Aritmética/Números Racionales/Tipos de Números Racionales

Tipos de fracciones

Fracción simple, común o vulgar

Una fracción simple (también conocida como fracción común o fracción vulgar) es un número racional de la forma a/b, donde a y b son números enteros y b≠0. Puesto que una fracción común representa un número racional, las fracciones comunes heredan todas las propiedades matemáticas de los racionales. Ejemplo ${\tfrac {3}{4}}$ ; 3/4; ³/₄; (¾); fracción tres cuartos: numerador 3 y denominador 4, representa al número decimal 0.75, en porcentaje: 75%.

Fracción propia e impropia

Las fracciones comunes pueden clasificarse en propias e impropias. Una fracción propia es aquella en la que, si numerador y denominador son positivos, el numerador es menor que el denominador, por ejemplo ${\tfrac {1}{3}},\;{\tfrac {3}{8}},\;{\tfrac {3}{4}}$ . Por el contrario, una fracción impropia será la fracción en donde el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo ${\tfrac {13}{6}},\;{\tfrac {18}{8}},\;{\tfrac {5}{2}}$ . En general, una fracción común es una fracción propia si el valor absoluto es estrictamente menor que uno — es decir, si la fracción es mayor que −1 y menor que 1 —.^[1]^[2]

Fracción mixta

Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia, en forma de número entero y fracción propia; es una manera práctica de escribir unidades de medida (peso, tiempo, capacidad), recetas de cocina, etc.^[3]

Toda fracción impropia ${\tfrac {p}{q}}$ puede escribirse como número mixto: $A{\tfrac {a}{b}}$ , en donde $A{\tfrac {a}{b}}$ denota $A+{\tfrac {a}{b}}$ (donde $A\in \mathbb {Z} ,~A\geq 0$ , es la parte entera). Como ejemplos:

{\frac {30}{20}}={\frac {3}{2}}=1{\frac {1}{2}}

«Una cucharadita y media de...»

15.70/12.561\approx 5/4=1{\frac {1}{4}}

«En una hora y cuarto...»

A partir de un cierto nivel de álgebra elemental, la notación mixta suele sustituirse por fracciones impropias, que son más operacionales.^[4]

Razón

La razón es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se ve cuántas veces contiene una a la otra. En el caso de números toda razón se puede expresar en forma de fracción y eventualmente como un decimal.

Generalmente se expresa como "a es a b" o a:b, y corresponde a la fracción a/b.

Fracción inversa

Una fracción inversa es una fracción obtenida a partir de otra dada, en la que se han invertido el numerador y el denominador, es decir, la fracción inversa de una fracción a/b es b/a. Como ejemplos, ${\tfrac {2}{3}}$ y su fracción inversa ${\tfrac {3}{2}}$ , ${\tfrac {1}{2}}$ y su fracción inversa ${\tfrac {2}{1}}$ .

Un caso especial de fracción inversa es la fracción unitaria, que es una fracción común en la cual el numerador es igual a 1 y el denominador es un entero positivo: ${\tfrac {1}{2}},\;{\tfrac {1}{3}},\;{\tfrac {1}{4}},\dots \$ , ya que los números enteros pueden escribirse como una fracción con denominador igual a uno.

Una fracción reciproca es aquella donde al invertir su númerador y denominador y se multiplica por la fracción original nos debe dar cómo resultado el elemento neutral o identidad de la multiplicación que es el uno (1) y ambos miembros deben pertenecer a los Números Naturales.

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1$ donde $a,b\in \mathbb {N}$

Así, las fracciones unitarias son los recíprocos multiplicativos de los números naturales (es decir de los números enteros positivos).

${\frac {1}{a}}\cdot a=1$ donde $a\in \mathbb {N}$

Las fracciones egipcias son otro ejemplo de aplicación de las fracciones unitarias.

Fracción compuesta

Una fracción compuesta es aquella cuyo numerador o denominador (o ambos) contienen a su vez fracciones o números mixtos. Por ejemplo, ${\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}$ y ${\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}$ son fracciones compuestas. Para reducir una fracción compuesta a una simple, se le asigna el orden preferente de la división a la línea divisoria mayor de la fracción. Por ejemplo:

{\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}=1{\tfrac {1}{2}}

{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}=12{\tfrac {3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {12\cdot 4+3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{104}}

{\frac {\tfrac {3}{2}}{5}}={\tfrac {3}{2}}\times {\tfrac {1}{5}}={\tfrac {3}{10}}

{\frac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\times {\tfrac {3}{1}}=24.

Si, en una fracción compuesta, no hay una vía clara de indicar qué líneas de la fracción toman preferencia, entonces la expresión está formada impropiamente y es ambigua. Así, 5/10/20/40 es una expresión matemática pobremente escrita, con múltiples valores posibles.

Fracción decimal y como porcentaje

Una fracción decimal es una fracción del tipo ${\tfrac {a}{10^{n}}}$ , es decir, una fracción cuyo denominador es una potencia de 10. Por convención, se toma a positiva. Las fracciones decimales suelen expresarse sin denominador, con uso del separador decimal, es decir, como número decimal exacto (Por ejemplo: 8/10, 83/100, 83/1000 y 8/10000 se escriben 0.8, 0.83, 0.083 y 0.0008). Inversamente, un número decimal finito (o un entero) puede escribirse como fracción decimal simplemente multiplicando por una potencia apropiada de ${\tfrac {10^{n}}{10^{n}}}$ (Por ejemplo: 1=10/10 1.23=123/100). Una fracción decimal no es necesariamente irreducible.

Un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción decimal, concretamente como fracción con denominador 100. Se utiliza para denotarlo el signo porcentaje %, que se debe escribir inmediatamente después del número al que se refiere, sin dejar espacio de separación. Como ejemplo,

{\frac {3}{4}}={\frac {75}{100}}=75\%.

La expresión de un número por mil (1.000‰), es una manera de expresarlo como una fracción de 1.000, o como la décima parte de un porcentaje; se escribe con el signo ‰.

Una parte por billón (notado ppb) es una unidad de medida para expresar concentraciones extremadamente pequeñas.

Fracciones irreducibles o primas

Una fracción irreducible o prima se caracteriza porque su denominador y numerador son primos entre sí y no se pueden reducir o simplificar. Recuerda que dos números son primos entre sí cuando no tienen ningún divisor común, es decir, si no es posible encontrar un número por el que podamos dividir cada uno de ellos y obtener como resultado un número entero.

Ejemplos:

${\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {3}{7}},{\frac {10}{21}}$

Para encontrar la fracción irreducible equivalente a una dada, divide el numerador y el denominador de la fracción entre el máximo común divisor de ambos números.

Ejemplo:

${\frac {24}{36}},m.c.d(24,36)=12,{\frac {24}{36}}={\frac {2}{3}}$

↑ Laurel (31 de marzo de 2004). «Math Forum – Ask Dr. Math:Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper?». Consultado el 30 de octubre de 2014.
↑ «New England Compact Math Resources».
↑ Vivens, Vicens (1998). [[1] Matemáticas 3]. ISBN 84-316-4644-6. [2].
↑ Mathwords, Mixed number, (en inglés).

[1] Laurel (31 de marzo de 2004). «Math Forum – Ask Dr. Math:Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper?». Consultado el 30 de octubre de 2014.

[2] «New England Compact Math Resources».

[3] Vivens, Vicens (1998). [[1] Matemáticas 3]. ISBN 84-316-4644-6. [2].

[4] Mathwords, Mixed number, (en inglés).

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