Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 157c

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Geschichte der Mathematik (Teil 57)

Wie schon mehrfach erwähnt, ist es uns leider versagt, hier eine Materie abzuhandeln, deren gewissenhafte Darstellung ein ganzes Buch erfordern würde, wenn man auch nur die wichtigsten Kapitel erschöpfend erörtern wollte. Wir müssen uns also wieder darauf beschränken, im Wege unsrer „pädagogischen Substitution“, einige zugängliche Beispiele zu geben, deren vielfache Transformation in die Gefilde der höheren Schwierigkeit und Kompliziertheit erst den Gegenstand ausmacht, von dem wir andeutungsweise zu sprechen versuchen. Wir haben schon gehört, daß Stetigkeit und Differentiierbarkeit charakteristisch und bedeutungsvoll für eine Klasse von Funktionen sind. Mit dieser Klasse haben wir es im „Leben“ vorwiegend zu tun. Wobei unter „Leben“ die Physik, Technik, Geodäsie, Astronomie, Meteorologie usw. zu verstehen ist. Am Beginn der Unendlichkeitsanalysis hielt man auch diese beiden Klasseneigenschaften der Stetigkeit und Differentiierbarkeitfast als begriffswesentlich für eine Funktion, zumindest war man der festen Überzeugung, daß es sich hierbei nicht um getrennte Eigenschaften handelte. Wußte man, daß eine Funktion stetig war, dann war sie differentiierbar, und war sie differentiierbar, dann war sie stetig. War sie aber das eine oder das andere, dann mußte die Bildkurve der Funktion eine Tangente haben. Denn der Differentialquotient ist ja nichts andres als ein rechnerischer Ausdruck des Verhältnisses gewisser mit der Tangente zusammenhängender Projektionen. Um so erstaunter war man, als Weierstraß diesem Traum ein unwiderrufliches Ende bereitete. Die von Riemann und Weierstraß begründete Funktionentheorie deckte nämlich nicht nur all die Dinge auf, von denen wir bisher gesprochen haben, sondern sie bewies darüber hinaus, daß die Stetigkeit und die Differentiierbarkeit zwei voneinander getrennte Eigenschaften sind. Es gibt also Funktionen, die stetig sind und keinen Differentialquotienten, also keine Tangente besitzen.

(Wie wir sehen werden, gibt es sogar Stellen, an denen ein Differentialquotient, aber keine Tangente existiert!)

Allerdings ein geometrisch kaum faßbarer Gedanke. Außerdem weiß man heute, daß Funktionen mit Stetigkeit und Differentiierbarkeit nur ein winziges Inselchen im Ozean der ungleich zahlreicheren Funktionen sind, denen diese Eigenschaften nicht zukommen. Dazu allerdings müssen wir bemerken, daß dieser Tatbestand, rein logisch betrachtet, nicht so sehr aus dem Wesen der ursprünglichen Begriffsbestimmung der Funktion, als aus deren Erweiterung resultiert. Und daß es sich hierbei im höheren Sinne um einen Trugschluß handelt, der allerdings der Mathematik nicht angelastet werden soll, da es nur durch die Erweiterung des Funktionsbegriffes möglich wurde, das Gebiet der Funktionen im alten Sinne richtiggabzustecken und zu sichern. Wobei noch außerdem selbst in dieses eingeengte, sozusagen klassische Gebiet der Funktionen Dinge und Abnormalitaten hineinragen, deren tiefere Zusammenhänge nur im erweiterten Gebiet der komplexen Funktionen erforscht werden können.

Doch wir versprachen Beispiele, damit wir wenigstens einen schwachen Schimmer der Tiefen erblicken, um die es sich in diesem Kapitel handelt. Hätten wir etwa die Funktion $\textstyle y=x^{\frac {1}{3}}$ zu untersuchen, so müssen wir sofort einsehen, daß sie im ganzen Bereich von $-\infty$ bis $+\infty$ stetig verläuft. Der Differentialquotient dieser Funktion ist $\textstyle y^{'}={\frac {1}{3}}x^{-{\frac {2}{3}}}$ für $x$ kleiner oder größer als $0$. Für $x=0$ erhalten wir als Differentialquotienten den Wert $\infty$. Unsre Funktion hat also einen Differentialquotienten, der allerdings in einem bestimmten Punkt keine endliche Zahl darstellt. Komplizierter wird die Lage bereits bei der sogenannten Neilschen Parabel $y=x^{\frac {2}{3}}$, die ebenfalls von $-\infty$ bis $+\infty$ stetig verläuft. Diese Kurve hat nämlich an der Stelle $x=0$ als sogenannten vorderen oder rechten Differentialquotienten $+\infty$ und als hinteren oder linken Differentialquotienten $-\infty$. Es existiert an dieser Stelle also trotz Stetigkeit keine Tangente. Dasselbe wäre der Fall bei $y=|x|$, wo für die Stelle $|x|=0$ der vordere Differentialquotient $+1$ und der hintere Differentialquotient $-1$ beträgt. Also wieder keine Tangente trotz Stetigkeit und Differentiierbarkeit.

Nun existieren aber, wie gesagt, sogar stetige nicht differentiierbare Funktionen, die wir allerdings in unsrem Rahmen nicht erörtern können. Als Abschluß dieser Betrachtungen noch ein kleines Beispiel: bis zur Einführung komplexer Größen glaubte man mit Recht, die Funktion $\textstyle y={\frac {1}{1+x^{2}}}$ sei von $+\infty$ bis $-\infty$ stetig. Bei näherer Betrachtung stellte es sich jedoch sofort heraus, daß diese Funktion bei $x=\pm i$ zwei Unstetigkeitsstellen hat, an denen der Funktionswert plötzlich ins Unendliche fortschnellt.

Denn ${\frac {1}{1+i^{2}}}={\frac {1}{1+({\sqrt {-1}})^{2}}}$$={\frac {1}{1-1}}=\infty$ und bei $(-i)$ desgleichen.

Daß diese und ähnliche weitergehende Untersuchungen außerdem eine ungeheure Bedeutung für die Theorie der Integrale haben, ist klar. Und es ist weiter klar, daß sie diese Bedeutung auch auf einem Gebiet besitzen, das zu den Hauptanwendungsbereichen des Integralkalküls gehört: nämlich bei den Differentialgleichungen. Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, bei der nicht bloß die Veränderlichen, etwa $x$ und $y$, sondern auch Differentiale der Veränderlichen, also das $dx$ und $dy$, entweder allein oder in Verbindung mit den Veränderlichen erscheinen. Solche Gleichungen entstehen in allen Gebieten der theoretischen Physik durch Umformungen von vorhergegangenen Differentiationen oder als primärer Ansatz. Sie dienen in ausgedehntester Weise zur Beschreibung von Naturvorgängen, da wir imstande sind, durch Differentialgleichungen Zustände ganzer Felder oder Bereiche zu fixieren. Die Auflösung derartiger Gleichungen erfolgt in letzter Linie durch beiderseitige Integration der Gleichung, wodurch die Differentialgleichung auf eine normale Funktion mehrerer Veränderlicher zurückgeführt wird, also nunmehr einen konkreten Verlauf charakterisiert.

Was also spielt bei diesen Problemen, zu denen noch die teilweise oder partielle Differentiation erschwerend hinzutritt, die Hauptrolle? Wohl die Funktion, die Differentiation und die Integration. Wie aber komme ich diesen Gebieten wirklich zureichend bei? Wieder nur durch eine erschöpfende Kenntnis aller Möglichkeiten, die in den Funktionen liegen.

Wir denken, daß es dem Leser jetzt schon einigermaßen klar sein muß, worum es sich bei der Funktionentheorie rein zielmäßig handelt. Und daß er dazu überzeugt ist, es drehe sich dabei um todernste Realitäten und nicht um geistige Exzesse mathematischer Akrobaten. Wir werden dieses Kapitel aber gleichwohl nicht schließen, bevor wir noch das Tor zu einem weit grandioseren Ausblick geöffnet haben, zu einem Reich, dessen Kolonien heute fast alle Gebiete der dynamischen Physik sind. Damit aber wollen wir zugleich in den biographischen Teil unsrer Erörterungen eintreten und von Sir William Rowan Hamilton sprechen, der im Jahre 1805 in Dublin geboren wurde. Wir nannten ihn bereits ein eigenwilliges Genie. Er war fast mehr. Nämlich einer der göttlich Wahnwitzigen unsrer Wissenschaft, besser unsrer großen Kunst. Hamilton konnte bereits mit 10 Jahren den ganzen Homer auswendig und begann hierauf Arabisch und Sanskrit zu studieren. Wenige Jahre später beherrschte er 13 Sprachen. Er dichtete auch und lebte in Freundschaft mit Wordsworth. Mit 23 Jahren erhielt er die ehrenvolle Stellung eines Direktors der Sternwarte von Dunsink bei Dublin mit dem Titel „Royal Astronomer of Ireland“, die er bis zu seinem Tode (1865) innehatte. Er ist auch zeitlebens der Dichtung nicht untreu geworden. Leider aber auch nicht dem Alkohol, dem er so sehr frönte, daß eine Legende berichtet, er habe des Nachts mit einem Seil an das Fernrohr der Sternwarte festgebunden werden müssen, um nicht abzustürzen. Die vielfachen Räusche des Dichtens, der höchsten Mathematik, der Philosophie und des Alkohols verdüsterten schließlich seinen Geist, so daß er in den letzten Lebensjahren wunderlich, wenn nicht sogar wirklich geistig abnormal wurde. Jedenfalls wollen wir in keiner Weise mit diesem Genius rechten, sondern bloß feststellen, wie er dionysisch lebte, schuf und starb. Denn sein Wollen war sicherlich noch weit gigantischer als seine riesige Tat und er wurde darum so recht eigentlich einer der mächtigsten Propheten des Geisterreiches der Mathematik.

Schon im Jahre 1835 erschien das erste Werk Hamiltons über „konjugierte Funktionen“. Er versuchte in dieser Arbeit den philosophischen Spuren Kants zu folgen und den Zahlbegriff aus der Anschauungsform der Zeit zu begründen, was er in Sätzen wie: „Das quantitativ Räumliche tritt erst bei der Differenzenbildung in die Vorstellungswelt, wodurch die Operation des Messens ermöglicht wird“ ausdrückte. Die gewöhnlichen komplexen Zahlen faßt er in dieser Abhandlung als Zahlenpaare auf, eine Deutung des Komplexes, die seither nicht mehr verschwunden ist und die die ganze analytische Auslegung des Komplexen wesentlich erleichterte.