Conjuntos numéricos/La Axiomática de Peano

Conjuntos ordinales

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Conjuntos transitivos

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Definición:

Diremos que un conjunto   es transitivo si cada elemento de cada elemento de   es a su vez un elemento de  . Es decir, si se cumple que cualesquiera que sean el   y el  , entonces  .

Proposición

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Un conjunto   es transitivo si y sólo si  .

Demostración:

Supongamos que   es un conjunto transitivo, es decir, que cualesquiera que sean   e  , se tiene que  . Así, por definición de subconjunto,  .

Recíprocamente, supongamos que   es un conjunto de manera que si  , entonces  . Sea  . Si  , entonces es ya automáticamente  . Sea pues  , y sea  . Luego  . Así pues,   es transitivo.

Q.E.D.

Proposición

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Si   es un conjunto transitivo, su sucesor   es también un conjunto transitivo.

Demostración:

Sea  . Entonces, o es  , o es  . Sea  . En el caso en que  , entonces es  , luego  . En el caso en que  , como   es transitivo, entonces  , luego  .

En cualquier caso, queda demostrado que   es de nuevo transitivo.

Q.E.D.

Ordinales

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Definición:

Diremos que un conjunto transitivo   es un ordinal si la relación   definida por   si y sólo si   o   es un buen orden en  .

Proposición

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El sucesor de todo ordinal es un ordinal.

Demostración:

Un conjunto es un ordinal si es transitivo y está bien ordenado por la relación  . Ya hemos demostrado que el sucesor de todo conjunto transitivo es transitivo. Falta demostrar que el sucesor de un ordinal también está bien ordenado por la relación  .

Sea   un ordinal. Consideremos su sucesor  . Para demostrar que   es un buen orden en   hemos de demostrar primero que es efectivamente un orden:

Sea  . Como  , entonces es  , y la relación   es reflexiva en  .

Sean   de forma que   y que  . Tenemos las siguientes posibilidades:

  •  : como   es un ordinal, está bien ordenado por  , luego en particular   es un orden en  , y es antisimétrica. Es decir, como   y además   y  , entonces  .
  •   y  :
Como  , tenemos estas dos opciones:
  • Si  :   es transitivo, y  , con lo que   es transitivo. Ahora bien,  ,   y   transitivo implican que  , contradicción. Luego no puede ser que   (o sea, este caso no se puede dar).
  • Si  , entonces como   y  , sería  , contradicción (o sea, que este caso tampoco se puede dar).
Esto prueba que no es posible que ocurran a la vez  ,  ,   y  . Este caso, entonces, nunca se da.
  •   y  : obviamente llegamos a la misma contradicción que en el caso anterior (o sea, este caso tampoco se puede dar).
  •   y  : entonces es  .

Con lo cual hemos demostrado que la relación   es antisimétrica.

Sean   de forma que   y que  . Tenemos las siguientes posibilidades:

  •   y  : entonces es  , esto es,  .
  •   y  : entonces es  , esto es,  .
  •   y  : entonces es  , esto es,  .
  •   y  :
  • Si  , es entonces   transitivo. Como  ,   y   es transitivo, entonces es  , esto es,  .
  • Si  , tenemos los siguientes casos:
  •  : tenemos que  ,   y   es transitivo, luego  . Como  ,  ,   y   es transitivo, concluimos que  , i.e.,  . Contradicción. Así que este caso no se puede dar.
  •  : tendríamos que  ,   y   transitivo, luego sería  . Pero  , luego resultaría  , contradicción. Este caso tampoco es posible, y por lo tanto nunca se da.
  •  ,   y  . Entonces es  ,  , y como   es ordinal,   es relación de orden en  , luego es transitiva, y al ser  , concluimos que  .

Así,   es relación transitiva en  , y por todo lo anterior es   un conjunto ordenado.

Ahora resta por comprobar que   es un buen orden en  , es decir, que todo subconjunto no vacío de   tiene elemento mínimo según la relación  .

Sea pues   con  . Si  , entonces   es elemento mínimo de  . Supongamos que  . Entonces   y  . Entonces   tiene primer elemento para la relación   en  , y por la propia definición de  , es claro que es también primer elemento para la relación   en  . Por último, si   y  , entonces   y  . Así, existe un   de forma que   es elemento mínimo de  . Como  , entonces es  , luego  , y es   elemento mínimo de  .

Q.E.D.

Ejemplos de ordinales.

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La proposición anterior nos dota de una herramienta para construir ordinales. en efecto, es inmediato comprobar que   es un ordinal. Por la proposición anterior,   es también un ordinal. Así, calculando sucesivamente los sucesores de cada ordinal obtenido, obtenemos que son también ordinales:  ,  ,...

Definición

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Diremos que un conjunto   es un ordinal sucesor si existe un conjunto   de forma que   sea un ordinal y que  .

Diremos que un conjunto ordinal   es un número natural si se cumple que para cada  , o bien es   o bien es   es un ordinal sucesor.