Aritmética/Operaciones con Números Naturales/Multiplicacion de Números Naturales

Definición

Es toda operación donde se involucran dos o mas elementos con el símbolo $\ast$ , $\times$ , $\cdot$ , consiste en sumar un número tantas veces como lo indica el otro número, cuyas representaciónes pueden ser:

$a\ast b=c$

$a\times b=c$

$a\cdot b=c$

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

La multiplicación de dos números enteros n y m se expresa como:

\sum _{k=1}^{n}m=mn

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión «sumar m a sí mismo n veces». Puede facilitar la comprensión al expandir la expresión anterior:

m·n = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo:

5×2 = 5 + 5 = 10
2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
4×3 = 4 + 4 + 4 = 12
m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m
m·5 = m + m + m + m + m = 5m

Tabla básica de la Multiplicación

La forma tradicional de representar la tabla de multiplicar para su memorización o repaso, como su propio nombre indica en forma de tabla.^[1] ^[2]^[3] Donde se multiplica, del uno al diez o del cero al diez, cada uno de los números en la tabla.

{\begin{array}{c}tabla\;de\;multiplicar\\\\{\begin{array}{ccccc}{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;1\\{\begin{array}{rcrcr}1&\times &0&=&0\\1&\times &1&=&1\\1&\times &2&=&2\\1&\times &3&=&3\\1&\times &4&=&4\\1&\times &5&=&5\\1&\times &6&=&6\\1&\times &7&=&7\\1&\times &8&=&8\\1&\times &9&=&9\\1&\times &10&=&10\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;2\\{\begin{array}{rcrcr}2&\times &0&=&0\\2&\times &1&=&2\\2&\times &2&=&4\\2&\times &3&=&6\\2&\times &4&=&8\\2&\times &5&=&10\\2&\times &6&=&12\\2&\times &7&=&14\\2&\times &8&=&16\\2&\times &9&=&18\\2&\times &10&=&20\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;3\\{\begin{array}{rcrcr}3&\times &0&=&0\\3&\times &1&=&3\\3&\times &2&=&6\\3&\times &3&=&9\\3&\times &4&=&12\\3&\times &5&=&15\\3&\times &6&=&18\\3&\times &7&=&21\\3&\times &8&=&24\\3&\times &9&=&27\\3&\times &10&=&30\\\end{array}}\\\hline \end{array}}\\\\{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;4\\{\begin{array}{rcrcr}4&\times &0&=&0\\4&\times &1&=&4\\4&\times &2&=&8\\4&\times &3&=&12\\4&\times &4&=&16\\4&\times &5&=&20\\4&\times &6&=&24\\4&\times &7&=&28\\4&\times &8&=&32\\4&\times &9&=&36\\4&\times &10&=&40\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;5\\{\begin{array}{rcrcr}5&\times &0&=&0\\5&\times &1&=&5\\5&\times &2&=&10\\5&\times &3&=&15\\5&\times &4&=&20\\5&\times &5&=&25\\5&\times &6&=&30\\5&\times &7&=&35\\5&\times &8&=&40\\5&\times &9&=&45\\5&\times &10&=&50\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;6\\{\begin{array}{rcrcr}6&\times &0&=&0\\6&\times &1&=&6\\6&\times &2&=&12\\6&\times &3&=&18\\6&\times &4&=&24\\6&\times &5&=&30\\6&\times &6&=&36\\6&\times &7&=&42\\6&\times &8&=&48\\6&\times &9&=&54\\6&\times &10&=&60\\\end{array}}\\\hline \end{array}}\\\\{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;7\\{\begin{array}{rcrcr}7&\times &0&=&0\\7&\times &1&=&7\\7&\times &2&=&14\\7&\times &3&=&21\\7&\times &4&=&28\\7&\times &5&=&35\\7&\times &6&=&42\\7&\times &7&=&49\\7&\times &8&=&56\\7&\times &9&=&63\\7&\times &10&=&70\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;8\\{\begin{array}{rcrcr}8&\times &0&=&0\\8&\times &1&=&8\\8&\times &2&=&16\\8&\times &3&=&24\\8&\times &4&=&32\\8&\times &5&=&40\\8&\times &6&=&48\\8&\times &7&=&56\\8&\times &8&=&64\\8&\times &9&=&72\\8&\times &10&=&80\\\end{array}}\\\hline \end{array}}&{\begin{array}{|c|}\hline tabla\;del\;9\\{\begin{array}{rcrcr}9&\times &0&=&0\\9&\times &1&=&9\\9&\times &2&=&18\\9&\times &3&=&27\\9&\times &4&=&36\\9&\times &5&=&45\\9&\times &6&=&54\\9&\times &7&=&63\\9&\times &8&=&72\\9&\times &9&=&81\\9&\times &10&=&90\\\end{array}}\\\hline \end{array}}\\\end{array}}\\\end{array}}

Otra forma de representar la tabla de multiplicar, es la denominada tabla pitagórica^[4] (denominada así en honor de Pitágoras), compuesta por coordenadas cartesianas (denominadas así en honor de Descartes). La ultima fila y la primera columna contienen los números que se van a multiplicar (habitualmente, los números enteros hasta el 10), y en la intersección de cada fila y cada columna está el producto del número de su fila por el número de su columna.

{\begin{array}{r|rrrrrrrrrr}\times &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\2&0&2&4&6&8&10&12&14&16&18&20\\3&0&3&6&9&12&15&18&21&24&27&30\\4&0&4&8&12&16&20&24&28&32&36&40\\5&0&5&10&15&20&25&30&35&40&45&50\\6&0&6&12&18&24&30&36&42&48&54&60\\7&0&7&14&21&28&35&42&49&56&63&70\\8&0&8&16&24&32&40&48&56&64&72&80\\9&0&9&18&27&36&45&54&63&72&81&90\\10&0&10&20&30&40&50&60&70&80&90&100\\\end{array}}

Esta representación es la más compacta, y permite ver algunas propiedades de la multiplicación, la propiedad conmutativa, el orden de los factores no altera el producto, por ejemplo el 5·3 es igual a 3·5, esto hace que este cuadro sea una matriz simétrica, los valores situados a un lado otro de la diagonal que une el 1 y el 100, son iguales.

Esta simetría se puede ver también al comprobar que las filas y las columnas de un mismo número son iguales, si vemos la fila del tres, presenta la secuencia: 3, 6, 9, 12..., y si miramos la columna del tres tenemos la misma secuencia 3, 6, 9..., es decir, si cambiamos las filas por las columnas la tabla no varía, esto se debe a la propiedad conmutativa de la multiplicación.

La diagonal principal, recoge los cuadrados de los números, en esta diagonal la fila es igual a la columna, por lo que tenemos que:

a\cdot a=a^{2}\,

La distribución de los números a un lado y otro de esta diagonal también es simétrica según nos alejamos de ella.

Propiedades de la multiplicación

Propiedad asociativa,

(m\cdot n)\cdot p=m\cdot (n\cdot p)

para cualesquier m, n, p números naturales

(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

6 · 5 = 2 · 15

30 = 30

conmutativa:

m\cdot n=n\cdot m

, para n y n cualesquier número natural.

2 · 5 = 5 · 2

10 = 10

Propiedad distributiva respecto a la adición:

m\cdot (l+n)=m\cdot l+m\cdot n=(l+n)\cdot m

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

Se puede deducir esto cómo factor común:

a\cdot b+a\cdot c=a\cdot (b+c)

2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

No hay divisores de cero:

m\cdot n=0

implica que por lo menos uno de los factores es igual a cero.^[5]

Propiedad del Elemento neutro

n\cdot 1=n

todo número natural n.

Cualquier número multiplicado por 1 da el resultado del número que sea a

3 · 1 = 3

Referencias

↑ de Eguilaz, Eugenio (1840). Antonio Mateis Muñoz. ed (en español). Tablas de sumar, restar, multiplicar y dividir (1 edición). p. 12.
↑ Oriol y Bernadet, José (1845). José Matas. ed (en español). Manual de aritmética demostrada: Al alcance de los niños (1 edición). p. 24.
↑ Coto, Alberto (2009) (en español). Ayuda a tu hijo a entrenar su inteligencia (1 edición). Editorial EDAF S.L.. p. 62. ISBN 978-84-414-2099-1. https://archive.org/details/ayudatuhijoentre0000coto.
↑ Tapia Felipe, Yolanda; García Anaya, Fernando José (2005) (en español). Matemáticas 2 (1 edición). Editorial Progreso SA. p. 104. ISBN 970-641-554-8.
↑ A. Adrian Albert. «Álgebra superior»

[1] Eguilaz, Eugenio (1840). Antonio Mateis Muñoz. ed (en español). Tablas de sumar, restar, multiplicar y dividir (1 edición). p. 12.

[2] Oriol y Bernadet, José (1845). José Matas. ed (en español). Manual de aritmética demostrada: Al alcance de los niños (1 edición). p. 24.

[3] Coto, Alberto (2009) (en español). Ayuda a tu hijo a entrenar su inteligencia (1 edición). Editorial EDAF S.L.. p. 62. ISBN 978-84-414-2099-1. https://archive.org/details/ayudatuhijoentre0000coto.

[4] Tapia Felipe, Yolanda; García Anaya, Fernando José (2005) (en español). Matemáticas 2 (1 edición). Editorial Progreso SA. p. 104. ISBN 970-641-554-8.

[5] A. Adrian Albert. «Álgebra superior»

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