Conjuntos numéricos/Introducción

Introducción

Con este libro se pretende introducir formalmente los conjuntos numéricos que se estudian en la Matemática y que son un instrumento fundamental tanto en ella como en otras diversas ramas del conocimiento. La intención de este libro no es la de enseñar a operar o la de describir de manera intuitiva los diversos conjuntos numéricos, sino la de establecer un marco formal en el que construir los diversos conjuntos numéricos partiendo de la Teoría (formal) de Conjuntos. Así, conseguiremos establecer la Aritmética de los distintos conjuntos numéricos demostrando cada una de sus propiedades a partir de los únicos conceptos (formales) de conjunto, pertenencia y elemento. Se pretende hacer ver que incluso los axiomas sobre números reales con los que habitualmente comienzan los libros de Cálculo Infinitesimal pueden ser demostrados basándonos únicamente en la Axiomática de la Teoría de Conjuntos.

Este libro expone unos conocimientos que representan una pieza clave en el comienzo de los estudios de la Matemática, a un nivel profesional. En una Universidad cualquiera, el contenido de este libro debería ser parte del primer curso de los estudios de la carrera de Matemática. Tanto el Análisis Matemático como el Álgebra, la Topología y la Geometría necesitarán en uno u otro momento hacer uso de propiedades sobre los conjuntos numéricos que aquí se exponen. Es por eso por lo que se exponen de manera independiente, en un libro aparte de otros sobre pincipios del Análisis Matemático o de introducción al Álgebra. En ese sentido es un libro casi iniciático.

Pero pretende ser iniciático también en otro sentido: al ser una temática tan básica (en el sentido de que sobre ella se construirán buena parte de los conocimientos matemáticos que luego llegarán con otros estudios), se supone que el lector-estudiante que se acerque a este libro está aun demasiado verde en su vida matemática. En muchos casos, este libro significará la primera toma de contacto con la Matemática formal, digamos profesional. Es de esperar que en ocasiones tanto el contenido como la forma en que se expone o se expresa resulte chocante, críptico e incluso desagradable. Muchas de las propiedades que aquí se demuestran resultarán tan obvias para el lector que con seguridad se preguntará por la necesidad de demostrarlas. Precisamente es ese choque lo que pretende este libro: presentar la Matemática, aun la más cercana e intuitiva (aquella que trata sobre números y operaciones), desde el punto de vista formal con el que hoy en día se presentan todas sus ramas. Introduciendo la necesidad de construir formalmente tanto los conjuntos numéricos como sus operaciones y su orden, demostrando las propiedades más básicas sobre ellos, esperamos que el lector llegue a reflexionar y sea consciente de que la Matemática moderna está (casi)totalmente cimentada sobre el concepto formal de conjunto, y que incluso los conjuntos numéricos y sus operaciones pueden construirse desde sólo una cantidad reducida de axiomas abstractos que tratan exclusivamente sobre conjuntos de un modo abstracto y formal.

Decimos casi totalmente cimentada sobre el concepto formal de conjunto. Aquellos lectores-estudiantes que continuen sus estudios descubrirán el verdadero significado de esa expresión. Que nadie piense que hay algún reducto de la Matemática moderna que ha escapado al formalismo. Antes al contrario, en el afán de dar carácter formal a todo el edificio matemático, ha surgido un lenguaje formal aun más general al de la Teoría de Conjuntos, en el seno del cual se puede desarrollar toda la Matemática: me refiero a la Teoría de Categorías. Lo irónico es que no es posible introducirse en la Teoría de Categorías sin un sólido conocimiento de la Teoría de Conjuntos y de ciertas otras ramas de la Matemática. Este libro pretende también ser, de alguna manera, un primer y demasiado lejano paso hacia la solidez de ese conocimiento que se necesita.

De esta introducción no debe desprenderse un apego especial hacia el formalismo, o una repugnancia hacia la intuición. El formalismo es sólo el método de presentación de los resultados, el mejor método, pero sólo un método. Las paradojas que poblaron la Matemática durante los primeros años del siglo XX indican que no es posible hacer Matemática desde una posición totalmente intuitiva, que necesitamos establecer un marco formal en el que desarrolar los resultados. Ese marco es una herramienta de trabajo y de comunicación, pero no puede sustituir en muchas ocasiones a la intuición como generadora de las ideas que son la base de todo este trabajo. El formalismo, pues, es como la gramática de un lenguaje, algo necesario para analizarlo y para poder expresarse correctamente, y a veces útil para llegar a conclusiones sobre él. Pero el lenguaje existe para ser hablado y escrito, y sin ideas que transmitir, todo lenguaje está muerto. De la misma manera, el formalismo nos permite a los matemáticos comunicarnos sin ambigüedades, analizar de manera extremadamente concisa nuevas situaciones, organizar nuestro conocimiento de forma que resulte más sencillo recordarlo y comprenderlo, y a veces sirve también para llegar a comprender las cosas de una manera a la que difícilmente podría accederse sin él. Pero no puede sustituir en muchas ocasiones a la brillantez de la genialidad, fruto de la inspiración, que camina por los senderos de la intuición. La labor del formalismo es la de trazar con claridad el camino que recorre la intuición.

El libro comenzará con un sucinto repaso de la Axiomática de Zermelo-Fraenkel. Se trata de sentar las bases sobre las que nos vamos a mover en adelante. Desde una perspectiva totalmente formal, iremos justificando todas las construcciones habituales sobre conjuntos, herramientas que más adelante usaremos constantemente. Pero no sólo es esa la intención. En la propia exposición de la axiomática aparecerán (se construirán) los números naturales de manera totalmente natural (valga la redundancia). Sin embargo, la exposición de la axiomática, aunque formal, no será lo amplia y rigurosa que nos permita deducir de ella todas las propiedades de los números naturales. Por ello recurrirermos a demostrar en base a la Axiomática de Zermelo-Freankel las propiedades más básicas de los números naturales, propiedades que no son otra cosa que la Axiomática de Peano. Con ella podremos recorrer todo el camino de la exposición de las propiedades de los números naturales de manera sencilla, mucho más que utilizando directamente la Axiomática de Zermelo-Fraenkel. Esto no quiere decir que vayamos a abandonar la Teoría formal de Conjuntos nada más terminar de verla para sustituirla por la Axiomática de Peano. No vamos a hacer un enorme esfuerzo para de inmediato tirarlo a la papelera. De lo que se trata es precisamente de hacer un esfuerzo importante que nos permita poder demostrar que los axiomas de Peano son teoremas dentro de la teoría de la Axiomática de Zermelo-Fraenkel, para precisamente usar el camino más sencillo trazado por Peano. Así, aunque hablemos de la Axiomática de Peano, sabemos que esos axiomas son teoremas dentro de nuestra teoría, y que por lo tanto sí que estamos trabajando dentro de la teoría de la Axiomática de Zermelo-Fraenkel.

Tras esto usaremos esas propiedades para construir las operaciones y el orden del conjunto de los números naturales. Una vez hecho esto pasaremos a hacer lo propio con el conjunto de los números enteros, para lo cual primero los construiremos como conjunto a partir de lo hecho con los naturales, y luego seguiremos usando las operaciones y el orden de conjunto de los números naturales para construir las propias del conjunto de los números enteros. Éste procedimiento, el de usar como materia prima tanto el conjunto numérico anterior como sus operaciones y su orden serán la manera habitual de proceder durante todo el libro. El problema es que en cada caso, la construcción que vamos a hacer es distinta, y cada vez que usemos la construcción anterior para crear una nueva, lo haremos de forma totalmente nueva.

Tras crear los números enteros y dotarlos de las operaciones y del orden, haremos un inciso para estudiar la representación decimal de los números enteros (en realidad, su representación en base arbitraria). En ese capítulo desarrollaremos los algoritmos con el que se obtienen las operaciones usuales.

El siguiente paso es el de construir el sistema de los números racionales. Una vez hecho esto construiremos el sistema de los números reales, y finalmente concluiremos construyendo el sistema de los números complejos.