Aritmética/Operaciones con Números Naturales/Multiplicacion de Números Naturales

DefiniciónEditar

Es toda operación donde se involucran dos o mas elementos con el símbolo  , ,  , consiste en sumar un número tantas veces como lo indica el otro número, cuyas representaciónes pueden ser:

 

 

 

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

La multiplicación de dos números enteros n y m se expresa como:

 

Ésta no es más que una forma de simbolizar la expresión «sumar m a sí mismo n veces». Puede facilitar la comprensión al expandir la expresión anterior:

m·n = m + m + m +...+ m

tal que hay n sumandos. Así, por ejemplo:

  • 5×2 = 5 + 5 = 10
  • 2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
  • 4×3 = 4 + 4 + 4 = 12
  • m·6 = m + m + m + m + m + m = 6m
  • m·5 = m + m + m + m + m = 5m

Tabla básica de la MultiplicaciónEditar

Otra forma de representar la tabla de multiplicar, es la denominada tabla pitagórica[1] (denominada así en honor de Pitágoras), compuesta por coordenadas cartesianas (denominadas así en honor de Descartes). La primera fila y la primera columna contienen los números que se van a multiplicar (habitualmente, los números enteros hasta el 10), y en la intersección de cada fila y cada columna está el producto del número de su fila por el número de su columna.

Esta representación es la más compacta, y permite ver algunas propiedades de la multiplicación, la propiedad conmutativa, el orden de los factores no altera el producto, por ejemplo el 5·3 es igual a 3·5, esto hace que este cuadro sea una matriz simétrica, los valores situados a un lado otro de la diagonal que une el 1 y el 100, son iguales.

Esta simetría se puede ver también al comprobar que las filas y las columnas de un mismo número son iguales, si vemos la fila del tres, presenta la secuencia: 3, 6, 9, 12..., y si miramos la columna del tres tenemos la misma secuencia 3, 6, 9..., es decir, si cambiamos las filas por las columnas la tabla no varía, esto se debe a la propiedad conmutativa de la multiplicación.

La diagonal principal, recoge los cuadrados de los números, en esta diagonal la fila es igual a la columna, por lo que tenemos que:

 

La distribución de los números a un lado y otro de esta diagonal también es simétrica según nos alejamos de ella.

Propiedades de la multiplicaciónEditar

Propiedad asociativa,   para cualesquier m, n, p números naturales

(2 · 3) · 5 = 2· (3 · 5)

6 · 5 = 2 · 15

30 = 30

conmutativa:  , para n y n cualesquier número natural.

2 · 5 = 5 · 2

10 = 10

Propiedad distributiva respecto a la adición:  


2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

+ a · c

2 · (3 + 5) = 2 · 3 + 2 · 5

2 · 8 = 6 + 10

16 = 16

Se puede deducir esto cómo factor común:  

6 + 10 = 2 · 8

16 = 16

No hay divisores de cero:   implica que por lo menos uno de los factores es igual a cero.[2]


Propiedad del Elemento neutro   todo número natural n.

Cualquier número multiplicado por 1 da el resultado del número que sea a

3 · 1 = 3

  1. Tapia Felipe, Yolanda; García Anaya, Fernando José (2005) (en español). Matemáticas 2 (1 edición). Editorial Progreso SA. p. 104. ISBN 970-641-554-8. 
  2. A. Adrian Albert. «Álgebra superior»