El enunciado del axioma de las partes dice: dado un conjunto 
, existe un conjunto 
de forma que si 
entonces 
.
Ahora usamos el Esquema Axiomático de Separación y creamos el conjunto 
. Como en las otras ocasiones, este conjunto es independiente del conjunto :
Sean 
conjuntos con las condiciones que afirma el enunciado del Axioma de las Partes, es decir, de manera que si , entonces , y si , entonces 
. Consideremos 
, y 
. Supongamos ahora que 
. Entonces es 
y 
. Pero si entonces 
(ya que lo hemos tomado de esa manera), luego es y , es decir, 
. Esto prueba que 
. La otra inclusión se demuestra de la misma manera.
