Aritmética/Propiedades de la División/Teoremas de la División
El matemático francés Blaise Pascal propuso los siguientes teoremas para la división
Teorema 1Editar
Todo número que divida de manera exacta a dos o más números, al sumar estos da otro número divisible, y se confirma en un múltiplo.
Ejemplo
9:3 = 3
21:3 = 7
9+21=30
30:3=10
Por lo tanto
(a+b)n=an+bn
Teorema 2Editar
Dos o más números que no son divisibles por otro, pero si la suma de sus residuos da el divisor se convierten en divisible a este.
Ejemplo 1
15:6 = 2 y residuo 3
33:6 = 5 y residuo 3
15+33= 48
48:6= 8
Ejemplo 2
19:7 = 2 y residuo 5
8:7 = 1 y residuo 1
22:7= 3 y residuo 1
19+8+22= 49
49:7 = 7
Por lo tanto
a+b+c=n(r1+r2+r3)
Teorema 3Editar
Si en una suma de números con un mismo divisor es una división inexacta, el residuo de este será el del mismo número del cual no es divisible.
Ejemplo 1
8:3 = 2 y residuo 2 21:3= 7 y residuo cero
21+8=29
29:3 = 9 y residuo 2
por consecuente
a+b+c=n(q1+q2+q3)+(r1+r2+r3)
Teorema 4Editar
Todo número que divida a otro divide a sus múltiplos.
Ejemplo
Si 40:8=5, entonces 80:8=10
Teorema 5Editar
Todo número que pueda dividir de forma exacta a dos cantidades, puede dividir su diferencia, y por consiguiente, la diferencia de sus cocientes será el mismo caso.
Ejemplo
Si 345:5=69 y 155:5=31
Entonces 345-155= 190
y 190:5=38
a-b=n(q1-q2)
Teorema 6Editar
Si hay dos números que no pueden ser divisibles por el mismo divisor y comparten el mismo residuo, pueden restarse y su diferencia será divisible.
Ejemplo
Si 46:7 = 6 y residuo 4 y 88:7 = 12 y residuo 4
Entonces 88-46= 42, y 42:7 = 6
a-b=n(r1-r2)
Teorema 7Editar
Si un número puede dividir de forma exacta a la suma y a uno de los sumandos, debe dividir exactamente a los otros.
Ejemplo
Si tenemos 232+436+456 = 1124
y 1124:4=281 y 456:4 = 114, entonces 232:4=58 y 436:4=109
Teorema 8Editar
Si uno de los sumandos no es divisible de forma exacta de un divisor, no puede dividir la suma.
Ejemplo
Tenemos 109+281+234 = 624 y sí 624:4= 156 pero 109:4= 27 y residuo 1, entonces 4 no es divisor común.
Teorema 9Editar
Todo número que divida de forma exacta al dividendo y al divisor de una división inexacta, también divide de forma exacta al residuo.
Ejemplo 1
Si 40:6= 6 y residuo 4, y el 2 puede dividir exactamente al divisor y al dividendo entonces también al residuo
D-dc=r
Teorema 10Editar
Todo número que divida de forma exacta al residuo y al divisor de una división inexacta, también divide de forma exacta al dividendo.
Ejemplo 1
Si 155:10= 15 y residuo 5, entonces el 5 puede dividir exactamente a 10 y 5
D=dc+r
FuentesEditar
Aritmética de Baldor, p.164-172,Principios Fundamentales de la Divisibilidad