Aritmética/Propiedades de la División/Teoremas de la División

El matemático francés Blaise Pascal propuso los siguientes teoremas para la división

Teorema 1Editar

Todo número que divida de manera exacta a dos o más números, al sumar estos da otro número divisible, y se confirma en un múltiplo.

Ejemplo

9:3 = 3

21:3 = 7

9+21=30

30:3=10

Por lo tanto

(a+b)n=an+bn

Teorema 2Editar

Dos o más números que no son divisibles por otro, pero si la suma de sus residuos da el divisor se convierten en divisible a este.

Ejemplo 1

15:6 = 2 y residuo 3

33:6 = 5 y residuo 3

15+33= 48

48:6= 8

Ejemplo 2

19:7 = 2 y residuo 5

8:7 = 1 y residuo 1

22:7= 3 y residuo 1

19+8+22= 49

49:7 = 7

Por lo tanto

a+b+c=n(r1+r2+r3)

Teorema 3Editar

Si en una suma de números con un mismo divisor es una división inexacta, el residuo de este será el del mismo número del cual no es divisible.

Ejemplo 1

8:3 = 2 y residuo 2 21:3= 7 y residuo cero

21+8=29

29:3 = 9 y residuo 2

por consecuente

a+b+c=n(q1+q2+q3)+(r1+r2+r3)

Teorema 4Editar

Todo número que divida a otro divide a sus múltiplos.

Ejemplo

Si 40:8=5, entonces 80:8=10

Teorema 5Editar

Todo número que pueda dividir de forma exacta a dos cantidades, puede dividir su diferencia, y por consiguiente, la diferencia de sus cocientes será el mismo caso.

Ejemplo

Si 345:5=69 y 155:5=31

Entonces 345-155= 190

y 190:5=38

a-b=n(q1-q2)

Teorema 6Editar

Si hay dos números que no pueden ser divisibles por el mismo divisor y comparten el mismo residuo, pueden restarse y su diferencia será divisible.

Ejemplo

Si 46:7 = 6 y residuo 4 y 88:7 = 12 y residuo 4

Entonces 88-46= 42, y 42:7 = 6

a-b=n(r1-r2)

Teorema 7Editar

Si un número puede dividir de forma exacta a la suma y a uno de los sumandos, debe dividir exactamente a los otros.

Ejemplo

Si tenemos 232+436+456 = 1124

y 1124:4=281 y 456:4 = 114, entonces 232:4=58 y 436:4=109

Teorema 8Editar

Si uno de los sumandos no es divisible de forma exacta de un divisor, no puede dividir la suma.

Ejemplo

Tenemos 109+281+234 = 624 y sí 624:4= 156 pero 109:4= 27 y residuo 1, entonces 4 no es divisor común.

Teorema 9Editar

Todo número que divida de forma exacta al dividendo y al divisor de una división inexacta, también divide de forma exacta al residuo.

Ejemplo 1

Si 40:6= 6 y residuo 4, y el 2 puede dividir exactamente al divisor y al dividendo entonces también al residuo

D-dc=r

Teorema 10Editar

Todo número que divida de forma exacta al residuo y al divisor de una división inexacta, también divide de forma exacta al dividendo.

Ejemplo 1

Si 155:10= 15 y residuo 5, entonces el 5 puede dividir exactamente a 10 y 5

D=dc+r

FuentesEditar

Aritmética de Baldor, p.164-172,Principios Fundamentales de la Divisibilidad