Aritmética/Propiedades de la División/Teoremas de la División

El matemático francés Blaise Pascal propuso los siguientes teoremas para la división

Teorema 1

Todo número que divida de manera exacta a dos o más números, al sumar estos da otro número divisible, y se confirma en un múltiplo.

Ejemplo

9:3 = 3

21:3 = 7

9+21=30

30:3=10

Por lo tanto

(a+b)n=an+bn

Teorema 2

Dos o más números que no son divisibles por otro, pero si la suma de sus residuos da el divisor se convierten en divisible a este.

Ejemplo 1

15:6 = 2 y residuo 3

33:6 = 5 y residuo 3

15+33= 48

48:6= 8

Ejemplo 2

19:7 = 2 y residuo 5

8:7 = 1 y residuo 1

22:7= 3 y residuo 1

19+8+22= 49

49:7 = 7

Por lo tanto

a+b+c=n(r1+r2+r3)

Teorema 3

Si en una suma de números con un mismo divisor es una división inexacta, el residuo de este será el del mismo número del cual no es divisible.

Ejemplo 1

8:3 = 2 y residuo 2 21:3= 7 y residuo cero

21+8=29

29:3 = 9 y residuo 2

por consecuente

a+b+c=n(q1+q2+q3)+(r1+r2+r3)

Teorema 4

Todo número que divida a otro divide a sus múltiplos.

Ejemplo

Si 40:8=5, entonces 80:8=10

Teorema 5

Todo número que pueda dividir de forma exacta a dos cantidades, puede dividir su diferencia, y por consiguiente, la diferencia de sus cocientes será el mismo caso.

Ejemplo

Si 345:5=69 y 155:5=31

Entonces 345-155= 190

y 190:5=38

a-b=n(q1-q2)

Teorema 6

Si hay dos números que no pueden ser divisibles por el mismo divisor y comparten el mismo residuo, pueden restarse y su diferencia será divisible.

Ejemplo

Si 46:7 = 6 y residuo 4 y 88:7 = 12 y residuo 4

Entonces 88-46= 42, y 42:7 = 6

a-b=n(r1-r2)

Teorema 7

Si un número puede dividir de forma exacta a la suma y a uno de los sumandos, debe dividir exactamente a los otros.

Ejemplo

Si tenemos 232+436+456 = 1124

y 1124:4=281 y 456:4 = 114, entonces 232:4=58 y 436:4=109

Teorema 8

Si uno de los sumandos no es divisible de forma exacta de un divisor, no puede dividir la suma.

Ejemplo

Tenemos 109+281+234 = 624 y sí 624:4= 156 pero 109:4= 27 y residuo 1, entonces 4 no es divisor común.

Teorema 9

Todo número que divida de forma exacta al dividendo y al divisor de una división inexacta, también divide de forma exacta al residuo.

Ejemplo 1

Si 40:6= 6 y residuo 4, y el 2 puede dividir exactamente al divisor y al dividendo entonces también al residuo

D-dc=r

Teorema 10

Todo número que divida de forma exacta al residuo y al divisor de una división inexacta, también divide de forma exacta al dividendo.

Ejemplo 1

Si 155:10= 15 y residuo 5, entonces el 5 puede dividir exactamente a 10 y 5

D=dc+r

Fuentes

Aritmética de Baldor, p.164-172,Principios Fundamentales de la Divisibilidad