Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Axioma de Formación de Pares

El Axioma de Formación de Pares dice lo siguiente: dados dos conjuntos $a$ y $b$, existe un conjunto $c$ de forma que $a\in c$ y $b\in c$.

Ahora, de nuevo gracias al Esquema Axiomático de Separación, creamos el conjunto $\{a,b\}:=\{d\in c:d=a\vee d=b\}$. Como de costumbre, este conjunto es único, y no depende del conjunto $c$ del enunciado del axioma.

Consecuencias

Unión e intersección de dos conjuntos

La primera consecuencia es que ya podemos asegurar que existe la unión de dos conjuntos cualesquiera. Efectivamente, ahora que sabemos que dados dos conjuntos $a$ y $b$ existe el conjunto $\{a,b\}$, podemos ahora aplicar a $\{a,b\}$ el Axioma de la Unión, y obtener así $a\cup b:=\cup \{a,b\}$. También podemos aplicarle la construcción de la intersección de conjuntos y obtener $a\cap b:=\cap \{a,b\}$

Conjuntos finitos

Sean $a_{1},...,a_{n}$ conjuntos. Podemos obtener el conjunto cuyos elementos son $a_{1},...,a_{n}$ de la siguiente manera: aplicamos el Axioma de Formación de Pares al par de conjuntos $a_{1}$ y $a_{1}$, de forma que obtenemos el conjunto $\{a_{1}\}$. Ahora definimos por recurrencia el conjunto $\{a_{1},...,a_{k}\}$ como la unión de los conjuntos $\{a_{1},...,a_{k-1}\}$ y $\{a_{k}\}$, cualquiera que sea el $k$ entre $1$ y $n$. El último conjunto obtenido es el conjunto $\{a_{1},...,a_{n}\}$.

Pares ordenados y producto cartesiano

Sean $a$ y $b$ dos conjuntos. Con los conjuntos $a$ y $a$ podemos crear el conjunto $\{a\}$. Con los conjuntos $a$ y $b$ podemos crear el conjunto $\{a,b\}$. Ahora, con los conjuntos $\{a\}$ y $\{a,b\}$ podemos crear el conjunto $\{\{a\},\{a,b\}\}$. A este conjunto lo denominamos par ordenado $(a,b)$. Es sencillo probar que dos pares ordenados $(a,b)$ y $(c,d)$ son iguales si y solamente si $a=c$ y $b=d$.

Sean $c\in a$ y $d\in b$. Entonces es $\{c\}\subset a\subset a\cup b$, y $\{c,d\}\subset a\cup b$, luego $\{c\},\{c,d\}\in {\mathcal {P}}(a\cup b)$, y $\{\{c\},\{c,d\}\}\subset {\mathcal {P}}(a\cup b)$. Así, el par $(c,d)=\{\{c\},\{c,d\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(a\cup b))$, y ya tenemos al par ordenado como elemento de un conjunto. Podemos aplicar el Esquema Axiomático de Separación a la propiedad "ser par ordenado", obteniendo el conjunto producto cartesiano $a\times b:=\{\{\{c\},\{c,d\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(a\cup b)):c\in a,d\in b\}$.

Relaciones entre conjuntos y aplicaciones entre conjuntos

Dados dos conjuntos $a$ y $b$, cada subconjunto ${\mathcal {R}}\subset a\times b$ se denomina relación o correspondencia entre $a$. Es decir, una relación entre $a$ y $b$ es un elemento de ${\mathcal {P}}(a\times b)$. Si ${\mathcal {R}}\in {\mathcal {P}}(a\times a)$ se dice que ${\mathcal {R}}$ es una relación en $a$. Una relación en un conjunto $a$ se dice que es:

• reflexiva si se cumple que si $x\in a$ entonces $(x,x)\in {\mathcal {R}}$;
• simétrica si se cumple que $(x,y)\in {\mathcal {R}}$ implica que $(y,x)\in {\mathcal {R}}$;
• antisimétrica si cumple que $(x,y)\in {\mathcal {R}}$ e $(y,x)\in {\mathcal {R}}$ implican que $x=y$;
• transitiva si se tiene que si $(x,y)\in {\mathcal {R}}$ e $(y,z)\in {\mathcal {R}}$ implican que $(x,z)\in {\mathcal {R}}$.

Relaciones de equivalencia

Una relación de equivalencia en $a$ es una relación en $a$ que es reflexiva, simétrica y transitiva.

Relaciones de orden

Una relación de orden en $a$ es un relación en $a$ reflexiva, antisimétrica y transitiva. Una relación de orden ${\mathcal {R}}$ en $a$ es un orden total en $a$ si se cumple que cuando $x,y\in a$ entonces o bien es $(x,y)\in {\mathcal {R}}$ o bien es $(y,x)\in {\mathcal {R}}$. Un orden parcial en $a$ es una relación de orden en $a$ que no es orden total.

Mínimal, mínimo, maximal, máximo, cadena, buen orden

Sean $a$ un conjunto y ${\mathcal {R}}$ una relación de orden en $a$. Se dirá que un elemento $x\in a$ es:

• minimal si cuando se tiene que $(y,x)\in {\mathcal {R}}$, entonces es $y=x$;
• mínimo (o primer elemento de $a$) si se cumple que $(x,y)\in {\mathcal {R}}$, cualquiera que sea el $y\in a$;
• maximal si cuando se tiene que $(x,y)\in {\mathcal {R}}$, entonces es $x=y$;
• máximo si se cumple que $(y,x)\in {\mathcal {R}}$, cualquiera que sea el $y\in a$.

Sea $b\subset a$. Decimos que ${\mathcal {R}}$ se restringe a un orden en $b$ si se cumple que ${\mathcal {R}}|_{b}:=\{(x,y)\in {\mathcal {R}}:x,y\in b\}$ es una relación de orden en $b$.

Una cadena en $a$ es un subconjunto $b\subset a$ de forma que ${\mathcal {R}}|_{b}$ es un orden total en $b$.

Se dice que ${\mathcal {R}}$ es un buen orden en $a$ si cualquiera que sea el $b\subset a$, $b\neq \varnothing$, se tiene que ${\mathcal {R}}|_{b}$ es un orden en $b$ con elemento mínimo. Es sencillo demostrar que todo buen orden es un orden total.

Cota inferior, cota superior

Sea $a$ un conjunto y ${\mathcal {R}}$ una relación de orden en $a$. Si además es $b\subset a$, se dice que $x\in a$ es:

• cota inferior de $b$ si $(x,y)\in {\mathcal {R}}$, cualquiera que sea el $y\in b$;
• cota superior de $b$ si $(y,x)\in {\mathcal {R}}$, cualquiera que sea el $y\in b$.

Aplicaciones

Dados dos conjuntos $a$ y $b$, una aplicación de $a$ en $b$ es un $f\in {\mathcal {P}}(a\times b)$ (es decir, una relación) de manera que se cumplan las siguientes dos condiciones:

1. si $x\in a$, entonces existe un $y\in b$ de forma que $(x,y)\in f$;
2. si $(x,y),(x,z)\in f$, entonces es $y=z$.

Al conjunto $a$ se le llama también dominio de $f$, y se le denota por $Dom(f)$.

Al conjunto $b$ se le llama conjunto final de $f$.

Mediante el Esquema Axiomático de Separación podemos definir el conjunto $b^{a}:=\{f\in {\mathcal {P}}(a\times b):x\in a\Rightarrow \exists y\in b|(x,y)\in f\quad \wedge \quad (x,y),(x,z)\in f\Rightarrow y=z\}$, es decir, existe el conjunto de todas las aplicacione de $a$ en $b$.

Aplicaciones inyectivas

Sea $f\in b^{a}$, diremos que $f$ es inyectiva si se cumple que siempre que $(x_{1},y),(x_{2},y)\in f$, entonces es $x_{1}=x_{2}$.

Notación

Sean $a$ y $b$ dos conjuntos, ${\mathcal {R}}$ una relación entre $a$ y $b$ que no sea una aplicación, y sea $(x,y)\in {\mathcal {R}}$. Se suele denotar $x{\mathcal {R}}y$, en lugar de escribir $(x,y)\in {\mathcal {R}}$.

Sean $a$ y $b$ dos conjuntos, $f$ una aplicación de $a$ en $b$, y sea $(x,y)\in f$. Se suele denotar $y=f(x)$, en lugar de escribir $(x,y)\in f$. Además, se denota también $f:a\longrightarrow b$ en lugar de escribir $f\in b^{a}$.

En lugar de escribir "sea $a$ un conjunto y ${\mathcal {R}}$ es una relación de orden en $a$" suele escribirse "sea $(a,{\mathcal {R}})$ un conjunto ordenado". A veces también se usa la misma notación con relaciones de equivalencia.