Aritmética/Propiedades de la División/Teoremas de la División
El matemático francés Blaise Pascal propuso los siguientes teoremas para la división
Teorema 1 editar
Todo número que divida de manera exacta a dos o más números, al sumar estos da otro número divisible, y se confirma en un múltiplo.
Ejemplo
9:3 = 3
21:3 = 7
9+21=30
30:3=10
Por lo tanto
(a+b)n=an+bn
Teorema 2 editar
Dos o más números que no son divisibles por otro, pero si la suma de sus residuos da el divisor se convierten en divisible a este.
Ejemplo 1
15:6 = 2 y residuo 3
33:6 = 5 y residuo 3
15+33= 48
48:6= 8
Ejemplo 2
19:7 = 2 y residuo 5
8:7 = 1 y residuo 1
22:7= 3 y residuo 1
19+8+22= 49
49:7 = 7
Por lo tanto
a+b+c=n(r1+r2+r3)
Teorema 3 editar
Si en una suma de números con un mismo divisor es una división inexacta, el residuo de este será el del mismo número del cual no es divisible.
Ejemplo 1
8:3 = 2 y residuo 2 21:3= 7 y residuo cero
21+8=29
29:3 = 9 y residuo 2
por consecuente
a+b+c=n(q1+q2+q3)+(r1+r2+r3)
Teorema 4 editar
Todo número que divida a otro divide a sus múltiplos.
Ejemplo
Si 40:8=5, entonces 80:8=10
Teorema 5 editar
Todo número que pueda dividir de forma exacta a dos cantidades, puede dividir su diferencia, y por consiguiente, la diferencia de sus cocientes será el mismo caso.
Ejemplo
Si 345:5=69 y 155:5=31
Entonces 345-155= 190
y 190:5=38
a-b=n(q1-q2)
Teorema 6 editar
Si hay dos números que no pueden ser divisibles por el mismo divisor y comparten el mismo residuo, pueden restarse y su diferencia será divisible.
Ejemplo
Si 46:7 = 6 y residuo 4 y 88:7 = 12 y residuo 4
Entonces 88-46= 42, y 42:7 = 6
a-b=n(r1-r2)
Teorema 7 editar
Si un número puede dividir de forma exacta a la suma y a uno de los sumandos, debe dividir exactamente a los otros.
Ejemplo
Si tenemos 232+436+456 = 1124
y 1124:4=281 y 456:4 = 114, entonces 232:4=58 y 436:4=109
Teorema 8 editar
Si uno de los sumandos no es divisible de forma exacta de un divisor, no puede dividir la suma.
Ejemplo
Tenemos 109+281+234 = 624 y sí 624:4= 156 pero 109:4= 27 y residuo 1, entonces 4 no es divisor común.
Teorema 9 editar
Todo número que divida de forma exacta al dividendo y al divisor de una división inexacta, también divide de forma exacta al residuo.
Ejemplo 1
Si 40:6= 6 y residuo 4, y el 2 puede dividir exactamente al divisor y al dividendo entonces también al residuo
D-dc=r
Teorema 10 editar
Todo número que divida de forma exacta al residuo y al divisor de una división inexacta, también divide de forma exacta al dividendo.
Ejemplo 1
Si 155:10= 15 y residuo 5, entonces el 5 puede dividir exactamente a 10 y 5
D=dc+r
Fuentes editar
Aritmética de Baldor, p.164-172,Principios Fundamentales de la Divisibilidad