Conjuntos numéricos/Axiomática de la Teoría de Conjuntos/Axioma de Elección

El Axioma de Elección no pertenece a la Axiomática de Zermelo-Fraenkel desde un punto de vista estricto. Fue añadido de manera posterior (a la axiomática resultante se la suele denominar ZFC). La gran mayoría de matemáticos aceptan el Axioma de Elección, por lo que al hablar de la Axiomática de Zermelo-Fraenkel, se suele entender que se habla de ZFC.

El Axioma de Elección se enuncia así: dado un conjunto $a$, existe una aplicación $f:{\mathcal {P}}(a)\backslash \{\varnothing \}\longrightarrow a$ de manera que si $b\subset a$ y $b\neq \varnothing$, entonces $f(b)\in b$.

La aplicación $f$ se suele denominar función de elección.

Consecuencias

Aunque no vamos a demostrarlo aquí, el Axioma de Elección es equivalente a los dos siguientes resultados:

Principio de Buena Ordenación de Zermelo

Dado un conjunto $a$, existe algún buen orden para $a$.

Lema de Zorn

Todo conjunto ordenado en el que cada cadena tiene cota superior, tiene algún elemento maximal.