Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 142c

Lección 141c ← Lección 142c → Lección 143c

Geschichte der Mathematik (Teil 42)

In einem im einzelnen nicht wiederzugebenden Aufstieg von Detailepoche zu Detailepoche arbeiteten mathematische Genien obersten Ranges wie die Bernoullis, die schließlich eine ganze Mathematikerdynastie bildeten, wie Leonhard Euler, Lagrange, Legendre, D'Alembert, um nur einige allererste Namen zu nennen. Und am Ende des achtzehnten Jahrhunderts konstituierte sich eine Schule um den genialen Kombinatoriker Hindenburg, die, vom Mittelpunkt des polynomischen Lehrsatzes aus, die ganze Mathematik auf rein kombinatorische Grundlage stellen wollte. Kurz, die seit Descartes eingeleitete und durch Leibniz bahnbrechend begründete Vorherrschaft der Algebra und des Algorithmus schien, ohne sichtbaren Endpunkt, die Aufstiegsrampe für alle Zukunft zu werden. Wobei wir, auch hier wieder nur andeutungsweise, erwähnen, daß Gabriel Cramer, unabhängig von Leibniz, zum zweiten Male die Lehre von den Determinanten im Jahre 1750 begründete. Eine Angelegenheit, die, wie wir später sehen werden, geradezu einen Gipfelpunkt von Algebraisierung und Algorithmisierung bildet.

So konnte also der große Laplace im Jahre 1799 in seiner berühmten „Exposition du système du monde“, also in seinem „Weltsystem“, über die Mathematik schreiben: „Die algebraische Analysis laßt uns bald den Hauptgegenstand unserer Forschungen vergessen, um uns auf abstrakte Kombinationen hinzuweisen, und erst am Ende führt sie uns wieder zu diesen zurück. Aber wenn man sich der Methode der Analysis überlaßt, gelangt man dank der Allgemeinheit dieser Methode und dadurch, daß sie den unschatzbaren Vorteil gewährt, Schlußfolgerungen in mechanische Operationen umwandeln zu können, zu Resultaten, die der geometrischen Synthese oft unzuganglich sind. Die Fruchtbarkeit der algebraischen Analysis ist so groß, daß man Spezialtatsachen nur in ihre universelle Sprache zu übersetzen braucht, um aus ihrer bloßen Ausdrucksform eine Fülle von neuen und unerwarteten Tatsachen hervorwachsen zu sehen. Keine andere Sprache ist einer derartigen Eleganz fähig, wie sie sich hier darstellt, wenn eine lange Reihe von Ausdrücken entwickelt wird, die alle miteinander verkettet sind und alle aus einer und derselben Grundidee hervorquellen. Die Mathematiker des Jahrhunderts sind auch von ihrer Überlegenheit überzeugt und deshalb eifrig bemüht, die Herrschaft der analytischen Methode auszudehnen und beengende Schranken abzubrechen.“

So weit Laplace, den wir nach Boutroux zitierten. Wir sehen, daß er noch ganz im algorithmischen rationalistischen Rausch des achtzehnten Jahrhunderts lebt und die letzten Schranken beseitigen will, die einer vollständigen „Verständlichung“, also einer Algebraisierung der Mathematik im Wege sind. Natürlich heißt „Analysis“ oder „analytische Methode“ in diesem Zusammenhang bei Laplace nur Algebra und nichts als Algebra.

Wir stellen also noch einmal fest, daß das achtzehnte Jahrhundert als Vordergrund seines Interesses fast ausschließlich die algebraisierte, algorithmisierte Unendlichkeitsanalysis ansah und sich etwa an der zunehmenden Bewältigung schwieriger Integrationen oder am Ausbau der infinitesimalen Variationsrechnung erfreute. Gleichwohl hat der Schöpfer dieser ganzen Bewegung, Leibniz selbst, in seiner „Ars inveniendi“ (Erfindungskunst) schon bemerkt: „Oft können die Geometer mit wenigen Worten etwas beweisen, was auf dem Wege der Rechnung zu beweisen sehr langwierig wäre ... der Weg der Algebra führt stets zum Ziel, aber er ist nicht immer der beste.“ Und wir haben schon angedeutet, daß derselbe Leibniz in seiner Idee von einer „Geometrie der Lage“ der Geometrie selbständige und zukunftsträchtige Bereiche anwies, die der Algebra nicht ohne weiteres zugänglich waren.

Daß sich der Bearbeiter des Pascalschen Nachlasses mit solchen Gedankengängen tragen mußte, ist nicht sehr verwunderlich. Auch ein Geringerer als Leibniz hätte über Ansätze bei Pascal erstaunen müssen, die in eine bisher noch unbeschrittene Richtung wiesen. Gleichwohl aber war der Lärm um die Infinitesimalrechnung und die mit ihr verbundene Koordinatengeometrie so groß, daß alle diese Ansätze und Andeutungen bis zum Ende des achtzehnten Jahrhunderts ungehört verhallten.

Es ist völkerpsychologisch höchst interessant, daß auch diese Epoche der Geometrie, in die wir nun eintreten werden, ausschließlich in französischen Gehirnen endgültige Gestalt gewann. Um dies aber im einzelnen nachzuweisen, wollen wir wieder unseren Zauberteppich besteigen, der uns diesmal in die Zeit vor Leibniz nach Lyon zurücktragen soll. Dort lebte in der ersten Hälfte des siebzehnten Jahrhunderts ein junger Architekt, namens Girard Desargues, der sich, wie manche Mathematiker hohen Ranges, durch ein sonderbares, schrullenhaftes Wesen auszeichnete. Er verfaßte ein sehr tiefes Werk mit dem ungefähren Titel: „Entwurf über die Ereignisse, die sich begeben, wenn ein Kegel mit einer Ebene zusammentrifft“. Da er aber, wie erwähnt, sehr verschrullt war, so fand er es für angemessen, dieses Werk auf lose Blätter mit mikroskopisch kleinen Lettern drucken zu lassen. Damit aber noch nicht genug. Er verbarg seine Entdeckungen außerdem unter eine äußerst schwulstige Sprache, indem er alle geometrischen Begriffe mit botanischen Namen belegte und fortwährend von Blüten, Stämmen, Zweigen und dergleichen sprach.

Diese Blätter ließ er seinen Freunden zukommen und verteilte sie überdies an berühmte mathematische Gelehrte, die, wie nicht verwunderlich, mit dem an sich neuen Gegenstand, der noch dazu in eine so schwierige Form eingekleidet war, wenig anzufangen wußten. Wie in allen Wissenschaften, treiben sich ja auch in der Mathematik seit undenklichen Zeiten stets allerlei Querulanten und Scharlatane herum, und es ist oft ungeheuer schwer, eine Neuerung von einer Verschrobenheit oder Hochstapelei zu unterscheiden. Desargues hatte jedenfalls das Seine dazugetan, daß man ihn für einen solchen Glücksritter hielt, und nur ganz wenige besonders erleuchtete Köpfe, wie Fermat, Descartes und Pascal, arbeiteten sich durch das mathematisch-botanische „Gestrüpp“ des Lyoner bis zur wahren Erkenntnis durch. Während aber die beiden ersten so sehr mit Koordinatenproblemen befaßt waren, daß sie trotz ihres Verständnisses nicht auf der Linie des Desargues weiterschritten, faßte der geniale Blaise Pascal bereits als Sechzehnjähriger den Plan, die Erkenntnisse des Desargues zur Grundlage eigenen Weiterbaues zu verwenden.

Bevor wir jedoch hierauf eingehen, ist es notwendig, die Haupttaten des Desargues zumindest anzudeuten. Daß ihn seine Architektentätigkeit mit Problemen der Perspektive in nähere Berührung brachte, ist verständlich. Diese ganze, bereits vor ihm von anderen zu praktischen Zwecken erörterte Wissenschaft der Perspektive mathematisierte sich jedoch im Hirn des Desargues und wurde dadurch zu echter Wissenschaft. Deshalb auch legte er sich zwei Grundfragen vor, die später im neunzehnten Jahrhundert erst zu zentraler Wichtigkeit gelangten. Er fragte nämlich nicht mehr im Sinn eines Apollonios von Pergä nach den Eigenschaften der einzelnen Kegelschnitte, sondern ließ die Schnittebene zur Kegelachse vom Senkrechtstehen bis zur Parallelität, sogar bis zur Koinzidenz in stetigem Übergang verschiedene Neigungswinkel annehmen und kam dadurch zur Überzeugung, daß eine ganze Reihe von Eigenschaften trotz der verschiedenen Neigung der Schnittebene erhalten bleibe, also bei sämtlichen Kegelschnitten gleich sein müsse. Die zweite Frage, die Desargues beschäftigte, war die Kluft, die man bisher zwischen Parallelen und zwischen einander schneidenden Geraden stets anzunehmen sich bemüßigt gefühlt hatte. Er fand bald, daß die gemeinsamen Eigenschaften von parallelen und schneidenden Geraden zahlreicher seien als die Verschiedenheiten. Ja, daß man geradezu perspektivisch oft gezwungen war, Parallele und Schneidende zu identifizieren; was nebenbei jedem plausibel wird, der sich vergegenwärtigt, daß sich Parallelen perspektivisch sofort zu Schneidenden umwandeln, wenn man gewisse Standpunkte der Betrachtung einnimmt. Dadurch aber ergibt sich wieder eine Art von Identität zwischen Kegel und Zylinder, und es taucht ein paradoxer Begriff auf, dessen Fruchtbarkeit für die Geometrie unermeßlich werden sollte: der Begriff des „unendlich fernen Punktes“ und der übrigen „unendlich fernen Gebilde“. Parallele Gerade schneiden einander eben im unendlich fernen Punkt und werden dadurch zu schneidenden Geraden. Und der Zylinder wird zu einem Strahlenbündel, dessen Vereinigungspunkt ein unendlich ferner Punkt ist. Es gibt aber bei Parallelen nicht etwa zwei unendlich ferne Punkte, je nachdem man die Geraden nach links oder rechts verlängert. Sondern es kann - eine äußerst paradoxe Annahme - für jedes Parallelenbüschel (in der Ebene) oder Parallelenbündel (im Raum) bloß einen unendlich fernen Vereinigungspunkt geben. So etwa wie für uns die Sonnenstrahlen zwar parallel einfallen, wir aber gleichwohl nie behaupten werden, daß sie von zwei Sonnen herkämen.

Daß durch diese beiden Grunderkenntnisse des Erhaltenbleibens von Eigenschaften trotz perspektivischer Veränderung der Figuren und der Erfindung des Begriffes unendlichferner Gebilde eine ganz neue Geometrie geschaffen war, stellte sich erst heraus, als die Zeit dazu reif geworden war. Denn vorläufig wurde Desargues noch weidlich verlacht, und auch sein berühmter Satz, daß die verlängerten Seiten zweier beliebiger perspektivisch liegender Dreiecke einander paarweise auf einer einzigen Geraden schneiden müßten, fand keinen Widerhall. Nur Pascal durchforschte die Kegelschnitte im Sinn Desargues” weiter und förderte bald einen neuen grundlegenden Satz zutage, der so sehr an Zauberei grenzte, daß Pascal ihn selbst als „wundertätig“ bezeichnete. Dies mit Recht. Denn dieser Pascalsche Satz ist ebenso wie der Satz des Desargues am Ende des neunzehnten Jahrhunderts als die einzige tragende Brücke erkannt worden, über die man vom Ufer der Algebra zum Ufer der Geometrie schreiten kann, ohne die Logik zu verletzen. Doch über all dies werden wir später sprechen. Wir merken an dieser Stelle nur noch ein sehr kurioses Ereignis an. Das von uns erwähnte Hauptwerk des Desargues wurde, nachdem es fast zwei Jahrhunderte lang verschollen gewesen war, bei einem Trödler am Seine-Ufer in einer Bücherkiste von niemand geringerem als vom großen Geometer und Mathematikhistoriker Michel Chasles aufgestöbert und angekauft. Und zwar im Jahre 1845, als schon durch Poncelet und v. Staudt die „neue oder projektivische Geometrie“ begründet worden war.

Wir haben gehört, daß der große Laplace im letzten Jahre des achtzehnten Jahrhunderts für die Allgewalt des algebraischen Algorithmus sehr warme und begeisterte Töne fand. So begeistert, daß jeder glauben mußte, es gäbe für alle Zukunft wirklich nur mehr diesen einzigen Weg des Weitertreibens algorithmischer Algebra und infinitesimaler Analysis, um, über die Koordinaten und Funktionen hinweg, gleichsam den mathematischen Himmel zu stürmen. Zur selben Zeit aber vollzogen sich gleich zwei Ereignisse, von denen wir eines sofort erwähnen, während das zweite erst im übernächsten Kapitel gewürdigt werden soll, da es das erste Auftreten des jungen Gauß betrifft. Im Jahre 1798 also gab Gaspard de Monge, ein genialer Geometer und Genieoffizier der französischen Armee, die Frucht jahrzehntelanger Studien der Öffentlichkeit bekannt. Es war nicht weniger als die erste erschöpfende Begründung der sogenannten „deskriptiven oder darstellenden Geometrie“, die zwar im allgemeinen als Anwendungsgebiet der Mathematik gilt, gleichwohl jedoch so viele Beziehungen zur reinen Mathematik hat, daß wir an ihrer ersten umfassenden Erörterung auch dann nicht hätten vorbeigehen können, wenn Poncelet nicht Schüler und Verehrer De Monges gewesen wäre. Nebenbei bemerkt, verstrickte das Schicksal in diesem großen Zeitalter der französischen Mathematik fast alle ihre Vertreter in sehr abenteuerliche Ereignisse. De Monge selbst, der Begründer der berühmten Ecole normale und der Ecole polytechnique, hatte als revolutionärer Marineminister die zweifelhafte Ehre, das Todesurteil an Ludwig XVI. vollziehen zu lassen. Unter Napoleon kam er zu hohem Rang, fiel aber mit dem Korsen und verbrachte den Rest seines Lebens im Schatten.

Sein Schüler Jean Victor Poncelet, ebenfalls ein Genieoffizier des französischen Heeres, zog mit der großen Armee im Jahre 1812 gegen Rußland und wurde mit vielen anderen Leidensgenossen bei Krasnoje gefangengenommen. In jenem furchtbaren Winter, in dem die Kälte so arg war, daß das Quecksilber in den Thermometern erstarrte, mußte Poncelet zu Fuß bis Saratow an der Wolga marschieren, wo er krank und niedergebrochen anlangte. Um so bewundernswerter ist die Seelengröße dieses Mannes, der sich von den paar Kopeken, die er als Verpflegsgeld erhielt, grobes Papier und Federn anschaffte und aus Lampenruß selbst Tinte fabrizierte, da er ja doch schließlich auch etwas Geld fürs Essen erübrigen mußte. Mit diesen opulenten Materialien begann er im Frühling die Grundzüge seines späteren Hauptwerkes festzulegen, das an Desargues und Pascal anknüpft, ohne daß jedoch Poncelet näher das Werk des ersteren gekannt hätte. Er beklagt nämlich in der Vorrede ausdrücklich den Verlust des Hauptwerkes von Desargues, desselben Werkes, von dem wir schon erwähnten, daß es durch Chasles im Jahre 1845 in einer Abschrift wieder aufgefunden wurde.

Poncelet kehrte 1814 in seine Heimat, nach Metz, zurück und vollendete im Jahre 1822 sein Hauptwerk „Traité des propriétés projectives des figures“ (Abhandlung über die projektiven Eigenschaften der Figuren), womit er zwar eine epochale Tat der Mathematikgeschichte setzte, in seinem Vaterlande jedoch auf alles eher denn wirkliches Verständnis stieß. Dieses mangelnde Verständnis war so groß, daß die französische Akademie die Veröffentlichung seiner Entdeckungen ablehnte, so daß sie in Deutschland, in Crelles Journal, erscheinen mußten. Diese Tatsache wurde allerdings für die Mathematik ein Segen, da sich auf deutschem Boden sogleich eine mächtige Phalanx von kongenialen Geistern, allen voran Steiner und v. Staudt, erhob, die die projektive Geometrie zu ihrer heutigen Vollendung führten.