Matemáticas/Cálculo en una variable/Cálculo integral/Sustituciones trigonométricas

Las sustituciones trigonométricas sirven para transformar varias integrales que contienen raíces cuadradas en otras integrales más simples.

La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen la siguiente forma

${\sqrt {a^{2}-u^{2}}}$, ${\sqrt {a^{2}+u^{2}}}$ y ${\sqrt {u^{2}-a^{2}}}$

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.

En el caso general la integral a resolver es:

$\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})dx$

Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, en primer lugar sacaremos $a$ factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a\cdot \left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+{\frac {c}{a}}\right)}}={\sqrt {a\cdot \left(x^{2}+2\cdot {\frac {bx}{2a}}+{\frac {c}{a}}\right)}}={\sqrt {a\cdot \left(x^{2}+2\cdot {\frac {bx}{2a}}+{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)}}=$

$={\sqrt {a\cdot \left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)}}={\sqrt {a\cdot \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}}$

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

1. $a>0$ Λ $c-{\frac {b^{2}}{4a}}>0$ es decir: ${\sqrt {m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+n^{2}}}$
2. $a>0$ Λ $c-{\frac {b^{2}}{4a}}<0$ es decir: ${\sqrt {m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-n^{2}}}$
3. $a<0$ Λ $c-{\frac {b^{2}}{4a}}>0$ es decir: ${\sqrt {n^{2}-m^{2}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}}$

teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con

$u=m\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)$

Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

1. ${\sqrt {u^{2}+n^{2}}};\quad u=n\cdot \tan t$
2. ${\sqrt {u^{2}-n^{2}}};\quad u=n\cdot \sec t$
3. ${\sqrt {n^{2}-u^{2}}};\quad u=n\cdot \sin t$

La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en $t$, se resuelve y se deshace el cambio.