Matemáticas/Cálculo en una variable/Sucesiones

Definiciones

Definición Una sucesión es una función de $F:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$

Puesto que podemos listar los enteros 1, 2, 3,... podemos de igual manera listar una sucesión f(1), f(2), f(3), f(4), … Denotaremos una sucesión por una letra mayúscula itálica, el conjunto de los valores reales que la función toma por la misma letra mayúscula no-itálica, y los elementos de ese conjunto con la correspondiente letra minúscula, y subíndices. Por ejemplo la sucesión S toma valores en el conjunto S con elementos $s_{1},s_{2},s_{3}...\,$.

S es un conjunto de reales, S es una función de los enteros en los reales, dos conceptos diferentes. Si somos rigurosos debemos ser cuidadosos de no confundir las dos, pero en el uso general ambos conceptos son intercambiables.

Podemos también denotar sucesiones por su función. Por ejemplo si decimos que la función S es 3k, entonces la sucesión consiste en 3, 6, 9,….

En particular estamos interesados en tipos especiales de sucesiones que convergen. Introducimos primero tres definiciones.

Definición 1: Una sucesión S es una sucesión de Cauchy si para todo $\epsilon >0$, existe un entero $n(\epsilon )$ tal que para todo $k>n(\epsilon )$, $|s_{k}-s_{n(\epsilon )}|<\epsilon .$

Definición 2: Una sucesión, S, está acotada superiormente/inferiormente si el conjunto, S, de todos sus elementos está acotada superiormente/inferiormente

Definición 3: Una sucesión, S, converge si existe un número, s, tal que para todo $\epsilon >0$, existe un entero $n(\epsilon )$ tal que para todo $k>n(\epsilon )$, $|s_{k}-s|<\epsilon .$ Si la sucesión es convergente llamaremos al número s el límite de la sucesión S. Escribimos, $s=\lim _{n\to \infty }s_{n}$

Teorema 0: Si existe un número, s, tal que para todo $\epsilon >0$, existe un entero $n(\epsilon )$ tal que para todo $k>n(\epsilon )$, $|s-s_{n(\epsilon )}|<f(\epsilon )$ donde f es tal que δ es menor o igual que algún δ(ε) implica que f(δ)≤ε, f(x) es positiva para todo x positivo, y f(0)=0 entonces S converge.

Prueba Para cualquier ε consideremos n(δ(ε)).

Si n>n(δ(ε)) entonces

Por las condiciones dadas, $|s-s_{n(\delta (\epsilon ))}|<f(\delta (\epsilon ))\leq \epsilon$

Luego, S cumple las condiciones en la Definición 3.

Este teorema indica que es suficiente probar que la diferencia entre un término y el límite es menor que alguna función positiva continua de ε

Cauchy = convergente

Probaremos que una sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy. Para esto necesitamos algunos teoremas preliminares.

Teorema 1: Toda sucesión de Cauchy está acotada superiormente

Prueba:

• Por la definición 1 con ε=1

$\exists N{\mbox{ tal que }}\forall n>N\quad |s_{n}-s_{N}|<1$

• Definamos

$r=2+\operatorname {sup} \{s_{1},s_{2},...s_{N}\}$

• Entonces, por definición

$s_{k}<r\quad \forall k\leq N$

• Si n>N

$s_{n}\leq 1+s_{N}<r$

• Por lo tanto la sucesión satisface la definición 2 con $s_{+}=r$

La sucesión de Cauchy está acotada superiormente.

Teorema 2: Toda sucesión de Cauchy está acotada inferiormente

Prueba: Como en el Teorema 1, con los cambios obvios. Ejercicio: Probar esto

Definición 4

• una sucesión es monótonamente creciente si para todo n,m n≥m implies a_n≥a_m
• una sucesión es monótonamente decreciente si para todo n,m n≥m implies a_n≤a_m

Teorema 3 a/Si S es acotada superiormente y monótonamente creciente, S converge a sup S b/Si S es acotada inferiormente y monótonamente decreciente, S converge a inf S

Prueba: a)Para una sucesión monótonamente creciente y acotada superiormenteS, y para todo ε>0, debemos tener

s_N>sup S -ε

para algún N, si no sup S -ε es una cota superior de S, contradiciendo la

definición de sup

para todo n>N, s_N<s_n, por definición

combinando con la primera desigualdad para obtener

sup S>s_n>sup S -ε

reordenando

|s_n-sup S|<ε para todo n mayor que algún N

Hence sup S es el límite de S

3b) se prueba similarmente

Teorema 4 (The sandwich teorema)

Dadas tres sucesiones, R, S , T,

Si R y T convergen ambas, lim R=lim T y

$\exists N\,\forall n>N\quad r_{n}\leq s_{n}\leq t_{n}$

la sucesión S converge al mismo límite.

Prueba

Sea s=lim R = lim T

Para cualquier ε>0, por definición de convergencia, existen M, N tal que

$\forall n>M\quad |r_{n}-s|<\epsilon$

$\forall n>N\quad |t_{n}-s|<\epsilon$

Combinando estas dos desigualdades con las condiciones para R y T da

$s-\epsilon <r_{n}\leq s_{n}\leq t_{n}<s+\epsilon$

para todo n mayor que el máximo de M y N

Después de reordenar, S satisface la definición de convergencia, con límite s,

y n(ε)=max {M,N}

Teorema 5 Si R, y S son ambas sucesiones convergentes

$\forall nr_{n}\leq s_{n}\Rightarrow \lim r_{n}\leq \lim s_{n}$

Teorema: Una sucesión S es convergente si y sólo si es de Cauchy.

1/ Convergencia implica Cauchy

Supongamos S es convergente, con límite s

Para un ε>0, elijamos n tal que

$\forall k>n\quad |s_{k}-s|<\epsilon /2$

(siempre es posible por definición de convergencia)

Por la desigualdad triangular, $|s_{k}-s_{j}|<|s_{k}-s|+|s-s_{j}|$

$|s_{k}-s_{j}|<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon$, for j,k>n

Esta es la definición de sucesión de Cauchy.

2/ Cauchy implica convergencia<

Sea S una sucesión de Cauchy

Definamos dos sucesiones R y T por

$r_{n}=\inf\{s_{m}:m\geq n\}\quad t_{n}=\sup\{s_{m}:m\geq n\}$

$r_{n}=\min(s_{n},r_{n+1})\leq r_{n+1}$

R es monótonamente creciente. Similarmente T es monótonamente decreciente.

$\forall m>n\quad r_{1}\leq r_{n}\leq s_{m}\leq t_{n}\leq t_{1}$

de modo que R y T están acotadas superiormente y inferiormente respectivamente.

Siendo acotadas y monótonas, convergen a su supremo e ínfimo respectivamente.

$r=\lim _{n\to \infty }r_{n}=\sup \,\inf\{s_{m}\}\quad t=\lim _{n\to \infty }t_{n}=\inf \,\sup\{s_{m}\}$

Por el teorema 5 puesto que r_n≤t_n para todo n, r ≤ t

Si, para algún N, todo s_n with n>N es mayor que r, r es una cota inferior de los s_n

pero es también una cota superior.

Para r ser ambas cosas, los s_n deben ser constantes, haciendo la serie trivialmente convergente.

Similarmente para t.

Entonces, para todo N, deben existir n, m mayores que N, con

$s_{n}\leq r\quad s_{m}\geq t$

$\forall N\,\exists n,m>N\quad |s_{n}-s_{m}|\geq |r-t|$

Si r≠t esto contradice la definición of Cauchy, luego r=t

Pero S está acotada entre R y T, por lo tanto por el teorema del sandwhich, S es convergente

Podemos usar ahora Cauchy y convergente intercambiablemente, según convenga. A menudo probaremos que una sucesión es convergente probando que es de Cauchy.

Operaciones con sucesiones

Si podemos sumar, multiplicar, y dividir sucesiones en la manera obvia, entonces el límite de una suma/producto/cociente de sucesiones será la suma/producto/cociente de sus límites.

Definimos (S+T) por (s+t)_n=s_n+t_n

La suma de sucesiones hereda las propiedades de grupo de los reales.

Si S y T convergen ambas, a s y t respectivamente, entonces para todo ε>0,

$\exists N\forall n>N\ |s_{n}-s|<\epsilon /2\quad |t_{n}-t|<\epsilon /2$

(definición de límite)

$|s_{n}-s|+|t_{n}-t|>|s_{n}+t_{n}-s-t|$ hence

$|s_{n}+t_{n}-(s+t)|<\epsilon$

Luego, por definición de límite, S+T converge a s+t

Definimos (ST) por (st)_n=s_nt_n

El producto de sucesiones hereda conmutatividad y asociatividad de los reales.

Si S y T convergen ambas, a s y t respectivamente, entonces para todo ε>0,

$\exists N\forall n>N\ |s_{n}-s|<\epsilon \quad |t_{n}-t|<\epsilon$

(definición de límite)

$|s_{n}t_{n}-st|=|(s_{n}-s)(t_{n}-t)+s(t_{n}-t)+t(s_{n}-s)|$

$|s_{n}t_{n}-st|<|s_{n}-s||t_{n}-t|+|s||t_{n}-t|+|t||s_{n}-s|$

$|(st)_{n}-st|<\epsilon ^{2}+2\epsilon (|s|+|t|)$

El lado derecho es una función monótona creciente de ε, por consiguiente puede ser reemplazado por ε, Luego, por definición de límite, S'T converge a s't