Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Notas aclaratorias

Notas aclaratorias antes de comenzar

Comenzaremos exponiendo brevemente y de una manera formal (aunque no del todo rigurosa) la Axiomática de Zermelo-Fraenkel.

Se supone que el lector conoce la Teoría Intuitiva de Conjuntos, en particular el significado intuitivo de la unión de conjuntos, la intersección de conjuntos, la diferencia de conjuntos, el concepto de relación, de relación de equivalencia, de relación de orden, de aplicación entre conjuntos, de aplicación inyectiva, de aplicación sobreyectiva y de aplicación biyectiva y el de inducción matemática. Para obtener conocimientos sobre la materia, recomendamos el wikilibro Teoría intuitiva de conjuntos.

Los conocimientos antes comentados son de gran importancia. En este capítulo solamente introduciremos al lector en la Teoría de Conjuntos desde un punto de vista formal. La intención no es la de exponer de un modo riguroso y completo la Teoría de Conjuntos, sino sencillamente recorrer el camino que lleva desde la creación de los axiomas de la Teoría de Conjuntos hasta la aparición de los números naturales y sus propiedades básicas. Por ello nos saltaremos grandes tópicos de la Teoría de Conjuntos, centrándonos en aquello que resulta indispensable para poder continuar hacia nuestro objetivo. Dicho sea de paso, en el futuro necesitaremos de herramientas que no son estrictamente necesarias para construir el conjunto de números naturales, pero que sí serán de utilidad en nuestro estudio posterior sobre los distintos conjuntos numéricos, razón por la cual aparecerán también aquí expuestas. Pero para un conocimiento profundo de la Teoría de Conjuntos desde una perspectiva formal, este capítulo es del todo insuficiente.

Antes de comenzar con la materia, me resisto a no hacer tres comentarios, en favor de la actitud que el lector debe tomar para aprender correctamente lo que se expone a continuación:

En primer lugar, aunque el adjetivo "intuitiva" pueda inducir a algunos lectores a pensar que la materia que se presupone es pueril, trivial o incluso desdeñable, aconsejo de nuevo fervientemente la lectura del texto antes citado (Teoría intuitiva de conjuntos). La razón es que este capítulo no va a ser una exposición de las herramientas de la Teoría de Conjuntos que se necesitan para afrontar el libro, sino sólo una guía de cómo obtener las propiedades de los números naturales a partir de la axiomática de Zermelo-Fraenkel. En particular, no nos pararemos a discutir qué son las relaciones de orden, las aplicaciones, la inducción matemática, etc, aunque eventualmente queden definidas (por mera completitud). Sin embargo, es necesaria una total destreza en su manejo y familiaridad al tratar con ellas, porque van a ser herramientas que vamos a utilizar constantemente (y no sólo en este libro, sino en cualquiera dedicado a la Matemática e manera seria). Un curso sobre Teoría Intuitiva de Conjuntos es el lugar más apropiado para adquirir esa destreza y esa familiaridad. En un texto así lo que se pretende es que el estudiante consiga dominar precisamente aquello con lo que va a trabajar en adelante, para luego estudiarlo en profundidad en otras materias, como la Lógica Matemática, la Teoría de Conjuntos, etc. Así pues, una vez más, la lectura y estudio de Teoría intuitiva de conjuntos resulta de vital importancia para poder continuar.

En segundo lugar, he de advertir que si bien no son necesarios conocimientos de Lógica Matemática, sí que ciertas nociones muy básicas van a aparecer constantemente. En particular, la reducción al absurdo, la implicación lógica, la equivalencia lógica, el modus ponens, el contrarecíproco de una proposición, etc. van a ser parte de nuestro quehacer cotidiano, aunque no aparezcan sino implícitamente. Es por ello que un curso introductorio a la Lógica Matemática también es aconsejable. En cualquier caso hay que decir que en ningún momento estamos aconsejando que se posponga la lectura de este libro hasta después de haber estudiado en profundidad un tratado de Lógica Matemática. Sólo queremos recalcar que aquél lector que nunca haya estudiado cómo se demuestran las cosas en Matemática, puede encontrar algo difícil de comprender lo que se expone en este libro (así como lo que se expone en cualquier libro serio de Matemática).

La última advertencia se refiere al carácter formal del contenido de este libro, y en particular de este primer capítulo. La intención de este libro no es la de hacer un libro intuitivo y fácil de comprender, no se pretende que el lector aprenda a usar los números. Eso es algo que se sobreentiende. De lo que aquí se trata es de exponer formalmente la cosntrucción de los diversos conjuntos numéricos, para que sirva de apoyo al estudio serio de las distintas disciplinas matemáticas. Por ello, el tratamiento será en todo momento totalmente formal. Con ello queremos decir que en muchas situaciones parecerá que lo que se hace es totalmente innecesario. Eso es natural, porque se supone que el lector sólo tiene un conocimiento intuitivo de la Teoría de Conjuntos, y en muchos casos, de la Matemática en general. Aquí partiremos vaciando de contenido las palabras "conjunto", "elemento" y "pertenencia". Debe procurarse en todo momento no dejarse llevar por el significado intuitivo de dichas palabras, e intentar pensar únicamente que "conjunto" es una palabra que designa un cierto tipo de objetos abstractos, de forma que dado un conjunto (signifique esto lo que signifique) existirán otros conjuntos (signifique esto lo que signifique) de forma que existe una relación de pertenencia (signifique esto lo que signifique) de los segundos hacia el primero, razón por la cual denominaremos a los segundos elementos del primero. Una vez que estudiemos así la axiomática de la Teoría de Conjuntos comprenderemos que con el significado usual de las palabras "pertenencia", "elemento" y "conjunto", todo lo estudiado funciona bien. En adelante, durante el resto del libro, hemos de mantener la misma actitud formal: olvidaremos cuál es para nosotros el significad de palabras como "suma", "producto", "número", "número natural", "número entero", "número racional", etc. Al finalizar cada capítulo descubriremos que en la mayoría de los casos habremos aprendido algo que ya sabíamos, pero en unos pocos casos descubriremos que hemos podido demostrar algunas cuestiones que vistas desde un punto de vista intuitivo, parecen contradictorias. No lo son. Son sólo antiintuitivas. Para no caer en contradicciones hay que procurar siempre trabajar de una manera totalmente formal.

En cualquier caso, he de decir también que el formalismo es sólo un método de trabajo, o al menos solamente animamos a que se vea como tal. Cada uno es libre de llenar luego de significado intuitivo a cada una de las cosas que se estudien aquí, si así se siente más cómodo al pensar en ellas. Pero ha de quedar claro que la manera de exponer las cosas ha de ser exclusivamente formal de aquí en adelante.