind, da ja die Winkel bei A' und B' kongruent sind und die zwei Lote D'A'₁ und C'B'₁ als Parallele zwischen Parallelen ebenfalls kongruent sein müssen, also Kongruenz der Dreiecke A'A'₁D' und B'B'₁C' vorliegt, hat als bemerkenswerte Eigenschaft die Gleichheit der Diagonalen, was wieder aus der Kongruenz der Dreiecke A'B'C' und A'B'D' nach dem SWS-Satz folgt

(\sphericalangle A'B'C'\equiv \sphericalangle B'A'D';A'B'\equiv A'B';A'D'\equiv B'C')

. Das gleichschenklige Trapez ist eine symmetrische Figur, deren Symmetrieachse durch den Schnittpunkt der Diagonalen und durch die Halbierungspunkte der Parallelen geht. Es ist inhaltsgleich einem Rechteck aus der kleineren Seite und der Höhe h plus einem Rechteck aus der halben Differenz der zwei Parallelseiten und der Höhe h, was sich aus der Kongruenz von Dreieck A'D'E mit Dreieck B'₁B'C' ergibt. Das gleichschenklige Trapez kann ein Kreisviereck sein, muß es aber nicht sein, während das ungleichschenklige Trapez sicherlich niemals ein Kreisviereck ist.

3. Es kann weiters eintreten, daß je zwei Seiten in einem Viereck einander parallel sind. Wir sprechen dann vom sogenannten Parallelogramm, dessen allgemeinster Fall das ungleichseitige, schiefwinklige Parallelogramm ist.

Seine hervorstechendste Eigenschaft ist die paarweise Gleichheit der Gegenseiten AB und CD bzw. AD und BC, die man nach dem Satze, daß Parallele zwischen Parallelen einander gleich sind, beweisen kann; ein Satz, der sich wieder auf die Kongruenz von Dreieck ABC und Dreieck ACD stützt. Diese aber folgt weiter aus dem WSW-Satz da AC eine Transversale von beiden Parallelenpaaren ist, folglich die Wechselwinkel

\alpha

und

\alpha '

bzw.

\beta

und

\beta '

kongruent sein müssen. Weiters halbieren einander die Diagonalen in jedem Parallelogramm. Denn Dreieck ADE ist kongruent Dreieck BCE (nach dem WSW-Satz, da

\beta \equiv \beta '

,

\gamma \equiv \gamma '

und

AD\equiv BC

). Daher sind die homologen Seiten AE und EC bzw. DE und EB einander gleich, was auf gegenseitige Halbierung der Diagonalen hinausläuft

und zu beweisen war.

Außerdem ist jedes schiefwinklige Parallelogramm flächengleich mit einem rechtwinkligen mit derselben Grundlinie und Höhe, was aus Kongruenz von Dreieck BCC' mit Dreieck ADD' folgt (SWS-Satz;

h\equiv h

,

AD\equiv BC

,

\sphericalangle CBC'\equiv \sphericalangle D'AD

als Parallelwinkel).

Schließlich sind in jedem schiefwinkligen Parallelogramm je zwei gegenüberliegende Winkel gleich groß, was ohne weiters aus den Transversalensätzen folgt. Diese Beziehungen sind sämtlich umkehrbar. Daraus ergibt sich sofort ein interessanter Übergang zum Rechteck. Es genügt nämlich in einem Parallelogramm, daß ein einziger Winkel ein rechter ist, um das Parallelogramm zum Rechteck zu machen. Denn dann muß ja auch der gegenüberliegende Winkel ein rechter sein, dann ist aber die halbe Winkelsumme des Vierecks, nämlich 180° verbraucht. Die anderen zwei Winkel müssen also auch zusammen 180° aber überdies einander gleich sein. Woraus folgt, daß jeder dieser Winkel ein rechter ist, was zu beweisen war. Natürlich gelten alle Sätze über das schiefwinklige Parallelogramm (auch „Rhomboid“ genannt) ebenso für den Sonderfall des Rechtecks (oder des Oblongum). Dazu kommt noch die Eigenschaft, daß die Diagonalen im Rechteck gleich lang sind, was aus der Kongruenz der Dreiecke ABC und ABD hervorgeht, die wir wohl nicht mehr näher zu begründen brauchen. Ein Rechteck muß. stets ein Kreisviereck sein, da einander erstens zwei gegenüberliegende Winkel auf 180° ergänzen, was schon Beweis genug wäre. Zudem sind aber noch alle vier Diagonalenabschnitte gleich groß, also Radien eines Kreises, der im Diagonalenschnittpunkt den Mittelpunkt hat und alle vier Eckpunkte treffen muß.

Deshalb auch ist etwa

\sphericalangle E

gleich

2\sphericalangle C

, da E der zu C gehörige Zentriwinkel über demselben Bogen ist usw. Dadurch aber könnte man wieder den Satz vom Außenwinkel verifizieren und so fort. Ein Spezialfall des schiefwinkligen Parallelogramms ist das seitengleiche Rhomboid oder der Rhombus (Raute). Dieses hat die Sondereigenschaft, daß in ihm die Diagonalen aufeinander senkrecht stehen und die Winkel halbieren, was eine Folge der Sätze über das gleichschenklige Dreieck ist, da die Diagonalen ja zuerst als Seitensymmetralen auftreten, also auch Höhen- und Winkelsymmetralen sein müssen. Diese Rhombussätze gelten auch aus gleichen Gründen für das Quadrat, das außerdem als spezielles Rechteck gleichlange Diagonalen haben muß. Der Rhombus ist niemals ein Kreisviereck (da er, projektiv gesprochen, ein verzogenes Quadrat, also ein Ellipsenviereck ist), das Quadrat ist stets ein Kreisviereck. Daraus folgen auch die Winkelbeziehungen, bzw. man kann aus den „Winkelbeziehungen auf die Eigenschaft eines Vierecks als Kreisviereck, schließen.

4. Es bleibt nur noch eine Mischform des Vierecks zu erörtern, nämlich das Deltoid oder das „Drachenviereck“.

Wie ersichtlich hat es die Form eines Papierdrachens und setzt sich aus zwei gleichschenkligen Dreiecken BDC und DBA zusammen, da je zwei anstoßende Seiten (a und a' bzw. b und b') einander gleich sind. Es kann ein Kreisviereck sein, muß es» aber nicht sein. Seine Diagonalen stehen aufeinander stets senkrecht, da wegen der doppelten Symmetrie der beiden gleichschenkligen Dreiecke die Diagonale DB von der Diagonale CA halbiert wird. Deshalb halbiert auch CA die Winkel bei C und bei A. Die zweite Diagonale DB halbiert weder die Winkel bei D und B, noch die andere Diagonale CA. Nur wenn das Deltoid durch Gleichheit der Seiten a und b zu einem Rhombus würde (in welchem Fall es aber nie ein Kreisviereck sein könnte), würden die Diagonalen einander außer der Rechtwinkligkeit ihres Schnittes halbieren sowie auch die Gegenwinkel in beiden Fällen teilen.

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