Curso de alemán nivel medio con audio/Lección 085c

índice

Lección 084c ← Lección 085c → Lección 086c

Mathematik von A bis Z (Teil 22)

22

Zweiundzwanzigstes Kapitel

---

Koordinaten

---

Wie wir es gewohnt sind, wollen wir uns, bevor wir Näheres besprechen, eine Verdeutlichungsmaschine konstruieren, die uns zuerst einige Begriffe der allgemeinsten Bewegungslehre, der Phoronomie, vermitteln soll. Diese Phoronomie ist heute, selbst dem Namen nach, fast in Vergessenheit geraten. Man spricht in ähnlichem Sinne von „Kinematik“, kennt in der Physik, der Mechanik zahlreiche Bewegungsgesetze, meint aber damit fast stets physikalische Bewegung, das heißt Bewegung eines körperlichen Etwas, auch wenn es nur ein ungreifbarer physischer „Massenpunkt“ ist.

Uns interessiert aber das bewegte Etwas überhaupt nicht. Wir werden, obwohl derartiges in der „Wirklichkeit“ nicht möglich ist, soweit abstrahieren, daß wir nur die Bewegung als solche vor uns haben. Und wir operieren daher mit mathematischen Punkten, mit mathematischen, breitelosen Linien und allenfalls mit dickelosen Flächen. Also mit Gebilden, die man nur denken, aber nicht wahrnehmen kann. Daher auch das Groteske folgenden Scherzes: Ein Parvenü hat seinen Sohn als „Einjährigen“ zu einem vornehmen Regiment gesteckt. Der Sohn braucht Geld und da er keine Begründung mehr findet, den Pump anzulegen, schreibt er dem Vater, er habe beim Geschützexerzieren die „Visierlinie“ zerbrochen und müsse sie dem Ärar ersetzen. — Nun wäre solch eine „Visierlinie“ für uns ein Ideal. Denn sie ist eine wirkliche mathematische, körperlose Linie. Nämlich die Linie, die man sich aus dem visierenden Auge über Visier und Korn bis zum Ziel verlängert denkt. Sie hat also nur Länge und keine Breite. Und man kann sie dieser Ungreifbarkeit wegen auch „äußerst schwer“ zerbrechen.

Dies alles aber nur zur Verdeutlichung, was wir meinen, wenn wir im folgenden unsere Punkte und Linien zeichnen. Wir geben ihnen symbolische Sichtbarkeit, dürfen aber nie vergessen, daß sie eigentlich unsichtbar sein sollen. Nun aber zu unserer „Maschine“. Wir nehmen ein gewöhnliches Reißbrett, bespannen es über und über mit einem Bogen Zeichenpapier und legen eine Reißschiene tief gegen den unteren Rand zu an. Hierauf ziehen wir von einem Ende des Reißbrettes zum anderen eine horizontale Linie. Und nun bitten wir einen Helfer, die Reißschiene ganz regellos nach oben zu schieben. Wir selbst aber ziehen mit gleichbleibender Geschwindigkeit einen Strich von links nach rechts:

Fig. 30

Zu unserem Erstaunen ist durchaus keine gerade Linie, sondern eine höchst unregelmäßige Zickzacklinie auf dem Papier entstanden, mit der wir eigentlich nichts anfangen können. Sie steigt nicht einmal stetig. An einer Stelle — es geschah, als unser Helfer die Reißschiene entgleiten ließ und sie daher zurückglitt — fällt unsere Linie sogar. Natürlich können wir das Experiment beliebig oft und in beliebiger Art wiederholen. Wir könnten auch mit dem „Helfer“ vereinbaren, im Hinaufschieben der Reißschiene entweder Gleichförmigkeit oder einen gewissen Rhythmus einzuhalten. Was sich dabei ergeben müßte, werden wir später entdecken.

Jetzt wollen wir vorerst „phoronomisch“untersuchen, warum die merkwürdige Linie überhaupt entstanden ist. Und wir verdeutlichen uns, scharf analysierend, den Vorgang. Es ereigneten sich, das leuchtet ein, stets zwei zueinander senkrechte Bewegungen gleichzeitig. Nämlich mein gleichförmiges Weiterrücken des Bleistiftes nach rechts und das regellose Hinaufrücken der Reißschiene durch den Helfer nach oben. Und in jedem kleinsten Teilchen der Bewegung wurde der Bleistift zugleich nach rechts und nach oben geschoben. Und der Bleistift versuchte, wenn man so sagen darf, beiden Bewegungen zugleich gerecht zu werden. Wenn sich ein Eisenbahnzug durch einen Platzregen bewegt, dessen Regentropfen genau senkrecht hinunterfallen, dann erscheinen die Regentropfen an den Waggonfenstern nicht als senkrechte Nässespuren, sondern als schräge Linien. Und werden desto schräger, je schneller der Zug fährt. Sie versuchen eben auch, zwei aufeinander senkrechten Bewegungen zugleich zu folgen. Wir könnten uns einen winzigsten Teil einer derartigen Bewegung auch so vorstellen:

Fig. 31

Dieses sogenannte „Bewegungsparallelogramm“ bringt das Bestreben des Punktes P zum Ausdruck, beiden Bewegungen zugleich zu folgen. Dieses Bestreben ist auch erfolgreich. Denn bei P₁ hat der Punkt sowohl die waagrechte als die senkrechte Bewegungsanforderung, die an ihn gestellt wurde, erfüllt: Er ist den befohlenen Weg nach rechts und nach oben gerückt.

Jedoch gilt diese Art der Deutung nur annähernd, wenn nicht auch die Aufwärtsbewegung streng gleichförmig war. Das heißt, es kann als „Bahn“ des Punktes zwischen P und P₁ nur dann eine Gerade entstehen, wenn beide Bewegungen gleichförmig verliefen. Nun hatten wir bei unserer Maschine aber angenommen, die Aufwärtsbewegung erfolge willkürlich und ungleichmäßig. Wir dürfen also unser „Bewegungsparallelogramm“ selbst für unser kleinstes Teilchen der Bewegung nur als annähernd gelten lassen. Denn in Wahrheit wäre auch die Bahn innerhalb des Parallelogramms irgendwie unregelmäßig. Etwa:

Fig. 32

Und ich könnte so kleine Teilchen wählen als ich wollte, so würde ich wegen des unregelmäßigen Aufwärtsschubs stets auf unregelmäßige „Bahnelemente“ stoßen.

Wir müssen unsere „Analysis“ also anders anpacken. Der einzige Ausweg, bei Unregelmäßigkeit auch nur einer der beiden Bewegungen unregelmäßige Bahnen zu vermeiden, ist der Versuch, die Bahnlänge überhaupt auszuschalten und bloß einen längelosen Punkt der Bahn zu untersuchen. Und zwar einen beliebigen.

Fig. 33

Wir wählen den Punkt P auf dem Reißbrett, nachdem wir die Reißschiene abgehoben haben. In welcher Art ist dieser Punkt „phoronomisch“ an den beiden Bewegungen beteiligt? Sicherlich wurde er um die Länge x nach rechts geschoben, das heißt wir bewegten den Bleistift um die Länge x nach rechts. Die Höhe aber, die er durch den Aufwärtsschub erreichte, nennen wir y.

Nun hätten wir dieselbe Überlegung für jeden Punkt der „Bahn“anstellen und jedesmal die „Länge“ mit x, die „Höhe“ oder „Breite“ mit y bezeichnen können. Jeder Punkt der Bahn ist also durch sein x und sein y eindeutig bestimmt. Die Werte für x und y, die wir ja einfach messen können, sind dem betreffenden Punkt P zugeordnet, „koordiniert“. Und Leibniz prägte dafür den Ausdruck „Koordinaten“. Präzis gesagt, haben wir sogenannte „Punktkoordinaten“ bestimmt, weil wir einem Punkt gewisse für ihn charakteristische Lagewerte koordiniert, zugeordnet haben.

Wir haben damit aber sehr wenig erreicht. Denn wir können ja nicht unendlich viele Punkte nach x und y abmessen und dadurch ihre Koordinaten bestimmen. Daß unsere Bahn aber aus unendlich vielen Punkten besteht, ist schon deshalb beinahe sicher, weil ja oberhalb jedes Punktes der Grundgeraden ein Punkt der Bahn liegt und weil wir weiters beim Ziehen der Linie nach rechts den Bleistift nicht absetzten. Nach unseren bisherigen Anschauungen ist aber eine solch stetige Linie aus mehrfach unendlich vielen Punkten zusammengesetzt. Arithmetisch könnte ich zudem behaupten, daß meine x-Linie, also die Grundlinie, überhaupt nichts anderes ist als die Linie der reellen Zahlen. Denn wir können ja das x an jeder Stelle von 0 ab wählen, also auch als Bruch oder als Irrationalzahl.

Was uns fehlt, ist offensichtlich eine allgemeine Formel, nach der wir x und y bestimmen können. Nun wissen wir weiter, daß eine Formel, in der x und y vorkommen und unbekannt sind, nichts anderes ist als eine diophantische oder nichtdiophantische, jedoch gleichfalls unbestimmte Gleichung mit zwei Unbekannten. Wir haben es aber ganz gut in der Hand, etwa das jeweilige x insoweit bekannt zu machen, als wir es willkürlich wählen. Wenn ich aber willkürlich wählen darf und in das x einsetzen kann, was ich will, dann muß sich das richtige zugehörige y zwangsläufig ergeben, wenn die Formel stimmen soll.

Wir sehen also plötzlich einen Weg. Und kennen sogar das Instrument, uns auf diesem Weg sicher zu bewegen. Es ist die Funktion! Denn bei der Funktion ergibt sich aus willkürlichem x zwangsläufig ein zugehöriges y. Wie aber gewinnen wir diese Funktion, die die Eigenschaft haben soll, für jeden Punkt der „Bahn" zu gelten? Die Angelegenheit sieht sehr verzweifelt aus. Denn mein Naturverstand sagt mir, daß ich für eine gerade, ansteigende Bahn, für einen Kreis, meinetwegen noch für eine Ellipse eine Bahnfunktion finden werde, daß dies mir aber bei solch unregelmäßigen Zickzackbahnen kaum möglich sein wird. Nun gäbe es aber noch einen letzten Ausweg. Vielleicht kann man unsere unregelmäßige Bahn in einzelne Stücke zerlegen, die regelmäßiger sind. Und für jedes dieser Stücke eine eigene Funktion bilden. Wir verraten, daß alle Einwände und alle Vorschläge stichhaltig sind. Gleichwohl ist der Begriff „regelmäßig" wohl ein sehr vager. Und außerdem ein Zirkel. Denn wir könnten das ganze Problem umdrehen und behaupten, daß wenn jeder „Bahn" eine Funktion entspricht, auch jeder Funktion eine „Bahn" entsprechen müsse. Auch das ist in groben Zügen richtig. Um jedoch unseren Ahnungen Gestalt zu verleihen, wollen wir uns weiteres wichtiges Handwerkszeug zu unserer „Analysis" oder „analytischen Geometrie" herbeischaffen.

Zuerst erinnern wir an eine Bemerkung, die wir seinerzeit machten: daß nämlich die Funktion die faustische oder abendländische Zahl sei. Wie sollen wir das verstehen? Wir müssen uns dazu das Wesen der Funktion deutlicher ansehen. Wir erwähnten, daß man eine Funktion ganz allgemein $y=f(x)$ schreibt und damit meint, daß das y irgendeiner Zusammenstellung aus x-Werten und Konstanten gleich sei. Auch einer eventuell sehr verwickelten. So ist die Gleichung

$y=(2x+5)\cdot {\frac {\sqrt {5x^{3}-19}}{x^{5}-x^{3}+2}}\cdot 25x^{7}$

ganz bestimmt eine Funktion, wenn auch eine höchst komplizierte. Und $y=5x+13\cdot \sin x$ ist auch eine Funktion. Das Wort Funktion ist nämlich nicht ganz eindeutig. Einmal versteht man darunter die ganze Gleichung, bei der man voraussetzt, daß man in das x willkürlich einsetzen soll. Das andere Mal wieder versteht man darunter direkt das y selbst, da ja dieses y gleichsam das Resultat der mit den x vorgenommenen Rechnungen ist. Wir könnten auch schreiben

(Funktion von x) $=f(x)=5x+13\sin x$

oder noch deutlicher

$y=f(x)$

$y=5x+13\sin x$

------------------------------------

$f(x)=5x+13\sin x$.

Natürlich ginge es auch folgendermaßen:

$f(x)=y$

$f(x)=5x+13\sin x$

-------------------------------------

$y=5x+13\sin x$.

Es wird durch Zusammenwerfen der verschiedenen Bedeutungen des Wortes „Funktion“, das im Tiefsten doch wieder nur eine Bedeutung hat, viel gesündigt. Und der Anfänger wird dadurch verwirrt. Darum werden wir die Angelegenheit aus dem gröbsten Anfang ableiten. Nehmen wir etwa an, wir hätten eine Gleichung vor uns:

$15x^{2}+9x+3y=12x-27$.

Hier kommen x und y vor. Das x außerdem noch in zwei verschiedenen Potenzen. Das y hat einen Koeffizienten, nämlich 3. Wenn wir mit dieser „Funktion“ arbeiten sollten, würden wir in Verlegenheit kommen. Auch unsere kunstvolle Maschine mit dem Zeiger würde versagen. Denn der Zeiger zeigt y und nicht 3y an. Wir nennen auch eine solche Funktion „implizit“ (gleichsam „eingewickelt“) und müssen versuchen, sie für uns „auszuwickeln“, sie „explizit“ zu machen. Da wir bisher uns stets für das Ergebnis interessierten, wie groß y sei, müssen wir wohl das y in ähnlicher Art „isolieren“ wie seinerzeit das x bei den gewöhnlichen Gleichungen. Es ist ja im Wesen kaum etwas anderes. Wenn wir nämlich das Recht haben, für x irgendwelche Werte zu wählen, dann verwandeln wir ja eigentlich alle Größen, in denen x vorkommt, in Konstante. Und es bleibt als Unbekannte (gleichungstechnisch gesprochen) nur das y. Wir lösen die Gleichung eben nach y auf, so wie wir eine Gleichung

$2x+5a=24+17b$

in ganzen, konkreten Zahlen nach x auflösen können, wenn es uns erlaubt wird, für a und b beliebige Werte zu wählen. Etwa $a=2$, $b=4$. Dann wäre

$2x+(5\cdot 2)=24+(17\cdot 4)$ oder

$2x=24+(17\cdot 4)-(5\cdot 2)$

$2x=82$

$x=41$

Der Funktionscharakter wird einer Gleichung allerdings erst erteilt, wenn wir in das x nicht nur einmal eine Zahl einsetzen dürfen, sondern stets und jede beliebige Zahl.

Wir werden also jetzt, um leicht nach y auflösen zu können, unsere Funktion:

$15x^{2}+9x+3y=12x-27$

zuerst „auswickeln“, sie „explizit“ machen.

$3y=12x-27-9x-15x^{2}$

$3y=3x-15x^{2}-27$

$y=x-5x^{2}-9$ oder, geordnet

$y=-5x^{2}+x-9$.

Nun können wir sagen, das y sei eine Funktion von x, oder $y=f(x)$, wenn wir dazudenken, daß das x willkürlich gewählt werden darf. Für jede Wahl eines x-Wertes wird im allgemeinen ein anderes y entstehen. Und wir können natürlich unzählige solcher Ypsilons bestimmen. Wir wollen dies praktisch durchführen und hiezu eine kleine Tabelle anlegen:

x	y	x	y	x	y
1	-13	$\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\textstyle -{\frac {39}{4}}$	0	-9
2	-27	$\textstyle {\frac {2}{3}}$	$\textstyle -{\frac {95}{9}}$	${\sqrt {2}}$	-17,586...
3	-51	$\textstyle {\frac {1}{8}}$	$\textstyle -{\frac {573}{64}}$	$\pi$	-55,2064...
4	-85	$\textstyle {\frac {4}{7}}$	$\textstyle -{\frac {493}{49}}$	${\text{e}}$	-43,227...

In der ersten Tabellenspalte haben wir einfache natürliche positive ganze Zahlen eingesetzt. In der zweiten gemeine Brüche. In der dritten Null und irrationale Zahlen. Stets hat sich uns für das y ein bestimmter Wert ergeben.

Wenn wir nun weiter jedes x mit seinem zugehörigen y als Zahlpaar bezeichnen, erhielten wir soviele Zahlenpaare, als wir x-Werte einsetzten.

Damit haben wir aber noch nicht das erste Problem gelöst: wie man nämlich dazukommt, das y als „Zahl“als „faustische Zahl“, zu bezeichnen. Wir antworten, daß das y eine Art von vieldeutiger, beweglicher Zahl ist, die sich durch den Wert von x ergibt. Und zwar vom zugehörigen x. Wenn dieses x auch willkürlich ist, kann das y aber gleichwohl nicht jeden Wert annehmen. Es ist ja durch die Art, in der das x auftritt, in bestimmte Schranken gewiesen. Und wird dadurch nicht irgendeine, sondern eine ganz bestimmte Zahlenfolge bilden, wie klein man auch die Zwischenräume zwischen den x-Werten wählt. Das y erhält eine zwangsläufige Form durch die Konstellation der x. Es verändert sich abhängig, zwangsläufig. Und diese erzwungene „Zahlenfolge“ der y-Werte kann man in höherem Sinne als „faustische“, bewegliche Zahl auffassen. Ihr Abbild, phoronomisch betrachtet, ist aber unsere „Bahn“oder wie man sagt, eine „Kurve“, eine „Bildkurve der Funktion“.

Nun liegen bei der Funktion weiters die Verhältnisse so, daß wir, wie schon angedeutet, alles umdrehen dürfen. Wir könnten ebensogut behaupten, eine Folge von Zahlpaaren sei eine Funktion. Aus dieser letzten Bemerkung ersehen wir, daß uns eine Funktion in dreierlei Art gegeben sein kann:

1. Als implizite oder explizite Gleichung mit zwei Unbekannten. Etwa:

$y=-5x^{2}+3x-9$.

(Wir beschränken uns auf zwei Veränderliche!)

2. Als „Kurve“, zu der wir die Formel, die „Funktion“, erst suchen sollen.

3. Als Tabelle von Zahlpaaren, die etwa aus der Beobachtung stammen. (Z. B. Zahl der monatlichen Gewitter bei bestimmter Durchschnittstemperatur des jeweiligen Monats.)

Im zweiten Fall ist die „Funktion“ wie schon erwähnt, zu suchen. Im dritten Fall ist überhaupt erst festzustellen, ob ein funktionaler, gesetzmäßiger Zusammenhang vorliegt.

Doch wir kommen mit all unseren tiefen Einsichten nicht weiter, wenn wir nicht „analytische“ Hilfsmittel heranziehen. Wir wollen uns also die Frage vorlegen, wie man eine gegebene Funktion in eine Bildkurve verwandelt- Die Frage, wie man eine Kurve in eine Funktion rückverwandelt, wird uns erst im letzten Kapitel beschäftigen. Ebenso die Frage, wie man aus Zahlpaaren eine Kurve gewinnt (Interpolationsproblem). Unsere Frage setzt, bevor wir sie rasch und einfach beantworten, noch eine Kleinigkeit voraus. Nämlich eine konventionelle Festsetzung des „Koordinatensystems“. Das wird uns wenig Schwierigkeiten machen, da wir mit Ähnlichem schon bei den imaginären Zahlen gearbeitet haben.

Wir folgen also Descartes (Cartesius) und wählen ein sogenanntes rechtwinkliges, cartesisches oder orthogonales Koordinatensystem, in dem wir allerlei Namen und andere Ordnungsvoraussetzungen vereinbaren. Noch einmal: Wir vereinbaren unser System. Es ist durch nichts vor anderen möglichen Systemen prinzipiell ausgezeichnet als höchstens durch eine gewisse Einfachheit. Es sieht folgendermaßen aus (s. Fig. 34).

Der Punkt 0 heißt Koordinatenursprungspunkt. Die x-Achse heißt die Abszissenachse oder Abszisse, die y-Achse die Ordinatenachse oder Ordinate. Beide Achsen zusammen „die Koordinaten“. Die „Quadranten“ sind gleichsam „Viertel“ einer unendlichen Ebene.

Fig. 34

Und sind im Gegensinn der Drehung des Uhrzeigers numeriert. Was die darunter stehenden Vorzeichen bedeuten, wollen wir gleich einfacher erklären: Wir dürfen nämlich die Achsen auch beiläufig als zwei senkrecht gekreuzte reelle Zahlenlinien ansehen. Dadurch ergibt sich die Bedeutung der Vorzeichen zwanglos, wenn wir nur voraussetzen, daß die Minuszahlen der waagrechten Linie links von der Null und bei der senkrechten Linie unterhalb der Null stehen. Wir sind auch jetzt ohne weiteres imstande, „Zahlenpaare“ richtig zu placieren. Jedes Zahlenpaar der Welt stellt sich im Koordinatensystem als Punkt dar, vorausgesetzt, daß es ein Paar reeller Zahlen ist. Denn wir haben beide Achsen reell gefordert. Die Placierung imaginärer und komplexer Zahlen haben wir schon früher gesehen. Imaginäre und komplexe Zahlenpaare oder Zahlenpaare imaginärer (komplexer) und reeller Werte sind in einer und derselben Ebene nicht zu placieren. Wir benötigen dazu zwei Ebenen und gelangen zur „konformen Abbildung“. Dieses Gebiet jedoch übersteigt bei weitem unseren Rahmen, da es in die höchste Mathematik gehört.

índice

Lección 084c ← Lección 085c → Lección 086c