Matemáticas/Álgebra/Productos Notables

Términos semejantes de polinomios

Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: –2a²b y 5a²b son semejantes.
Los términos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes y conservando la parte literal.
Por ejemplo:

–2a²b + 5a²b = 3a²b

10x²z³ – 22x²z³ = – 12x²z³

Si los términos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:

La operación 12a²b + 13ab² no se puede reducir más, debido a que los términos no son semejantes.

Eliminación de Paréntesis

Para eliminar paréntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas:

(1) Si aparece un signo “+” delante de un paréntesis (o ningún signo), se elimina el paréntesis conservando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

(2) Si aparece un signo “-” delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis cambiando los signos de los términos que aparezcan dentro del paréntesis.

Ejemplo:

2ab – (a + ab) + (3a – 4ab) =

Aplicando las reglas anteriores, tenemos:

2ab – a – ab + 3a - 4ab, reduciendo términos semejantes:

-3ab + 2a

Producto de expresiones algebraicas

Producto de monomios

Se multiplican los coeficientes entre sí, y para multiplicar potencias de igual base, ocupamos la propiedad: “para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes”.

Ejemplo: 2x²y³ z · 4x⁴y² = 8x⁶y⁵z

Producto de monomio por polinomio

Se aplica la propiedad distributiva, esto es: “el monomio multiplica a todos los términos del polinomio”.

Ejemplo:

2ab (3a - ab² + 4b²c²) = 2ab . 3a - 2ab . ab² + 2ab . 4b²c² = 6a²b – 2a²b³ + 8ab³c²

Producto de binomio por binomio

Se multiplican todos los términos del primer binomio con los términos del segundo binomio.

Ejemplo:

(2a - 3b²c) (4a² + 5ab³) = 2a . 4a² + 2a . 5ab³ – 3b²c . 4a² – 3b²c . 5ab³ = 8a³ + 10 a²b³ – 12 a²b²c – 15 ab⁵c

Producto de polinomio por polinomio

Al igual que en el caso anterior, se multiplican todos los términos del primer polinomio con todos los términos del segundo.

(2x – 3y + 4z²). (5x + 2xy + 4xz²) = 2x . 5x + 2x . 2xy + 2x . 4xz² – 3y . 5x – 3y . 2xy – 3y . 4xz² + 4z² . 5x + 4z² . 2xy + 4z² . 4xz² = 10x² + 4x²y + 8x²z² – 15xy – 6xy² – 12xyz² + 20xz² + 8xyz² + 16xz⁴

Productos notables

Son productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poder realizarlos más rápidamente.

Axioma de la distribución de la multiplicación respecto a la suma:

a(b + c + d) = ab + ac + ad

Reglas de Stevin (Binomios con un término en común):

(x + a) (x + b) = x² +(a + b)x + ab

(x + a) (x + b) (x + c) = x³ +(a + b + c) x² +(ab + bc + ac)x + abc

Cuadrado de binomio:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² – 2ab + b²

Identidades de Legendre:

(a + b)² + (a + b)² = 2(a² + b²)

(a + b)² - (a + b)² = 4ab

(a + b)⁴ - (a + b)⁴ = 8ab (a² + b²)

Diferencia de cuadrados:

(a + b) (a – b) = a² - b²

Cubo de binomio:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Disposición práctica de Cauchy:

Se usa en casos donde conoces la suma y el producto de a y b.

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab (a + b)

(a + b)³ = a³ - b³ - 3ab (a - b)

Suma y diferencia de cubos:

(a+b)(a² - ab + b²) = a³ + b³

(a+b)(a² + ab + b²) = a³ - b³

Suma y diferencia de quintas potencias:

(a - 1)(a⁴ + a³ + a² + a + 1) = a⁵ - 1

(a + b)(a⁴ + a³b + a²b² + ab³ + b⁴) = a⁵ - b⁵

Factorización

Consiste en expresar adiciones y/o sustracciones en términos de multiplicaciones. Los casos de factorización que estudiaremos son los siguientes:

Factor común

Se aplica cuando todos los términos tienen un divisor común diferente de 1. Ejemplo:

15x²y²z³ – 5xy³z² + 10x⁴y⁴z³

Aquí el factor común es: 5xy²z², por lo tanto, la expresión dada se puede colocar de la forma:

15x²y²z³ – 5xy³z² + 10x⁴y⁴z³ = 5xy²z² (3xz – y + 2x³y²z), lo que corresponde a su factorización.

Diferencia de cuadrados

Toda diferencia se puede factorizar mediante el producto de la suma con la diferencia de las bases.

a² – b² = (a + b) (a – b)

Ejemplo: 25a² – 16b⁴

Esta expresión corresponde a la diferencia entre el cuadrado de 5a y el de 4b² :

Por lo tanto: (5a)² – (4b2)² = (5a + 4b²) (5a — 4b²)

Factorización de trinomio cuadrático perfecto

Un trinomio cuadrático perfecto es aquel que corresponde al desarrollo de un cuadrado de binomio, por lo tanto, su factorización es:

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Ejemplo: 16x² – 24xy + 9y²

En este trinomio hay dos términos que son cuadrados perfectos: 16x² = (4x)² y 9y² = (3y)², por lo tanto, el trinomio dado puede provenir del desarrollo del binomio:

(4x - 3y)², si se desarrolla esta expresión se constata que efectivamente coincide con la expresión dada.

Factorización de trinomio cuadrático no perfecto

En este caso hay dos subcasos:

Caso en que el coeficiente cuadrático es 1

Utilizando el producto notable “producto de binomios con término común”:

(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab

Nos da la forma de poder factorizar una expresión del tipo: x² + px + q

Ejemplo: x² – 10x + 24

El trinomio se factoriza de la forma: (x + a)(x + b), donde a y b son números tales que a + b = –10 y ab = 24. Estos números son: –4 y –6, por lo tanto:

x² – 10x + 24 = (x – 4)(x – 6)

Caso en que el coeficiente cuadrático es diferente de 1

Ejemplo: 2x² + 7x – 15

Para poder factorizar trinomios de este tipo, multiplicaremos y dividiremos (para que la expresión no cambie) por el coeficiente del término cuadrático:

El numerador se puede factorizar de la forma (2x + a)(2x + b), donde a y b son números tales que a + b = 7 y ab = –30. Estos números son: 10 y -3:

Diferencia de cubos

a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

Ejemplo:

125z³ – 64y⁶

La expresión 125z³ es el cubo de 5z y 64y⁶ es el cubo de 4y², por lo tanto:

125z³ – 64y⁶ = (5z)³ – (4y²)³

Ocupando que a = 5z y b = 4y² en la expresión dada, tenemos que:

(5z)³ – (4y2)³ = (5z – 4y²)(25z² + 20y²z + 16y⁴)