Análisis real/Cuerpos

En la sección siguiente introduciremos el cuerpo de los números reales. Para preparar tal introducción, recordemos primeramente el significado del término cuerpo.

Una terna $(K,+,\cdot )$, en la que $K$ es un conjunto no vacío y $+$, $\cdot$ son operaciones binarias en $K$, se dice un cuerpo si, para cualesquiera $x,y,z\in K$ se cumplen las propiedades siguientes.

1. $x+y=y+x$ y $xy=yx$. (Leyes conmutativas)
2. $x+(y+z)=(x+y)+z$ y $x(yz)=(xy)z$. (Leyes asociativas)
3. $x(y+z)=xy+xz$. (Ley distributiva)
4. Existen $0$ y $1$ en $K$ tales que

$x+0=x\qquad {\mbox{y}}\qquad x\cdot 1=x.$

1. Existe $-x$ en $K$ tal que

$x+(-x)=0\$

y si $x\neq 0$, existe $x^{-1}$ en $K$ tal que

$xx^{-1}=1.\$

Nota sobre la notación empleada.

Sea $K$ un cuerpo y $x,y,z\in K$. Se cumplen

1. si $x+y=x+z\$ entonces $y=z\$;
2. si $xy=xz\$, con $x\neq 0$, entonces $y=z\$
3. $x\cdot 0=0\$;
4. $-(-x)=x\$;
5. si $xy=0\$ entonces $x=0\$ o $y=0\$;
6. $(-x)y=-(xy)=x(-y)\$;
7. $(-x)(-y)=xy\$.