Cálculo de un Eclipse Solar y Lunar. Ocultación y Tránsito/Tránsito/Primer y Último contacto Interior de Mercurio con el Sol

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Primer y Último contacto Interior de Mercurio con el SolEditar

En el caso del primer y último contacto interior ocurre cuando la totalidad de la Sombra Penumbral se ubica dentro de la Tierra, es decir toda la Sombra Penumbral sobre el Plano Fundamental o Principal de Referencia, por lo tanto:

m = p - l₁    (57)

Para el Tránsito de Mercurio por el Sol del 09.05.2016 y sabiendo que la Conjunción Inferior Sol-Mercurio, en Ascensión Recta, ocurre a las 15:00:00 hs. (GMT = Greenwich Meridian Time) [1] tomamos 9 horas para los cálculos respectivos. T₀ = 15 hs. es la hora central y anterior más cercana a tal conjunción, luego se realizan los cálculos para ±4 hs. a partir de esa T₀, es decir para las 11 hs., 12 hs., 13 hs., 14 hs., 15 hs., 16 hs., 17 hs., 18 hs. y 19 hs. (GMT).

Comenzamos entonces calculando M₀ en [°] donde x e y son las Coordenadas Rectangulares de la Luna, para T₀ = 15 hs

M₀ = Atan(x / y)    (58)

el ángulo M₀ debe estar comprendido entre 0° y 360°. Si y es negativo sumar 180° a M₀ para que luego m₀ sea positivo (+).

Luego m₀

m₀ = x / Seno(M₀)    (59)

Calculamos después N en [°] donde x' e y' son las diferencias derivadas de las Coordenadas Rectangulares de la Luna también para T₀ = 15 hs.

N = Atan(x' / y')    (60)

el ángulo N debe estar comprendido entre 0° y 180°.

Luego n

n = x' / Seno(N)    (61)

Los contactos interiores no ocurren cuando

(p - l₁) < m₀ * Seno(M₀ - N)    (62)

donde l₁ para T₀ = 15 hs.

Entonces, en este ejemplo con el Tránsito de Mercurio por el Sol del 09.05.2016 la condición contraria se cumple, es decir los contactos interiores si ocurren, por lo tanto se calcularán los contactos interiores en este capítulo. En el capítulo anterior se calcularon los contactos exteriores.

Como primera aproximación, calcular con p = 1

p - l₁    (63)

después calcular ψ en [°]

ψ = Aseno(m₀ * Seno(M₀ - N) / (p - l₁))    (64)

Luego Δ en [hms]

Δ = -m₀ * Coseno(M₀ - N) / n    (65)

Por lo tanto, en la primera aproximación, los Tiempos en [hms (GMT)] del Comienzo y Fin del Tránsito de Mercurio por el Sol tanto en la Salida como en la Puesta (contactos interiores) serán:

Comienzo T₁ = T₀ + Δ - (p - l₁) * Coseno(ψ) / n     (66)
Fin T₂ = T₀ + Δ + (p - l₁) * Coseno(ψ) / n     (67)

donde Coseno(ψ) puede ser tomado con signo tanto (+) como (-), siendo el primero para el comienzo y el segundo para el fin del Tránsito de Mercurio por el Sol (contactos interiores).

Tomamos luego ψ para el comienzo del Tránsito de Mercurio por el Sol, es decir el primer contacto interior

ψ = 180 - ψ    (68)

y 360 + ψ para el fin del Tránsito de Mercurio por el Sol, es decir el último contacto interior.

Seguido calculamos γ en [°], para el comienzo y el fin del Tránsito de Mercurio por el Sol con sus correspondientes ψ, entonces

γ = N + ψ    (69)

hallamos el correspondiente d, siendo la Declinación del Eje del "Cono de la Sombra" de Mercurio o del punto Z, y calcularlo para el comienzo y fin interpolando [2] en la tabla "Coordenadas Eje del "Cono de Sombra" de Mercurio o del Punto Z" (más abajo) con el siguiente argumento τ.

Para el comienzo:

τ = Δ - (p - l₁) * Coseno(ψ) / n    (70)

Para el fin:

τ = Δ + (p - l₁) * Coseno(ψ) / n    (71)

Luego calcular ρ₁ en [Radios Terrestres] para el comienzo y fin según d, anteriormente hallado para cada uno, y con la siguiente fórmula

ρ₁ = Seno(d) / Seno(Atan(Seno(d) / (Coseno(d) * (1 - e^2)^0,5)))    (72)

e lo encontramos en la tabla de las Constantes (más abajo).

Seguido calculamos γ' en [°] para el comienzo y fin según γ y ρ₁, anteriormente hallados para cada uno, y la siguiente fórmula

γ' = Atan(ρ₁ * Tan(γ))    (73)

γ y γ' deben ser ángulos comprendidos entre 0° y 360° con cantidades similares entre sí, por lo tanto llevar γ' al cuadrante correspondiente como lo está γ.

El nuevo p en [Radios Terrestres] para el comienzo y fin según γ y γ' , anteriormente hallados para cada uno, y la siguiente fórmula

p = Seno(γ') / Seno(γ)    (74)

luego hallamos los nuevos l₁, x' e y' para el comienzo y fin interpolando [2] en cada tabla correspondiente (más abajo) y con el argumento τ de las fórmulas (70) y (71).

Comenzamos con una segunda aproximación nuevamente desde la fórmula (60) hasta la (67) tanto para el comienzo como para el fin del Tránsito de Mercurio por el Sol. En el transcurso del cálculo nos dará los tiempos T₁ y T₂ ya ajustados. Recordar que las nuevas interpolaciones se realizarán también con el nuevo argumento de τ actualizado con los nuevos valores recientemente hallados en esta segunda aproximación.

Después calculamos el instante del Tránsito Medio en [hms (GMT)], entonces:

Tránsito Medio = T₀ + Δ     (75)

siendo el mismo valor calculado en el capítulo anterior. Δ lo tomamos de la fórmula (65) y T₀ = 15 hs.

Luego el Tiempo Total del Tránsito en [hms (GMT)] calculando la diferencia entre T₂ y T₁, por lo tanto

Tiempo Total del Tránsito = T₂ - T₁    (76)

Ejemplo práctico:Editar

Cálculos según Bessel

Tablas para interpolar valoresEditar

Todos los valores de las siguientes tablas han sido calculados según el capítulo Teoría de un Tránsito Planetario por el Sol y Cálculo de los Elementos Besselianos

Elementos de Bessel[2]Elementos de Bessel Elementos de Bessel Elementos de Bessel

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Notas de referenciaEditar

  1. Con las siguientes fórmulas y con las Efemérides del Sol y de Mercurio hallar la distancia angular ΔPS (Planeta-Sol [°]) para las 9 horas, desde las 11:00 hs. hasta las 19:00 hs. (GMT):

    ΔPS = Seno(δS) * Seno(δP) + Coseno(δS) * Coseno(δP) * Coseno((αS – αP) * 15)
    ΔPS = (Atan(-ΔPS / (1 - ΔPS^2)^0,5) + 2 * Atan(1))
    Si ΔPS < 0,166666666666666 entonces
    ΔPS = (((αP - αS) * 15 * Coseno((δP + δS) / 2))^2 + (δS - δP)^2)^0,5
    FinSi

    Ambos astros, del Planeta (Mercurio o Venus) αP y del Sol αS están en el formato Hora, Minutos y Segundos, y las Declinaciones del planeta (Mercurio o Venus) δP y del Sol δS en el formato °, ' y ".
    Por interpolación, hallar la conjunción inferior de Mercurio con el Sol, es decir cuando tienen las mismas Ascensiones Rectas. Esto se puede hacer asignando en una variable la diferencia entre Ascensiones Rectas y al cambio de signo interpolar con 0 (cero) y allí nos dará el tiempo de la conjunción. Elementos de Bessel
  2. 2,0 2,1 2,2 Interpolación por diferencias (click en la imagen).
    Elementos de Bessel