Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 222c

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Vom Punkt zur vierten Dimension. Geometrie für Jedermann.

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Zweiundzwanzigstes Kapitel

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Harmonische Punkte

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Nun wollen wir unsere Kenntnisse noch um ein gutes Stück vertiefen, indem wir versuchen werden, den Begriff der sogenannten „harmonischen Punkte“ zu gewinnen.

Wir wollen ganz konkret beginnen, indem wir uns vier solcher Punkte auf eine Gerade zeichnen, ohne uns noch darüber den Kopf zu zerbrechen, wie man sie findet oder konstruiert. Wir behaupten also, daß vier Punkte dann auf einer Geraden g „harmonisch“ liegen, oder die Gerade harmonisch zerlegen, wenn der erste Teil sich zum zweiten verhält wie die ganze Strecke zum dritten Teil. In Zeichen:

AF:FB=AG:BG

.

Dabei werden der erste und dritte, der zweite und vierte Punkt die einander „zugeordneten“ Punkte genannt. Es sind also A und B, F und G die einander zugeordneten Punkte.

(Die Punkte A und B heißen auch „Fundamentalpunkte“, die Punkte F und G die „Teilpunkte“.)

Man kann nun gemäß der Verwandlungsmöglichkeit von Proportionen etwa auch AB wie eine gegebene Strecke ansehen, welche durch einen „inneren Teilpunkt“ F nach dem Verhältnis AF zu FB und durch einen „äußeren Teilpunkt“ G in dem gleichen Verhältnis AG zu GB geteilt werden soll. Denn die Gleichsetzung dieser zwei Verhältnisse ergäbe ohne weiteres die erste von uns geforderte Proportion. Man kann aber noch weiter gehen. Man kann etwa FG als die gegebene Strecke ansehen, die durch einen inneren Teilpunkt B nach dem Verhältnis

GB:BF

und durch den äußeren Teilpunkt A nach einem gleichen Verhältnis

GA:AF

geteilt werden soll. Dadurch erhielte ich eine Proportion

GB:BF=GA:AF

. In einer Proportion dürfen nun, ohne ihre Richtigkeit zu gefährden, jederzeit die äußeren oder die inneren Glieder untereinander vertauscht werden, wie man etwa aus

3:9=2:6

ersehen kann. Denn sowohl

6:9=2:3

stimmt, wie auch

3:2=9:6

. Diese Möglichkeit rührt davon her, daß das Produkt der äußeren Glieder in einer Proportion gleich sein muß dem Produkt der inneren Glieder. Wenn

a:b=c:d

dann ist

a\cdot d==b\cdot c

. Da nun bei der Multiplikation das Prinzip der Kommutativität oder Vertauschbarkeit der Faktoren herrscht, darf ich aus

a\cdot d=b\cdot c

sowohl

d\cdot a==b\cdot c

, als auch

a\cdot d=c\cdot b

, als schließlich

d\cdot a=c\cdot b

machen. Deshalb sind folgende Proportionen richtig, wenn

a:b=c:d

richtig ist: 1.)

d:b=c:a

, 2.)

a:c=b:d

, 3.)

d:c=b:a

.

Wenn wir nun in unserer Proportion

GB:BF=GA:AF

die beiden Außenglieder miteinander vertauschen, kommen wir geraden Weges wieder zur ersten Proportion der Harmonik

AF:BF=AG:GB

, was wir ja beweisen wollten. Außerdem folgt noch aus der Gleichheit des Produktes der Außen- und Innenglieder eine Tatsache, die wir vorgreifend an dieser Stelle erwähnen wollen und die für die verschiedensten Konstruktionen wichtig ist. Da nämlich

AG\cdot BF=AF\cdot GB

, so ist das Rechteck aus den zwei äußeren Teilstrecken flächengleich dem Rechteck aus der ganzen Strecke und dem mittleren Teile. Also sind alle vier Rechtecke, die in der Figur dargestellt sind und die die Seiten a und c, b und d, c und a, d und b haben, untereinander flächengleich. Bevor wir zur Konstruktion harmonischer Punkte übergehen, wollen wir den Ausdruck „harmonisch“ ein wenig historisch und formal-mathematisch erläutern. Es gibt bekanntlich eine ganze Reihe von sogenannten Durchschnitts- oder Mittelwerten. Das bekannteste ist wohl das arithmetische Mittel, das wir als Formel für zwei Glieder a und b als

m_{A}=frac{a+b}{2}

schreiben können. Als geometrisches Mittel m_G bezeichnet man

{\sqrt {a\cdot b}}

. Und schließlich als harmonisches Mittel m_H den Bruch

{\frac {2a\cdot b}{a+b}}

. Schon die Pythagoräer fanden, daß die harmonische Beziehung sowohl in der Geometrie als in der Natur (insbesondere in der Akustik und Optik) auftrat. So besteht etwa zwischen den 8 Eckpunkten, 6 Flächen und 12 Kanten des Würfels (oder Parallelepipedons) ein harmonisches Verhältnis, indem die Eckenanzahl das harmonische Mittel zwischen der Flächen- und Kantenanzahl ist. Denn

m_{H}={\frac {2a\cdot b}{a+b}}

, also

m_{H}={\frac {2\cdot 6\cdot 12}{6+12}}={\frac {2\cdot 6\cdot 12}{18}}={\frac {2\cdot 12}{3}}=8

; und auch in der Musik ist etwa die Quart das (in diesem Fall besonders richtig benannte) harmonische Mittel zwischen Grundton und Oktave. Wenn wir also unsere vier Punkte mit Recht als „harmonische Punkte“ bezeichnet haben wollen, dann muß sich wohl irgend eine Brücke zwischen dem harmonischen Mittel und unserer Proportionalitätsförderung schlagen lassen. Oder war es nur der Name, der uns in die Irre lockte? Nein, es stimmt genau, was wir vermuteten, und ein riesenhafter Ausblick auf die Welt der Harmonik wird sich für uns sofort eröffnen und uns von einer Entdeckung zur anderen führen. Man könnte pythagoräisch sagen, daß sich vor uns der Vorhang heben wird und wir Gottes Werkstatt und die Harmonie der Sphären erahnen können.

Wenn wir uns unsere vier harmonischen Punkte wieder aufzeichnen dann behaupten wir, daß m das harmonische Mittel sein solle zwischen a und b. Also

m={\frac {2a\cdot b}{a+b}}

. Und diese Formel soll gleichbedeutend sein mit der von uns bereits aufgestellten Proportion

AF:BF=AG:BG

.

Ersetzen wir einmal unser AF usw. durch m, a und b, was wir aus der Figur leicht entnehmen können. AF ist a, BF ist

(m-a)

, AG ist b und BG ist

(b-m)

. Und nun schreiben wir unsere Proportion einfach in der neuen Schreibweise, worauf wir m „ausrechnen“ werden.

Wir erhalten

a:(m-a)=b:(b-m)

.

Multiplikation der Außen- und Innenglieder ergibt

a\cdot (b-m)=b\cdot (m-a)

oder

a\cdot b-a\cdot m=b\cdot m-b\cdot a

. Wenn ich alle das m enthaltenden Glieder auf eine Seite schaffe, so erhalte ich

b\cdot m+m\cdot a=a\cdot b+b\cdot a=a\cdot b+a\cdot b=2a\cdot b

. Die Größe

b\cdot m+m\cdot a

ist also gleich

2a\cdot b

. Daher ist

m\cdot (b+a)=2a\cdot b

oder

m\cdot (a+b)=2a\cdot b

. Nun das Endergebnis

m={\frac {2a\cdot b}{a+b}}

. Zu unserem freudigen Erstaunen ist die Forderung unserer Proportion mit der Forderung des harmonischen Mittels äquivalent. Wir können jetzt sagen: „Wenn sich durch vier Punkte auf einer Geraden Streckenabschnitte in der Art ergeben, daß der erste Abschnitt sich zum zweiten Abschnitt so verhält wie die ganze Strecke zum_dritten Abschnitt, dann ist die Summe der beiden ersten Abschnitte das harmonische Mittel zwischen dem ersten Abschnitt und der ganzen Strecke.“ Es ist klar, daß sich aus diesen Beziehungen im Wege von Umformungen eine Unmenge anderer Beziehungen gewinnen läßt. Wir wollen nur noch darauf hinweisen, daß sich uns auch sofort eine Tür zum „Doppelverhältnis“ öffnet. Denn so wie jedes der Eins gleiche Doppelverhältnis zu einer gewöhnlichen Proportion wird, so können wir auch jede Proportion sofort als Doppelverhältnis anschreiben und gleich 1 setzen. Dies jedoch vorläufig nur nebenbei.

Wir greifen jetzt einen anderen Gedankengang auf. Es wird, so scheint es uns, jederzeit möglich sein, eine Strecke AB zu zeichnen und zwischen A und B irgendwo einen Teilpunkt F zu setzen. Das muß schon gemäß unseren Axiomen erlaubt sein. Durch diesen Vorgang aber gewinnen wir schon drei Punkte. Und es bleibt nur der vierte hiezu harmonische Punkt problematisch und unbekannt. Wir könnten diesen vierten Punkt allerdings arithmetisch errechnen. Wenn wir nämlich etwa unser AF mit a, unser FB mit b und BG mit x bezeichnen, dann lautet unsere Proportion folgendermaßen:

a:b=(a+b+x):x

oder

a\cdot x-=a\cdot b+b^{2}+b\cdot x

oder

a\cdot x-b\cdot x=a\cdot b+b^{2}

oder

x\cdot (x-b)=b\cdot (a+b)

oder schließlich

x={\frac {b\cdot (a+b)}{a-b}}

, was besagt, daß wir, wenn wir nur einmal AF und FB kennen, daraus auch BG (das x unserer Rechnung) und damit die volle Anzahl der harmonischen Punkte gewinnen können. Unser Ausdruck für x ist uns aber viel zu ungelenk, obgleich er auch allerlei Beziehungen aufdeckt. Wir werden daher versuchen, den „vierten harmonischen Punkt“ zu konstruieren. Dazu bemerken wir, daß wir ebenso auch A, B und G als bekannt voraussetzen und den „inneren“ Teilpunkt F suchen könnten. Zeichnen wir also unsere Figur:

Wir behaupten, daß wir den vierten harmonischen Punkt (vorläufig den „äußeren“ Teilungspunkt G) in einfachster Art bei gegebenen Punkten A, B und F finden können, wobei F nicht genau in der Mitte zwischen A und B liegen darf. Warum, werden wir später erörtern.

Zur Konstruktion haben wir aus einem willkürlichen Strahlungsmittelpunkt M die drei Strahlen MA, MF, MB gezogen. Man zieht nun weiters entweder aus C einen Transversalstrahl gegen B oder aus D einen solchen nach A. Die Punkte D und C sind willkürlich und dürfen jederzeit durch D₁ und ₂ oder durch C₁ und C₂ ersetzt werden. Allerdings besteht die Willkür nur für den ersten gewählten Punkt und nicht für beide zugleich. Denn C ergibt sich aus D, C₁ aus D₁, C₂ aus D₂ und umgekehrt D aus C, D₁ aus C₁ usw. Ich muß nämlich, falls ich etwa C mit B verbunden hätte, jetzt aus A die Gerade durch E legen, um D zu erhalten und umgekehrt. Stets muß ich zuerst einen Schnittpunkt mit dem mittleren Strahl herstellen, um den anderen Transversalpunkt zu konstruieren. Nun haben wir schließlich nichts weiter zu tun, als C mit D zu verbinden. Wo die Verbindungsgerade g schneidet, dort liegt der vierte harmonische Punkt G. Wie man sieht, hätte man ihn ebenso aus C₁ und D₁, C₂ und D₂ und aus all den anderen unendlich vielen Strahlen gewonnen, die einander, von A und B kommend, auf MF schneiden.

Unser Beweis knüpft wieder an den „Folge-Menelaos“ und an den „Menelaos“ selbst an. Da nämlich nach dem „Folge-Menelaos“

{\frac {MD}{DB}}:{\frac {MC}{CA}}=AF:BF

und nach dem „Menelaos“

{\frac {MD}{DB}}:{\frac {MC}{CA}}=AG:BG

, so ist nach dem Satze, daß zwei Größen, die einer dritten gleich sind, auch untereinander gleich sein müssen, die Proportion erfüllt:

AF:BF=AG:BG

,

was zu beweisen war.

Nun wenden wir uns sofort der Aufgabe zu, den inneren Teilpunkt F zu suchen, wenn A, B und G gegeben sind. Wir zeichnen keine neue Figur, sondern benützen dazu die vorhergegangene, da es sich jetzt nur gleichsam um eine Änderung der Gedankenrichtung handelt. Wir empfehlen aber dem Leser an dieser Stelle noch einmal dringendst, alle Figuren der projektiven Geometrie, streng nach unseren Anleitungen, selbst zu zeichnen, und zwar mit einem guten Lineal, da man erst dadurch gleichsam den Webstuhl dieser wundervollen Kunst voll durchschauen kann.

Wir wählen also wieder willkürlich einen Punkt M und ziehen aus diesem Punkt die zwei Strahlen MA und MB. Hierauf ziehe man aus G entweder MC oder MC₁ oder MC₂ oder irgend eine Gerade, die die beiden Strahlen schneidet. Die beiden Schnittpunkte verbindet man dann überkreuzt mit A und B (also CB und DA), wodurch man den Schnittpunkt E gewinnt. Durch diesen zieht man von M eine Gerade bis zum Schnitt mit g, der im gesuchten Punkte F erfolgen muß. Zum Beweis zieht man, genau wie im Falle des gesuchten äußeren Punktes, den „Folge-Menelaos“ und den „Menelaos“ heran, wie wir ihn schon oben gegeben haben.

Nun hätten wir noch aufzuklären, warum der Teilpunkt F die Strecke AB nicht im Mittelpunkt dieser Strecke oder, was dasselbe ist, im Verhältnis 1 : 1 teilen darf. Warum also das einfache Verhältnis AF : FB nicht gleich eins sein darf. Wenn wir uns eine entsprechende Figur zeichnen, in der natürlich nur der „äußere“ Teilpunkt gesucht werden kann, da wir den „inneren“ ja eben in die Mitte zwischen A und B legten, so sehen wir zu unserer Verblüffung, daß wir den Punkt G nicht gewinnen können, da CD stets parallel wird zu g, was auch immer wir versuchen.

Hier hat sich die Geometrie selbst in einer merkwürdigen Art geholfen, da wir an sie eine unerfüllbare Forderung gestellt haben. Wir hatten nämlich verlangt, daß sich AF zu FB wie 1 zu 1 und außerdem wie irgend eine Strecke AG zu ihrem Teil BG1 verhalten solle.

Es könnte auch statt „Teil“ BG „Vielfaches“ gesetzt werden. Dadurch würde alles gleich bleiben, nur der Punkt E wurde auf die andere Seite, also links von A, zu liegen kommen.

Diese Forderung ist unlogisch, da sich das Ganze zum Teil niemals wie 1 : 1 verhalten kann. Denn das würde voraussetzen, daß das Ganze unter Umständen dem Teile gleich sein könnte. Unsere herrliche Denkmaschine war aber gescheiter als wir. Sie hat einen unglaublich raffinierten Ausweg gefunden, und zwar ganz automatisch, um die Allgemeinheit unseres harmonischen Satzes zu retten. Es gibt nämlich ein Reich, wo das Ganze zum Teil sich verhalten kann wie 1 : 1. Es ist dies das alles verschlingende Reich des Unendlichen. Ob wir uns nun vorstellen, daß bei einem „unendlich fernen“ Punkt G die Differenz AB, die ja das Ganze vom Teil unterscheidet, zur belanglosen Winzigkeit, zum Nichts zusammenschrumpft, da ja ∞ - AB stets ∞, oder ob wir behaupten

AG:GB=\infty :\infty ={\frac {\infty }{\infty }}=1

, oder ob wir solche Folgerungen aus philosophischen Bedenken zurückschieben und unseren Grenzfall einfach aus der Konstruktion dankbar hinnehmen und behaupten, zur Erhaltung unseres Algorithmus müsse man in dieser Konstellation all dies nach dem Permanenzprinzip von Hankel einfach postulieren: Rätselhaft bleibt, was wir da eben fanden, auf jeden Fall. Um so mehr als wir die Parallelität von g und CD nach dem „Folge-Menelaos“ und aus der Ähnlichkeit der Dreiecke sofort beweisen können. Man hat nun diese höchst wichtige Ausnahme in der projektiven Geometrie in der Art formuliert, daß man sagt, „die Endpunkte einer Strecke AB seien durch ihren Mittelpunkt F und den unendlich fernen Punkt G harmonisch getrennt.“

Natürlich kann ich jetzt aus einem unendlichfernen äußeren Teilungspunkt G den inneren Teilungspunkt F finden, der AB halbieren muß. Wir haben diese Konstruktion unter anderen Gesichtspunkten schon durchgeführt, als wir uns die Aufgabe stellten, eine Strecke zu halbieren, wobei wir nur das Lineal benützen durften. Jetzt sagen wir einfach, daß, vom unendlichfernen Punkt G kommend, eine Gerade die beiden Strahlen MA und M B schneidet. Diese Schnittpunkte sind kreuzweise mit B und A zu verbinden, wodurch ich E gewinne. Die Verbindung des Strahlungsmittelpunktes M mit E muß aber, verlängert, im Punkte F die Strecke AB halbieren.

So verlockend es wäre, in diesen zauberhaften Gefilden der Harmonik weiter zu verweilen, müssen wir hier vorläufig abbrechen, da uns neue große Aufgaben rufen. Wir wollen aber nicht unerwähnt lassen, daß der deutsche Geometriker Steiner schon im Jahre 1833 in seinem Werk „Geometrische Konstruktionen“ eine Menge von Eigenschaften der harmonischen Punkte aufgezeigt hat. Einer der größten Bahnbrecher der projektiven Geometrie aber, der berühmte v. Staudt, hat sogar die ganze Geometrie der Lage auf das harmonische Gebilde aufgebaut.

Es erübrigt nur noch, rückschauend eine Verbindung zu finden zwischen der Schreibweise des Doppelverhältnisses und der harmonischen Lage von Punkten. Denn gerade diese Schreibweise hat eine überragende Wichtigkeit, da sie die „Maßbeziehung“ der ganzen projektiven Geometrie darstellt. Es wurde über das Doppelverhältnis und über die harmonischen Punkte eine Brücke zur analytischen oder Koordinatengeometrie geschlagen, die wir allerdings nicht zeigen, da wir einen anderen Übergang in Hilbertscher Art durch den, ja ebenfalls projektiven „Maß-Pascal“ finden werden. Dies aber nur nebenbei. Jetzt interessiert uns die Art, in der wir die Harmonik von vier Punkten in einem Doppelverhältnis ausdrücken können. Dabei müssen wir uns zwei Dinge vor Augen halten. Zuerst, daß ein Doppelverhältnis dann in eine Proportion übergeht, wenn es den absoluten Wert eins hat. Also

{\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}=|1|

,

wobei die beiden senkrechten Striche, die die Eins. einrahmen, wie bekannt, die Tatsache bedeuten, daß es sich um die Eins schlechthin, unabhängig von ihrem Vorzeichen, handelt. Wir könnten also auch schreiben:

{\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}=\pm 1

,

ist die Bedingung dafür, daß ein Doppelverhältnis in eine Proportion übergeht. Denn die Umformung der Proportion in eine Gleichung ergibt sofort

{\frac {a}{b}}=\pm {\frac {c}{d}}

oder

a:b=\pm (c:d)

oder,

was dasselbe ist,

\pm (a:b)=c:d

. Es genügt nun ein einziges negatives Glied der Proportion dafür, daß das ganze Doppelverhältnis den Wert

(-1)

bekommt. Denn

a:(-b)=c:d

würde

-{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}

also

(-{\frac {a}{b}})={\frac {c}{d}}=-1

ergeben. Wenn ein Doppelverhältnis als Ergebnis

(-1)

liefert, dann sind entweder ein Glied oder drei Glieder der Proportion negative Größen, was nach arithmetischen Gesetzen auf das Gleiche hinausläuft. Was aber heißt nun eine negative Strecke? Wir antworten, daß es sich dabei um die Richtung handelt. Denn das Minuszeichen ist der Befehl für das sogenannte „Abziehen“, d. h. für eine Richtung der Strecke, die der additiven oder aufbauenden Richtung entgegengesetzt ist.

Wenn wir eine Strecke AB durch das Ziehen der Verbindungsgeraden aufbauen, dann kann ich B F, also eine in verkehrter Richtung laufende Strecke von AB „ab“-ziehen und behalte als Rest die positive Strecke AF. Unsere Festsetzung ist so einleuchtend, daß man sie sicherlich nicht als gewaltsam oder unnatürlich bezeichnen kann. Wir führen einfach ein „Rechts - Links“ als Richtungssinn ein und nennen nach Belieben die Bewegung von links nach rechts die positive, von rechts nach links die negative oder umgekehrt. Diese Überlegungen sind ja von der „Zahlenlinie“ her bekannt.

Nun fordern wir beim harmonischen Verhältnis der vier Punkte auch Richtungen. Denn wir setzen voraus, daß zwei sogenannte Fundamentalpunkte A und B durch zwei Teilpunkte F und G harmonisch getrennt werden. Die Reihenfolge muß also stets so sein, daß der innere Teilpunkt F zwischen A und B liegt, während der äußere rechts oder links außerhalb liegen kann. Es können also als Punktefolgen nur auftreten: AFBG, GAFB, BFAG und GBFA. Daher muß auch jede Strecke der Proportion einen Richtungsanzeiger erhalten, weil sonst die Getrenntheit der Fundamentalpunkte durch die Teilpunkte verloren ginge.

Wir versuchen es einmal mit der Forderung, daß das Doppelverhältnis