Matemáticas/Cálculo en una variable/Series

Introducción

Una serie aritmética, o suma compleja, es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica $r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+...$ donde $...$ indica que la serie continúa indefinidamente.

Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros $n$ términos.

Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros $n$ términos:

$S_{n}(r)=\sum _{i=1}^{n}r^{i}.$

Por lo general, estudiando la secuencia de sumas parciales podemos entender el comportamiento de la serie infinita entera.

Dos de las cuestiones más importantes sobre una serie son

• Converge?
• Si es así, a dónde?

Por ejemplo, es fácil ver que para $r>1$, la serie geométrica $S_{n}(r)$ no converge a un número finito (es decir, diverge a infinito). Para ver esto, notemos que cada vez que aumentamos el número de términos en la serie $S_{n}(r)$ aumenta. Quizás un hecho más sorprendente e interesante es que para $|r|<1$, $S_{n}(r)$ converge a un valor finito.

Específicamente, es posible demostrar que

$\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}(r)={\frac {r}{1-r}}.$

De hecho, consideremos la cantidad:

$(1-r)S_{n}(r)=(1-r)\sum _{i=1}^{n}r^{n}=\sum _{i=1}^{n}r^{n}-\sum _{i=2}^{n+1}r^{n}=r-r^{n+1}$

Puesto que $r^{n+1}\to 0$ cuando $n\to \infty$ para $|r|<1$, esto demuestra que $(1-r)S_{n}(r)\to r$ cuando $n\to \infty$. La cantidad $1-r$ es diferente a cero y no depende de $n$ así que podemos dividir por ella y llegar a la fórmula que deseamos.

Nos gustaría poder obtener conclusiones similares sobre cualquier serie.

Desafortunadamente, no hay un modo simple de sumar una serie. Lo más que podremos hacer en la mayoría de los casos es determinar si converge. Las series geométricas y telescópicas son los únicos tipos de series en las cuales se puede encontrar fácilmente la suma.

Convergencia

Es obvio que para que una serie converja, los a_n deben tender a cero, pero esto no es suficiente. Consideremos la serie armónica, la suma de 1/n, y agrupemos los términos

${\begin{matrix}\sum _{1}^{2^{m}}{\frac {1}{n}}&=1+{\frac {1}{2}}+&{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+&+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+&\ldots &+\sum _{1+2^{n-1}}^{2^{n}}{\frac {1}{p}}\\&>{\frac {3}{2}}+&{\frac {1}{4}}2+&{\frac {1}{8}}4+&\ldots &+{\frac {1}{2^{n}}}2^{n-1}\\&={\frac {3}{2}}+&{\frac {1}{2}}+&{\frac {1}{2}}+&\ldots &+{\frac {1}{2}}\quad (m{\mbox{ terms}})\end{matrix}}$

Cuando m tiende a infinito, también lo hace la suma final, por lo tanto la serie diverge.

Podemos también deducir algo sobre cuán rápidamente diverge. Usando el mismo agrupamiento de términos, podemos obtener un límite superior de la suma de los primeros términos, las sumas parciales.

$1+{\frac {m}{2}}<\sum _{1}^{2^{m}}{\frac {1}{n}}<1+m$

o

$1+{\frac {\ln _{2}m}{m}}<\sum _{1}^{m}{\frac {1}{n}}<1+\ln _{2}m$

y las sumas parciales aumentan como log m, muy lentamente.

Notemos que para descubrir esto, comparamos los términos de la serie armónica con una serie que sabíamos divergente.

Esto es una prueba de convergencia (también conocida como prueba directa de comparación) que podemos aplicar a cualquier par de series.

• Si b_n converge y |a_n|≤|b_n| entonces a_n converge.
• Si b_n diverge y |a_n|≥|b_n| entonces a_n diverge.

Existen muchas de tales pruebas, las más importantes de las cuales describiremos en este capítulo.

Convergencia absoluta

Teorema: Si la serie de valores absolutos, $\sum _{n=1}^{\infty }\left|a_{n}\right|$, converge, entonces también lo hace la serie $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

Decimos que tal serie es absolutamente convergente o que converge absolutamente.

El recíproco no es cierto. La serie 1-1/2+1/3-1/4... converge, aunque la serie de sus valores absolutos diverge.

Una serie como esta que converge, pero no absolutamente, se dice que es condicionalmente convergente o que converge condicionalmente.

Si una serie converge absolutamente, podemos sumar los términos en cualquier orden que queramos y el límite será siempre el mismo. Si converge una serie condicional, el cambio de los términos cambia el límite.

De hecho, podemos hacer que la serie converge a cualquier límite que deseemos eligiendo un cambio conveniente. P.ej., en la serie 1-1/2+1/3-1/4..., podemos sumar solamente términos positivos hasta que la suma parcial excede de 100, restamos el 1/2, sumamos solamente términos positivos hasta que la suma parcial excede de 100, restamos 1/4, etcétera, consiguiendo una secuencia con los mismos términos que converja a 100.

Esto hace que sea más fácil trabajar con una serie absolutamente convergente. Así, todas excepto una de las pruebas de convergencia en este capítulo serán para series cuyos términos sean todos positivos, que deben ser series absolutamente convergentes o divergentes. La otra serie será estudiada considerando la serie correspondiente de valores absolutos.

Prueba del cociente

Sea una serie con términos a_n, todos positivos, si

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=r$

entonces

• la serie converge si r<1
• la serie diverge si r>1
• si r=1, la prueba no es concluyente.

P. ej., supongamos que

$a_{n}={\frac {n!n!}{(2n)!}}$

entonces

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {(n+1)^{2}}{(2n+1)(2n+2)}}={\frac {n+1}{4n+2}}\to {\frac {1}{4}}$

luego esta serie converge.

Prueba de la integral

Si f(x) es una función monótonamente decreciente, siempre positiva, entonces la serie

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

converge si y solo si la integral

$\int _{1}^{\infty }f(x)dx$

converge.

P. ej., consideremos f(x)=1/x^p, para p fijo.

Si p=1 esta es la serie armónica, que diverge. Si p<1 cada término es mayor que la serie armónica, luego diverge. Si p>1 entonces

${\begin{matrix}\int _{1}^{\infty }x^{-p}dx&=&\lim _{s\to \infty }\int _{1}^{s}x^{-p}dx&\\&=&\lim _{s\to \infty }\left.{\frac {-1}{(p-1)x^{p-1}}}\right|_{1}^{s}&\\&=&\lim _{s\to \infty }\left({\frac {1}{p-1}}-{\frac {1}{(p-1)s^{p-1}}}\right)&={\frac {1}{p-1}}\end{matrix}}$

La integral converge, para p>1, luego la serie converge.

Podemos probar que la prueba funciona escribiendo la integral como

$\int _{1}^{\infty }f(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{n}^{n+1}f(x)dx$

y comparando cada una de las integrales con rectángulos, dando las desigualdades

$f(n)\geq \int _{n}^{n+1}f(x)dx\geq f(n+1)$

Aplicando entonces estas a la suma demuestra la convergencia.