Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Esquema Axiomático de Sustitución

El Esquema Axiomático de Sustitución dice lo siguiente: sea ${\mathcal {P}}$ una propiedad relativa a pares de conjuntos, de manera que si los pares de conjuntos $(c,d)$ y $(c,e)$ verifican ${\mathcal {P}}$, entonces $d=e$. Para todo conjunto $a$ existe un conjunto $b$ de manera que $d\in b$ si y solamente si existe un $c\in a$ tal que $(c,d)$ verifique ${\mathcal {P}}$.

Consecuencias

Imagen de una aplicación

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos, $f\in B^{A}$ y $a\subset A$. Podemos considerar la propiedad ${\mathcal {P}}$ sobre pares de conjuntos $(x,y)$ de forma que $(x,y)$ verifica ${\mathcal {P}}$ si y solamente si $y=f(x)$ (es decir, si $(x,y)\in f$). El Esquema Axiomático de Sustitución nos asegura que existirá un conjunto $b$ formado por los conjuntos $d$ tal que existe un $c\in a$ de forma que $d=f(c)$. Como $f\in B^{A}$ y $a\subset A$, entonces es $d\in B$, luego $b\subset B$. Tenemos entonces el conjunto $f(a):=b=\{d\in B:d=f(c),c\in a\}$, que se denomina imagen de $a$ mediante $f$. En particular, tendremos el conjunto $Img(f):=f(A)\subset B$, imagen de la aplicación $f$.

Aplicaciones sobreyectivas y biyectivas

Sean $a$ y $b$ dos conjuntos, y $f\in b^{a}$. Se dice que $f$ es:

• sobreyectiva si $Img(f)=b$;
• biyectiva si existe $g\in a^{b}$ de manera que si $c\in a$ entonces $g(f(c))=c$ y si $d\in b$ entonces $f(g(d))=c$. A la aplicación $g\in a^{b}$ se la denomina aplicación inversa de $f$, y se suele denotar por $f^{-1}$. De esta manera, podemos decir que $f\in b^{a}$ es biyectiva si existe $f^{-1}\in a^{b}$.

Una aplicación es biyectiva si y solamente si es inyectiva y sobreyectiva.