Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 093c

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Mathematik von A bis Z (Teil 30)

30

Dreißigstes Kapitel

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Reihen

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Wir müssen uns aber jetzt wieder der Lehre von den Reihen zuwenden und fügen noch eine kurze Erwähnung eines anderen Unterschiedes von Reihen bei. Es gibt Reihen, die additiv wachsen oder subtraktiv abnehmen. Etwa:

$1\pm 3\pm 5\pm 7\pm 8\pm \dots$ oder

$500\pm 496\pm 492\pm 488\dots$.

Die erste Reihe nimmt per Glied um je 2 zu, die zweite um je 4 ab. Solche Reihen heißen arithmetische.

Wenn dagegen die Reihen durch Multiplikation zunehmen und man das nächstfolgende Glied dadurch erhält, daß man das gegebene Glied mit einem stets gleichbleibenden Faktor multipliziert (oder durch einen konstanten Divisor dividiert), spricht man von einer geometrischen Reihe. Etwa:

$1\pm 3\pm 9\pm 27\pm 81\pm \dots$ usw. oder

$\textstyle 1\pm {\frac {1}{4}}\pm {\frac {1}{16}}\pm {\frac {1}{64}}\pm {\frac {1}{265}}\pm \dots$ usw.

Allgemein geschrieben lautet die arithmetische Reihe:

$a\pm (a+d)\pm (a+2d)\pm (a+3d)\pm \dots \pm (a+nd)$ oder

$a\pm (a-d)\pm (a-2d)\pm (a-3d)\pm \dots \pm (a-nd)$,

die geometrische dagegen:

$a\pm aq\pm aq^{2}\pm aq^{3}\pm \dots \pm aq^{n-1}$ oder

$\textstyle a\pm a{\frac {1}{q}}\pm a{\frac {1}{q^{2}}}\pm a{\frac {1}{q^{3}}}\pm \dots \pm a{\frac {1}{q^{n-1}}}$

Auch hier verzichten wir auf Ableitungen und erwähnen nur, daß man diese Reihen auch „Progressionen“ nennt und daß a, das natürlich durchaus nicht 1 sein muß, das „Anfangsglied“ heißt. Bei der arithmetischen Progression heißt die Zuwachs- oder Verkleinerungsziffer d die „Differenz“, bei der geometrischen Progression bezeichnet man das q oder das $\textstyle {\frac {1}{q}}$ als den „Quotienten“.

Uns interessiert in erster Linie die Summe einer solchen Reihe. Für die arithmetische Reihe lautet die Summenformel, wenn das Anfangsglied $a_{1}$, die Differenz d und die Anzahl der Glieder n gegeben sind

$\textstyle s_{n}=[a_{1}-{\frac {d(1-n)}{2}}]\cdot n$.

UnendlicheSummen arithmetischer Progressionen gibt es nicht, das heißt sie liefern alle als Summe unendlich, da jede arithmetische Reihe divergent ist. Folglich muß das n, wenn man eine sinnvolle Aufgabe stellen will, stets als endliche Zahl gegeben werden. Rechnen wir als Beispiel die Summe der ersten 9 geraden Zahlen, also

$2+4+6+8+10+12+14+16+18=?$

Anfangsglied ist $a_{1}=2$, Differenz ist $d=2$ und Gliedzahl ist $n=9$. Also

$\textstyle s_{n}=[2-{\frac {2(1-9)}{2}}]\cdot 9=$$\textstyle [2-(-8)]\cdot 9=$$\textstyle 90$,

was unsere Formel ausgezeichnet bestätigt.

Für die geometrische Progression gilt die Summenformel:

$\textstyle S_{n}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}\cdot a_{1}$

Würden wir also die Summe der ersten 6 Glieder der Progression

$3+15+\dots$

suchen, so wüßten wir, daß $a_{1}=3$, $q=5$ und $n=6$. Also:

$\textstyle S_{6}={\frac {5^{6}-1}{5-1}}\cdot 3={\frac {15.625-1}{4}}\cdot 3=3906\cdot 3=11.718$,

was durch Addition von

$3+15+75+375+1875+9375=11.718$

leicht zu kontrollieren ist.

Nun wollen wir einmal eine geometrische Progression untersuchen, deren „Quotient“ ein Bruch ist. Wir weisen darauf hin, daß gerade diese geometrischen Reihen, die zunehmend fallen und daher eigentlich nicht „Progressionen“, sondern „Degressionen“ heißen sollten, in der ganzen Mathematik eine ungeheure Rolle spielen. Allgemein geschrieben, haben sie für die Gliederanzahl n die Form:

$\sum _{\nu =0}^{n-1}a\cdot {\frac {1}{q^{\nu }}}=a+a{\frac {1}{q}}+$$a{\frac {1}{q^{2}}}+$$\dots +$$a{\frac {1}{q^{n-1}}}$

Nach allem, was wir bisher hörten, dürfte es bei dieser Art von Reihe auch einen Sinn haben, nach der Summe von unendlich vielen Gliedern zu fragen. Wir stellen uns daher das Problem, nach welchem Grenzwert eine solche Reihe „konvergiert“, zu welcher Summe sie hinstrebt. Für eine solche Reihe gilt die Formel

$\textstyle S_{\infty }={\frac {a}{1-q}}$, wobei q hier der Einfachheit halber für ${\frac {1}{q}}$ gesetzt ist, damit wir keinen Doppelbruch erhalten. Wir können also schreiben:

$\textstyle S_{\infty }={\frac {a}{1-q}}$ unter der Bedingung $|q|<1$,

was ja nichts anderes ausdrückt, als daß hier der „Quotient“ ein echter Bruch ist. Nach dieser neuen Formel wollen wir nun zuerst die Archimedische Reihe für das Parabelsegment untersuchen. Sie hatte die Form

$\textstyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{256}}+{\frac {1}{1024}}+\dots$

Hier ist das Anfangsglied a gleich 1. Der „Quotient“ ist $\textstyle {\frac {1}{4}}$, da jedes folgende Glied ein Viertel des vorhergegangenen ist (oder jedes Glied mit $\textstyle {\frac {1}{4}}$ multipliziert werden muß, um das nächste Glied zu ergeben). Die Summe muß also für unendlich viele Glieder nach

$\textstyle S_{\infty }={\frac {a}{1-q}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}$ konvergieren.

Nun ist $\textstyle {\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}$ gleich $\textstyle {\frac {1}{\frac {3}{4}}}={\frac {4}{3}}$, was wir vorhin schon als Resultat behaupteten.

Hätten wir etwa die Reihe

$\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots$

vor uns, so wissen wir jetzt sofort, daß ihre unendliche Summe $\textstyle S_{\infty }={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2$.

Eine andere Reihe

$\textstyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\dots$

hat dagegen die unendliche Summe

$\textstyle S_{\infty }={\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {1}{3}}}}={\frac {\frac {1}{3}}{\frac {2}{3}}}={\frac {1}{2}}$.

Allgemein kann man unter Benützung unserer Formel behaupten, daß unter der Bedingung $|x|<1$ jede Reihe der Form $l+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+\dots$ die unendliche Summe $\textstyle {\frac {1}{1-x}}$ hat, was ebenfalls von weittragender Bedeutung ist.

Man wird aus diesen wenigen Beispielen schon zur Erkenntnis gekommen sein, daß in der Berechnung von unendlichen Summen konvergenter Reihen ein ausgesprochen infinitesimales Prinzip steckt, das uns in den Stand setzt, auch allerlei geometrische Probleme zu lösen. Sobald wir etwa imstande sind, irgendeine Figur, und sei sie auch krummlinig begrenzt, in eine Unendlichkeit von Figuren zu zerlegen, deren Flächeninhalte sich in die Form einer fallenden geometrischen Reihe ordnen lassen, ist die Quadratur ohne Zuhilfenahme der Integralrechnung durchzuführen. Wir sahen ja schon ein Beispiel dieser Art bei Archimedes. Und wir sind nicht berechtigt, den ungeheuren Scharfsinn der letzten Schüler des Archimedes, wie etwa eines Galilei oder Viviani, irgendwie geringschätzig zu betrachten, die in der Exhaustionsmethode geradezu Unglaubliches leisteten. Daran ändert es natürlich nichts, daß speziell Viviani, ein Freund des großen Leibniz, die Tragik erleben mußte, auf der Höhe seines Schaffens durch die Wunder des Infinitesimalkalküls um alle Früchte seiner Mühen betrogen und rettungslos vom mathematischen Thron gestoßen worden zu sein. Wir Epigonen aber wollen uns jetzt endgültig in den Besitz der reifen Frucht setzen.

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