Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 161c

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Geschichte der Mathematik (Teil 61)

Unsere Ermahnung zu intensiverer historischer Einstellung gegenüber dieser Wahrscheinlich bald wieder vorübergehenden einseitigen Hyper-Logisierung der Mathematik, die in Wahrheit allem Anschein nach nichts ist als die Tragikomödie einer Mathematisierung der Logik, richtet sich auch nicht an die Fachleute, die ja sicherlich alle diese Tatbestände kennen und ihre eigenen Lehren durchaus nicht so einseitig meinen, wie sie von all denen aufgefaßt werden, die weder die Mathematik, noch die Logik, noch die Philosophie, noch auch die Kulturgeschichte hinreichend allgemein überblicken. Kurz zusammengefaßt: wir befinden uns seit der Grundlagenforschung der Mathematik und seit der Erfindung des Logikkalküls in einer äußerst spannungsreichen und interessanten Epoche der Mathematik und der Logik, die durch die Aufstellung der mehrwertigen Logiken und durch die Verbindung n-wertiger Logiken mit der Wahrscheinlichkeitstheorie, wie sie etwa durch Reichenbach erfolgte, an Problematik nicht gerade arm ist; wobei gleichwohl ein kühler Historiker der Mathematik mit einer gewissen Skepsis feststellen muß, daß diese Überkomplikationen den Befähigungsnachweis nach der produktiven Seite hin noch durchaus nicht erbracht haben.

Wir wollen deshalb die strengen Bereiche der logisierten Mathematik und der mathematisierten Logik, die wir ja auch bloß streifen durften, verlassen und wollen uns am Schluß dieser Reise durch Zeiten und Räume der Frage zuwenden, welches übergeordnete, gemeinsame Merkmal wohl all den Bestrebungen der Jahrhunderte seit Leibniz, insbesondere dem neunzehnten und dem beginnenden zwanzigsten Jahrhundert, zukommen möge. Wir sind uns darüber klar, daß wir damit in gewissem Sinne den Boden der Tatsachen verlassen und die Regionen subjektiver Eindrücke betreten müssen. Wir werden uns aber gleichwohl bemühen, diese Eindrücke nicht zu Träumen oder zur Fabuliererei entarten zu lassen.

Wenn wir also auf den langen und mühsamen Weg zurückblicken, den wir bisher miteinander gegangen sind, dann fällt uns eine merkwürdige Eigenschaft auf, die all den Entdeckungen der letzten hundertfünfzig Jahre mehr oder minder versteckt zugrundeliegt. Wir wollen sie vorläufig sehr angenähert als „Perspektive“, als „Ähnlichkeitsuntersuchung“ und als „Maßstabveränderung“ bezeichnen. Im innersten Wesen gehören alle drei Standpunkte irgendwie eng zusammen. Wir wollen es aber nicht bei der Andeutung größerer Zusammenhänge bewenden lassen, sondern unsere Vermutung im einzelnen durchführen.

Daß sich die darstellende und die projektive Geometrie, weiters auch überhaupt jede Geometrie der Lage, mit allen dreien der oben erwahnten Begriffskategorien befaßt und befassen muß, ist einleuchtend und bedarf keiner weiteren Erörterung. Dieser Drang, alle Dinge unter anderen Gesichtswinkeln abzubilden, sie zu transformieren, um zu untersuchen, was dabei Bestand habe und was nicht, griff jedoch Weit über den engeren Bereich der darstellenden und der projektiven Geometrie hinaus und wurde etwa bezüglich der nichteuklidischen Geometrien zur unbedingten Verallgemeinerung des Begriffes einer Geometrie überhaupt. Dadurch auch entwickelte sich die Idee einer invarianten oder unempfindlichen Zone, die sämtlichen Geometrien gemeinsam ist und von manchen Autoren treffend die „absolute Geometrie“ neben den unendlich vielen möglichen, gleichsam relativen Geometrien genannt wird. Da nun aber seit Descartes ein Weitgehender Strukturparallelismus, wenn nicht gar eine Identitat von Geometrie und Algebra besteht, indem beide Teilreiche der Mathematik als nichts anderes betrachtet werden denn als untergeordnete Vasallenstaaten eines über beiden stehenden Reiches der reinen Formen,

(Wir gebrauchen den Ausdruck „Form“ in noch umfassenderem Sinn als die moderne Theorie, die unter „Form“ die linke Seite einer aufs Null gebrachten Gleichung versteht.)

war es sehr wenig verwunderlich, daß sich die Veranderung in den Anschauungen über die Geometrie sofort auch als eine Verfassungsänderung im Reiche der Algebra und der universellen Symbolik geltend machte. Auf dieser Linie liegen sämtliche epochalen Entdeckungen über Kongruenz im Sinne Gaußens und über Gruppen. Überall in diesen Ideengebäuden handelt es sich irgendwie um die Frage, was bei allerlei Verzerrungen, allerlei anderen Perspektiven und allerlei Substitutionen bzw. Transformationen erhalten oder invariant bleibt. Wir erinnern uns bei diesen vielfältigen Bemühungen um versteckte Zusammenhänge unwillkürlich an die „Koinzidenzen“ des Gusanus. Natürlich ist die Ähnlichkeit des scholastischen Begriffes der „Koinzidenz“ mit dem modernen Begriff der „StrukturInvarianz“ nur eine sehr ungefähre. Aber sie besteht trotzdem irgendwie in der psychologischen Richtung des Herantretens an die Probleme.

Was, so fragen wir uns, ist nun der tiefste Sinn und die unterste Absicht all dieser perspektivischen Bemühungen? Ist es bloß das Bestreben, die Dinge aus verschiedensten Gesichtswinkeln zu erblicken, sie deutlicher oder allgemeiner zu machen? Sicherlich sind derartige Motive in diesem Forschungsziel auch mitenthalten. Sie sind aber unserer Ansicht nach nicht die primären Triebkräfte. Denn „Verallgemeinerung“ an sich wäre bloß eine extensive und durchaus keine intensive Bemühung. Man hätte dadurch letzten Endes das Feld der Forschung nur verbreitert, ohne den wirklichen Zusammenhängen näher an den Leib zu rücken. Im Gegenteil: man hätte sich -- und es schien zum Teil wirklich so - durch eine zügellose Verallgemeinerung sogar von der Möglichkeit entfernt, die Zusammenhänge zu durchschauen. Aber es schien nur oberflächlichen Betrachtern so. Denn die gleichzeitige Bemühung um Verallgemeinerung und Erkenntnis der Invarianz ist etwas grundlegend anderes als die Ausbreitung und Anhäufung des verallgemeinerten Materiales ohne die Korrektur der Invarianzuntersuchung. Wählen wir ein simples Beispiel: schon Diophant, wenn nicht manch noch früherer Arithmetiker, hat instinktmäßig gewußt, daß eine an sich unlösbare Gleichung sofort lösbar wird, wenn man, im gewöhnlichen Sinne des Wortes, für die Unbekannte einfachere oder vielleicht auch manchmal kompliziertere Ausdrücke „substituiert“. Die Tätigkeit des Umformens, die wir etwa bei der Cardanoschen Lösung der kubischen Gleichungen in besonderer Deutlichkeit erfolgreich am Werke gesehen haben, ist jedoch nicht auf die Gleichungen beschränkt geblieben. In weit umfassenderer und noch viel weniger durchsichtiger Art trat sie bei der Auswertung (Lösung) von Integralen auf, bei denen sie zum großen Teil die Voraussetzung der Brauchbarkeit des ganzen Integral-Algorithmus wurde. Warum nun darf man das eine Mal substituieren, das andre Mal nicht? Warum führt die eine Art dieser Transformation bei gewissen Integralen sicher zum Ziel, während sie ein anderes Mal kläglich versagt? Was, wie und wo darf man transformieren? Wir sprechen dabei noch gar nicht von der theoretischen Physik, bei der solche Fragen gleichsam stündlich auftreten.

Kurz, man mußte in all diese Probleme des Algorithmus irgendeine Klarheit hineinbringen, mußte die einzelnen Algorithmen gleichsam degradieren, mußte sie zu Teilalgorithmen machen, um die Möglichkeit und Richtigkeit der Übergänge von einem Formreich zum andren zu zeigen. Diesem Zwecke diente auch in hervorragendem Maße die Einführung der komplexen Zahlen. Wir haben wiederholt vom „Geisterreich“ der Mathematik gesprochen, haben die komplexen Gebilde mit platonischen Ideen verglichen und behauptet, sie seien in ihrer Vollkommenheit und Symmetrie die Urbilder aller anderen Zahlen, die manchmal so sehr verstümmelt, so sehr von „irdischen“ Mängeln und Gebrechen entstellt seien, daß man ihre wahren Eigenschaften überhaupt nicht mehr erkennen könne und dadurch zwangsläufig in Fehler verfalle, die nur dann vermeidbar seien, wenn man sich Rat im Geisterreich bei den Vorbildern hole. Auch diesen Methoden liegt ein perspektivischer, ein Abbildungsgedanke zugrunde. Man projiziert gleichsam das reelle Reich ins komplexe und das komplexe ins reelle und erkennt bei dieser Transformation, welche Eigenschaften erhalten bleiben und welche nicht. Und man ist imstande, im komplexen Gebiet Operationen allgemeinster Art durchzuführen, deren manchmal sehr begrenzte Spezialfälle hierauf die Operationen im reellen Reiche sind. Denken wir hier bloß an den Fundamentalsatz der Algebra, an die polygonale Anordnung der Wurzellösungen und an die mit dieser Polygoneigenschaft zusammenhängende Lehre von der Kreisteilung. Diese Kreisteilungslehre setzt sich Weiter in trigonometrischer, konstruktiver und gleichungstheoretischer Richtung fort und man ist, etwa in der Gruppentheorie, imstande, eine „Gruppe“ der Lösungen einer Gleichung n-ten Grades zu bilden, die sich nun nach dem Algorithmus der Gruppentheorie zu anderen Gruppen, etwa Rest-Modulsystemen, in Beziehung setzen läßt. Oder denken wir an die Logarithmen, deren Eigenschaften zugleich erklärlicher, zugleich aber noch mystischer und noch „wundertätiger“ werden, wenn wir erfahren, daß im Geisterreich jeder Zahl unendlich viele Logarithmen zugeordnet sind. Solche „Geistereigenschaften“ treten auf der reellen „Erde“ plötzlich irgendwo unvermutet ans Tageslicht und sind ebenso undurchsichtig wie verheerend, wenn man die Urbilder nicht kennt.

Es gibt aber noch ein weiteres Gebiet der Mathematik, das mit dieser „perspektivischen Weltanschauung“ zu tun hat, die wir als gemeinsames Symptom der Forschungen des neunzehnten Jahrhunderts ansprechen. Wir meinen den Begriff der Konvergenz. Rein optisch betrachtet, ist eine konvergente Reihe nichts andres als eine Skala, deren „Einheiten“ irgendwie perspektivisch liegen. Gewisse konvergente Reihen gleichen, bildlich gesprochen, einem Meßband, das sich in die Ferne verliert, so daß die „Einheiten“ sich mehr und mehr verkürzen, bis sie endlich an die Sky-line, an den Horizont des Grenzpunktes, bzw. komplex gesprochen, des Randes oder Konvergenzkreises stoßen. Aus solchen Überlegungen heraus verbinden sich auch sofort die nichteuklidischen Geometrien, die projektive Geometrie und die Konvergenzbetrachtungen zu einer neuen Über-Einheit von Gebieten. Derartige Standpunkte aber leiten weiter zu kosmologischen Betrachtungen, wie etwa zurAnsicht von der Geschlossenheit' und Endlichkeit des Universums über, da es sich ja dabei um nichts andres als um die Postulierung einer nichteuklidischen Struktur des Erfahrungsraumes h andelt. Aber selbst die Mengenlehre, die auf den ersten Blick mit ihrer aktualen Unendlichkeit den Gesetzen der Perspektive nicht zu folgen und abseits von diesen Aspekten ihren Weg zu schreiten scheint, ist durchaus in das „perspektivische Weltbild“ des neunzehnten und des beginnenden zwanzigsten Jahrhunderts eingegliedert. Die „punktweise Zuordnung“ der Mengen allein ist eine perspektivische Angelegenheit, und sämtliche Maßstabfragen der Koordinatengeometrie, die mit Punktmengen operiert, führen auf derartige Probleme zurück.

Wir haben versucht, in kurzen Andeutungen zu zeigen, daß die ganze Mathematik der letzten hundertfünfzig Jahre, so vielfältig, verworren, esoterisch und andersgeartet sie auch erscheint, gleichwohl einen sehr deutlichen „Konvergenzpunkt“ besitzt, der alles eher denn ein unendlich ferner Punkt zu sein scheint. Irgendwie liegt die Tat des Jakobiners De Monge und seiner Schüler, die auf deutschem Boden dann ihren faustischen Aufwärtstrieb erhielt, als Schatten über dem Jahrhundert. Und wir vermuten, daß sich, rein historisch betrachtet, eine Synthese all dieser „perspektivischen“ Ansätze vorbereitet, die in irgendeine allgemeinste „Ähnlichkeitsmathematik“ münden wird. Dieser Mathematik gegenüber dürfte die „vor-Galoissche“ oder „vor-Gaußsche“ Mathematik als „Gleichheitsmathematik“ bezeichnet werden dürfen.

Naturgemäß ist der einwandfreie und gesicherte Ausbau dieser Synthese, zu der im höchsten Maß sämtliche Vektorenbetrachtungen mit ihren Verschiebungen, Drehungen, Drehstreckungen und Drehkürzungen gehören, ohne gründlichste philosophische Kontrolle nicht möglich. An dieser Stelle und von diesem neuen Standpunkt aus ist die Mitarbeit der Logistik nicht nur interessant, sondern höchst ersprießlich, sofern sie sich ihrer kontrollierenden Aufgabe bewußt bleibt und nicht wähnt, die letzte Instanz eines vollendeten logisch-mathematischen Kosmos zu sein. Dieser letztere, durchaus magische Gedanke widerspricht, wie wir zu zeigen versuchten, den Tatsachen der Geschichte. Und widerspricht, wie man in unerschöpflicher Vielfalt zeigen könnte, auch dem tiefsten Instinkt zahlreicher erstrangiger Mathematiker.

So sagt etwa Felix Klein auf Seite 51 seiner bereits erwähnten „Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert“ ungefahr, daß „Strenge“ der Mathematik ein aus der griechischen Antike stammendes Ideal sei, das die rein logische Ableitung der ganzen Mathematik aus einer möglichst beschränkten Anzahl an die Spitze gestellter Voraussetzungen beinhalte. „Hier möchte ich“, fährt Klein fort, „nun betonen, daß selbst bei einer idealen ,Strenge“ in diesem Sinne ein gewisses, anschauungsmäßiges, alogisches Element bei der Bildung der Grundlagen beteiligt bleibt.“ Und er sagt dann auf Seite 53 weiter: „Aus der Betrachtung der Geschichte unsrer Wissenschaft ergibt sich nämlich, daß „Strenge“ bei alledem etwas Relatives ist, eine Forderung, die sich mit der fortschreitenden Wissenschaft erst entwickelt. Es ist interessant, zu beobachten, wie in einer auf Strenge gerichteten Periode die Zeitgenossen jedesmal glauben, das Maximum in dieser Richtung geleistet zu haben, und wie dann noch eine spätere Generation in ihren Forderungen und Leistungen über sie hinwegschreitet. So wurde Euklid überholt, so Gauß, so Weierstraß. Es scheinen der Entwicklung in dieser Richtung so wenig Grenzen gesetzt zu sein, wie sie für die schöpferische Erfindungskraft existieren.“

Diese Worte sind nicht etwa als Programm, sondern als Summe eines unendlich reichen Lebens gesprochen worden. Der damals mehr als sechzigjährige Klein hielt seine „Vorlesungen“ in den ersten Kriegsjahren, also zu einer Zeit, da alle Untersuchungen über die Grundlagen der Mathematik, an die man heute appelliert, bereits vorlagen. Kronecker, Frege, Hilbert, um nur wenige Namen zu nennen, waren Klein bereits genau bekannt, ebenso Poincaré, Couturat und andre.

Wir halten somit diese Worte für durchaus mehr als ein geistreiches Aperçu. Und wir können und wollen uns nach unsrer Fahrt durch Raum und Zeit keinerlei Untergangs- oder Vollendungsbehauptung unterwerfen. Im Gegenteil: wie sich nach der Monadenlehre eines der Größten unsrer Wissenschaft, des großen Leibniz, ein Kosmos über den andren türmt, um schließlich in die Monade der Monaden, in Gott, zu münden, so scheinen, um die Worte Kleins abgekürzt zu wiederholen, weder der kritischen noch der produktiven Entwicklung unsrer herrlichen, wahrhaft königlichen Wissenschaft irgendwelche Grenzen des Höherbaues gesetzt zu sein.